lebesgue measure

tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex

@@ -143,13 +143,13 @@ \section{Teorema di Dini}
     Allora esistono $I_{\vb{x^0}} \in \R^{n-k}$ intorno circolare aperto di $\vb{x^0}$ e $J_{\vb{y^0}} \in \R^k$ intorno circolare aperto di $\vb{y^0}$ tali che:
     \begin{enumerate}
         \item $W=I_{\vb{x^0}}\times J_{\vb{y^0}} \subseteq A$
-        \item $\exists \vecf \in \C{1}(I_{\vb{x^0}}, J_{\vb{y^0}}) \tc \bm g(\vb{x}, \vb{y})=\vb{0} \iff \vb{y} = \bm f (\vb{x}) \with \vb{x} \in I_{\vb{x^0}}$
+        \item $\exists \vecf \in \C{1}(I_{\vb{x^0}}, J_{\vb{y^0}}) \tc \bm g(\vb{x}, \vb{y})=\vb{0} \iff \vb{y} = \vecf (\vb{x}) \with \vb{x} \in I_{\vb{x^0}}$
     \end{enumerate}
     Inoltre
     $$
         \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=-\frac
-        {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k}(\vb{x},\bm f(\vb{x}))}
-        {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_k}(\vb{x},\bm f(\vb{x}))}
+        {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
+        {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
     $$
     \qed
 \end{theorem}

tex/analysis_2/6_curves_work.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{Curve e lavoro}
+\chapter{Curve e lavoro}\label{chap:curves}
 
 \section{Curve in forma parametrica}
 
@@ -126,19 +126,19 @@ \section{Lavoro}
 
 \begin{definition}
 	[Campo vettoriale]
-	Sia $A\subseteq \R^n$ un aperto connesso. Una funzione $\vb{f}: A \to \R^n$ continua è detta campo vettoriale.
+	Sia $A\subseteq \R^n$ un aperto connesso. Una funzione $\vecf: A \to \R^n$ continua è detta campo vettoriale.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 	[$1$-forma differenziale]\label{def:1form}
-	Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$.
+	Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\ip{\vecf(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 	[Lavoro]
-	Sia $\gamma \subseteq A$ una curva regolare (a tratti) orientabile con orientamento $\hat{\bm\tau}$. Il lavoro di $\vb{f}$ lungo $\gamma$ è
+	Sia $\gamma \subseteq A$ una curva regolare (a tratti) orientabile con orientamento $\hat{\bm\tau}$. Il lavoro di $\vecf$ lungo $\gamma$ è
 	$$
-		L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\tau}}\dd s
+		L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\ip{\vecf(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \ip{\vecf}{\hat{\bm\tau}}\dd s
 	$$
 	dove $s$ è l'ascissa curvilinea.
 \end{definition}
@@ -149,7 +149,7 @@ \section{Lavoro}
 
 Se si considera la parametrizzazione $\vb{r}: [a,b]\suarrow \gamma$, dove si assume che l'orientamento indotto dalla parametrizzazione sia compatibile con $\hat{\bm\tau}$, allora il lavoro si può calcolare come segue:
 $$
-	L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\ip{\vb{f}(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t
+	L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\ip{\vecf(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t
 $$
 
 \begin{theorem}
@@ -169,21 +169,21 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 
 \begin{definition}
 	[Campo vettoriale conservativo]
-	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo se $\exists U \in \C{1}(A,\R) \tc$
+	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$. $\vecf$ è un campo vettoriale conservativo se $\exists U \in \C{1}(A,\R) \tc$
 	$$
-		\vb{f}(\vb{x})=\grad U(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A
+		\vecf(\vb{x})=\grad U(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A
 	$$
-	In tal caso $U$ è detto potenziale del campo $\vb{f}$.
+	In tal caso $U$ è detto potenziale del campo $\vecf$.
 \end{definition}
 
 \begin{prop}
-	Siano $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso e $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora $V\in \C{1}(A,\R)$ è un potenziale di $\vb{f} \iff \exists k \in \R \tc V(\vb{x})=U(\vb{x}) + k \ \forall \vb{x} \in A$.
+	Siano $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso e $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora $V\in \C{1}(A,\R)$ è un potenziale di $\vecf \iff \exists k \in \R \tc V(\vb{x})=U(\vb{x}) + k \ \forall \vb{x} \in A$.
 	\qed
 \end{prop}
 
 \begin{theorem}
 	[Campi vettoriali conservativi e lavoro]
-	Sia $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ un campo conservativo definito in $A\subseteq\R^n$ aperto e connesso e sia $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora, se $(\gamma,\hat{\bm\tau}) \subseteq A$ è una curva regolare a tratti orientabile con primo estremo $\vb{x}_i$ e secondo estremo $\vb{x}_f$,
+	Sia $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$ un campo conservativo definito in $A\subseteq\R^n$ aperto e connesso e sia $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora, se $(\gamma,\hat{\bm\tau}) \subseteq A$ è una curva regolare a tratti orientabile con primo estremo $\vb{x}_i$ e secondo estremo $\vb{x}_f$,
 	$$
 		L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=U(\vb{x}_f)-U(\vb{x}_i)
 	$$
@@ -195,9 +195,9 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 
 \begin{theorem}
 	[Caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi]
-	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso, $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
+	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso, $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
 	\begin{enumerate}
-		\item $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo
+		\item $\vecf$ è un campo vettoriale conservativo
 		\item Per ogni coppia di curve regolari a tratti orientate $(\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}), (\gamma_2,\hat{\bm\tau_2})$ con estremi coincidenti e $\gamma_1,\gamma_2 \subseteq A$ vale
 		$$
 			L_{\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}}=L_{\gamma_2,\hat{\bm\tau_2}}
@@ -212,22 +212,22 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 
 \begin{definition}
 	[Campo vettoriale irrotazionale]
-	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è detto irrotazionale se ha matrice jacobiana simmetrica, ovvero se
+	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$. $\vecf$ è detto irrotazionale se ha matrice jacobiana simmetrica, ovvero se
 	$$
 		\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A \ \forall i,j \in [n]
 	$$
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
-	Se $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso è conservativo, allora è irrotazionale.
+	Se $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso è conservativo, allora è irrotazionale.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
 	% TODO
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}
-	Sia $\vb{f} \in \C{1}(\R^2\setminus{(0,0)}, \R^2)$ un campo vettoriale irrotazionale. Se, detta $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e orientamento arbitrario, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$, allora $\vb{f}$ è conservativo.
+	Sia $\vecf \in \C{1}(\R^2\setminus{(0,0)}, \R^2)$ un campo vettoriale irrotazionale. Se, detta $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e orientamento arbitrario, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$, allora $\vecf$ è conservativo.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
@@ -255,10 +255,10 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 
 \begin{lemma}
 	[di Poincarè]
-	Sia $A \subseteq \R^n$ aperto convesso oppure stellato rispetto a un punto oppure semplicemente connesso. Sia $\vb{f}\in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\vb{f}$ è conservativo in $A$.
+	Sia $A \subseteq \R^n$ aperto convesso oppure stellato rispetto a un punto oppure semplicemente connesso. Sia $\vecf\in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\vecf$ è conservativo in $A$.
 	\qed
 \end{lemma}
 
 \begin{corollary}
-	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vb{f}$ è conservativo se ristretto a $B$.
+	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vecf$ è conservativo se ristretto a $B$.
 \end{corollary}

tex/analysis_2/7_surfaces.tex

@@ -90,26 +90,26 @@ \section{Superfici}
 
 \begin{definition}
 	[Flusso]
-	Sia $A\subseteq \R^3$ un aperto e sia $\Sigma \subseteq A$ una superficie orientabile con orientamento $\hat{\bm \nu}$ indotto dalla parametrizzazione $\vb{r}:\overline{\Omega}\to\Sigma$. Sia inoltre $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^3)$ un campo vettoriale. Il flusso di $\vb{f}$ attraverso $\Sigma$ è
+	Sia $A\subseteq \R^3$ un aperto e sia $\Sigma \subseteq A$ una superficie orientabile con orientamento $\hat{\bm \nu}$ indotto dalla parametrizzazione $\vb{r}:\overline{\Omega}\to\Sigma$. Sia inoltre $\vecf \in \C{0}(A,\R^3)$ un campo vettoriale. Il flusso di $\vecf$ attraverso $\Sigma$ è
 	$$
-		\iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\ip{\vb{f}(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v
+		\iint_\Sigma \ip{\vecf}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\ip{\vecf(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v
 	$$
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
 	Se $\vb{r}$ induce l'orientamento opposto,
 	$$
-		\iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\ip{(\vb{f}\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v
+		\iint_\Sigma \ip{\vecf}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\ip{(\vecf\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v
 	$$
 \end{remark}
 
 \section{Teorema di Stokes}
 
 \begin{definition}
 	[Rotore]
-	Sia $\vb{f}\in \C{1}(A\subseteq \R^3,\R^3)$ con $A$ aperto un campo vettoriale. Si definisce rotore di $\vb{f}$
+	Sia $\vecf\in \C{1}(A\subseteq \R^3,\R^3)$ con $A$ aperto un campo vettoriale. Si definisce rotore di $\vecf$
 	$$
-		\rot \vb{f}=\curl \vb{f}=\det
+		\rot \vecf=\curl \vecf=\det
 		\begin{bmatrix}
 			\hat{\vb{i}} & \hat{\vb{j}} & \hat{\vb{k}}\\
 			\partial_x & \partial_y & \partial_z\\
@@ -121,9 +121,9 @@ \section{Teorema di Stokes}
 
 \begin{theorem}
 	[di Stokes o del rotore]
-	Siano $A \subseteq \R^3$ un aperto, $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^3)$, $\Sigma \subseteq A$ una superficie regolare con bordo con orientamento $\hat{\bm \nu}$ e $(\partial \Sigma,\hat{\bm \tau})$ il suo bordo con orientamento indotto canonicamente. Allora
+	Siano $A \subseteq \R^3$ un aperto, $\vecf \in \C{1}(A,\R^3)$, $\Sigma \subseteq A$ una superficie regolare con bordo con orientamento $\hat{\bm \nu}$ e $(\partial \Sigma,\hat{\bm \tau})$ il suo bordo con orientamento indotto canonicamente. Allora
 	$$
-		\iint_\Sigma \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma = \int_{\partial\Sigma}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \tau}}\dd s
+		\iint_\Sigma \ip{\rot \vecf}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma = \int_{\partial\Sigma}\ip{\vecf}{\hat{\bm \tau}}\dd s
 	$$
 \end{theorem}
 
@@ -134,9 +134,9 @@ \section{Teorema di Stokes}
 
 \paragraph{Teorema di Stokes tramite le forme differenziali}
 
-Il teorema di Stokes può essere espresso anche tramite l'integrazione di una forma differenziale d'area (o 2-forma), ricavata applicando l'operatore differenziale esterno alla 1-forma associata al lavoro (Def. \ref{def:1form}).
+Il teorema di Stokes può essere espresso anche tramite l'integrazione di una forma differenziale d'area (o 2-forma), ricavata applicando l'operatore differenziale esterno alla 1-forma associata al lavoro (Def. \ref{def:1form}, Cap. \ref{chap:curves}).
 $$
-	\dd \omega = \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}} \dd u \wedge \dd v
+	\dd \omega = \ip{\rot \vecf}{\hat{\bm \nu}} \dd u \wedge \dd v
 $$
 Di conseguenza,
 $$
@@ -160,17 +160,17 @@ \section{Teorema di Gauss}
 
 \begin{definition}
 	[Divergenza]
-	Sia $\vb{f} \in \C{1}(A\subseteq\R^3,\R^3)$ un campo vettoriale. Si definisce divergenza di $\vb{f}$
+	Sia $\vecf \in \C{1}(A\subseteq\R^3,\R^3)$ un campo vettoriale. Si definisce divergenza di $\vecf$
 	$$
-		\divop \vb{f}=\divergence \vb{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z} \in \R
+		\divop \vecf=\divergence \vecf=\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z} \in \R
 	$$
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
 	[di Gauss o della divergenza]
-	Siano $A\subseteq \R^3$ un aperto regolare, $\vb{f} \in \C{1}(\overline{A},\R^3) \e (\partial A, \hat{\bm \nu})$ la frontiera di $A$ orientata canonicamente. Allora
+	Siano $A\subseteq \R^3$ un aperto regolare, $\vecf \in \C{1}(\overline{A},\R^3) \e (\partial A, \hat{\bm \nu})$ la frontiera di $A$ orientata canonicamente. Allora
 	$$
-		\iiint_A \divop \vb{f}(x,y,z)\dd x \dd y \dd z = \iint_{\partial A}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma
+		\iiint_A \divop \vecf(x,y,z)\dd x \dd y \dd z = \iint_{\partial A}\ip{\vecf}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma
 	$$
 \end{theorem}
 
@@ -180,7 +180,7 @@ \section{Teorema di Gauss}
 
 \paragraph{Teorema di Gauss tramite le forme differenziali}
 
-Anche nel caso del teorema di Gauss è possibile esprimere l'enunciato del teorema in termini di forme differenziali. Sia $\omega = f_1 \dd y \wedge \dd z + f_2 \dd z \wedge \dd x + f_3 \dd x \wedge \dd y$ la forma differenziale d'area associata al campo $\vb{f}$. Applicando l'operatore differenziale esterno, si ottiene che
+Anche nel caso del teorema di Gauss è possibile esprimere l'enunciato del teorema in termini di forme differenziali. Sia $\omega = f_1 \dd y \wedge \dd z + f_2 \dd z \wedge \dd x + f_3 \dd x \wedge \dd y$ la forma differenziale d'area associata al campo $\vecf$. Applicando l'operatore differenziale esterno, si ottiene che
 $$
 	\dd \omega = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}\right)\dd x \wedge \dd y \wedge \dd z
 $$