complete gauss and stokes

tex/analysis_2/1_topology.tex

@@ -230,18 +230,18 @@ \section{Spazi normati}
 
 \begin{definition}
     [Prodotto interno]
-    Sia $X$ uno spazio vettoriale definito sul campo $\K$. $\innerproduct{\cdot}{\cdot}: X \times X \to \R$ è detto prodotto interno se soddisfa le seguenti proprietà:
+    Sia $X$ uno spazio vettoriale definito sul campo $\K$. $\ip{\cdot}{\cdot}: X \times X \to \R$ è detto prodotto interno se soddisfa le seguenti proprietà:
     \begin{enumerate}
-        \item $\forall \vb{x} \in X, \innerproduct{\vb{x}} \geq 0$ e $\innerproduct{\vb{x}} = 0 \iff \vb{x} = \vb{0}$
-        \item $\forall \vb{x}, \vb{y} \in X \innerproduct{\vb{x}}{\vb{y}}=\innerproduct{\vb{y}}{\vb{x}}$
-        \item $\forall \vb{x}, \vb{y}, \vb{z}, \innerproduct{\vb{x}}{\vb{y}+\vb{z}}=\innerproduct{\vb{x}}{\vb{y}} + \innerproduct{\vb{x}}{\vb{z}}$
-        \item $\forall \vb{x}, \vb{y} \in X, \ \forall \lambda \in \K, \innerproduct{\lambda \vb{x}}{\vb{y}} = \lambda \innerproduct{\vb{x}}{\vb{y}} $
+        \item $\forall \vb{x} \in X, \ip{\vb{x}} \geq 0$ e $\ip{\vb{x}} = 0 \iff \vb{x} = \vb{0}$
+        \item $\forall \vb{x}, \vb{y} \in X \ip{\vb{x}}{\vb{y}}=\ip{\vb{y}}{\vb{x}}$
+        \item $\forall \vb{x}, \vb{y}, \vb{z}, \ip{\vb{x}}{\vb{y}+\vb{z}}=\ip{\vb{x}}{\vb{y}} + \ip{\vb{x}}{\vb{z}}$
+        \item $\forall \vb{x}, \vb{y} \in X, \ \forall \lambda \in \K, \ip{\lambda \vb{x}}{\vb{y}} = \lambda \ip{\vb{x}}{\vb{y}} $
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
     [Ortogonale]
-    Siano $\vb{x}, \vb{y} \in X$. Si dice che $\vb{x}$ è ortogonale a $\vb{y}$ e si scrive $\vb{x} \perp \vb{y}$ se $\innerproduct{\vb{x}}{\vb{y}}$.
+    Siano $\vb{x}, \vb{y} \in X$. Si dice che $\vb{x}$ è ortogonale a $\vb{y}$ e si scrive $\vb{x} \perp \vb{y}$ se $\ip{\vb{x}}{\vb{y}}$.
 \end{definition}
 
 \section{Successioni}

tex/analysis_2/3_calculus_nvars.tex

@@ -30,12 +30,12 @@ \section{Funzioni differenziabili}
 
 \begin{definition}
     [Funzione differenziabile]
-    Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto, $\vb{x_0} \in A$ e $f:A \to \R$. La funzione $f$ è differenziabile in $\vb{x_0}$ se esiste $\vb{m} = (m_1,\dots,m_n) \in \R^n \tc f(\vb{x}) = f(\vb{x_0}) + \innerproduct{\vb{m}}{\vb{x} - \vb{x_0}} + o(\norm{\vb{x} - \vb{x_0}}) \with \norm{\vb{x}-\vb{x_0}}\to 0$.
+    Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto, $\vb{x_0} \in A$ e $f:A \to \R$. La funzione $f$ è differenziabile in $\vb{x_0}$ se esiste $\vb{m} = (m_1,\dots,m_n) \in \R^n \tc f(\vb{x}) = f(\vb{x_0}) + \ip{\vb{m}}{\vb{x} - \vb{x_0}} + o(\norm{\vb{x} - \vb{x_0}}) \with \norm{\vb{x}-\vb{x_0}}\to 0$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
     [Operatore differenziale]
-    Si definisce operatore differenziale e si indica con $\dd{f}_{\vb{x_0}} : \R^n \to \R$ l'operatore $\dd{f}_{\vb{x_0}}(\vb{h})=\innerproduct{\vb{m}}{\vb{h}}$.
+    Si definisce operatore differenziale e si indica con $\dd{f}_{\vb{x_0}} : \R^n \to \R$ l'operatore $\dd{f}_{\vb{x_0}}(\vb{h})=\ip{\vb{m}}{\vb{h}}$.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
@@ -44,7 +44,7 @@ \section{Funzioni differenziabili}
     \begin{enumerate}
         \item $f$ è continua in $\vb{x_0}$
         \item $f$ è derivabile parzialmente in $\vb{x_0}$ e $\vb{m} = \bm{\nabla}f(\vb{x_0})$
-        \item $f$ è derivabile in qualunque direzione $\bm{\hat{\nu}} \tc \norm{\bm{\hat{\nu}}}=1$ e $\frac{\partial f}{\partial \bm{\hat{\nu}}} = \innerproduct{\grad f(\vb{x_0})}{\bm{\hat{\nu}}}$
+        \item $f$ è derivabile in qualunque direzione $\bm{\hat{\nu}} \tc \norm{\bm{\hat{\nu}}}=1$ e $\frac{\partial f}{\partial \bm{\hat{\nu}}} = \ip{\grad f(\vb{x_0})}{\bm{\hat{\nu}}}$
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
@@ -140,7 +140,7 @@ \section{Derivate di ordine superiore}
 \begin{remark}
     In particolare, per $n=2$ vale
     $$
-        f(\vb{x_0} + \vb{h}) = f(\vb{x_0})+\innerproduct{\grad f(\vb{x_0})}{\vb{h}} + \frac{1}{2}\innerproduct{\vb{h}}{H_f(\vb{x_0})\vb{h}}+o(\norm{\vb{h}}^2) \with \norm{\vb{h}} \to 0
+        f(\vb{x_0} + \vb{h}) = f(\vb{x_0})+\ip{\grad f(\vb{x_0})}{\vb{h}} + \frac{1}{2}\ip{\vb{h}}{H_f(\vb{x_0})\vb{h}}+o(\norm{\vb{h}}^2) \with \norm{\vb{h}} \to 0
     $$
 \end{remark}
 
@@ -178,7 +178,7 @@ \subsection{Forme quadratiche}
 
 Sia $M \in \mathcal{M}_{n \times n}(\R)$ una matrice quadrata di ordine $n$. La seguente espressione si chiama forma quadratica associata alla matrice $M$:
 $$
-    q_M(\vb{h}) = \innerproduct{\vb{h}}{M\vb{h}} \in \R
+    q_M(\vb{h}) = \ip{\vb{h}}{M\vb{h}} \in \R
 $$
 La forma quadratica può essere:
 \begin{itemize}

tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex

@@ -83,7 +83,7 @@ \section{Varietà regolari}
     [Spazio tangente]
     Se $\Gamma$ è una varietà regolare $(n-k)$-dimensionale e $\vb{x_0} \in \Gamma$, si definisce lo spazio tangente come segue:
     $$
-        T_{\vb{x_0}}\Gamma = \{ \vb{h}=(h_1,\dots,h_n) \in \R^n : \innerproduct{\grad g_1(\vb{x_0)}}{\vb{h}}=0,\dots,\innerproduct{\grad g_k(\vb{x_0)}}{\vb{h}}=0 \}
+        T_{\vb{x_0}}\Gamma = \{ \vb{h}=(h_1,\dots,h_n) \in \R^n : \ip{\grad g_1(\vb{x_0)}}{\vb{h}}=0,\dots,\ip{\grad g_k(\vb{x_0)}}{\vb{h}}=0 \}
     $$
 \end{definition}
 
@@ -104,7 +104,7 @@ \section{Varietà regolari}
     [Iperpiano tangente]
     A partire dalla nozione di spazio tangente si può definire l'iperpiano tangente nel punto $\vb{x_0}$, che è costituito dall'insieme dei punti $\vb{x}$ tali che il loro vettore distanza dal punto $\vb{x_0}$ appartenga allo spazio tangente a $\Gamma$:
     $$
-        I= \{ \vb{x} \in \R^n :  \innerproduct{\grad g_1(\vb{x_0)}}{\vb{x}-\vb{x_0}}=0,\dots,\innerproduct{\grad g_k(\vb{x_0)}}{\vb{x}-\vb{x_0}}=0 \}
+        I= \{ \vb{x} \in \R^n :  \ip{\grad g_1(\vb{x_0)}}{\vb{x}-\vb{x_0}}=0,\dots,\ip{\grad g_k(\vb{x_0)}}{\vb{x}-\vb{x_0}}=0 \}
     $$
 \end{definition}
 
@@ -204,12 +204,12 @@ \section{Estremanti condizionati}
         \item Se $\vb{x_0} \in \Gamma$ è punto di minimo condizionato di $f$ a $\Gamma$, allora $\exists \overline{\lambda}_1,\dots,\overline{\lambda}_k \in \R \tc$
         \begin{enumerate}[a.]
             \item $\grad f(\vb{x_0})=\displaystyle \sum_{j=1}^k \overline{\lambda}_j \grad g_j(\vb{x_0})$
-            \item $\innerproduct{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}} \geq 0 \ \forall \vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$, ovvero la restrizione della forma quadratica associata alla matrice $\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)$ allo spazio $T_{\vb{x_0}}\Gamma$ è definita positiva o semidefinita positiva 
+            \item $\ip{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}} \geq 0 \ \forall \vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$, ovvero la restrizione della forma quadratica associata alla matrice $\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)$ allo spazio $T_{\vb{x_0}}\Gamma$ è definita positiva o semidefinita positiva 
         \end{enumerate}
         \item Se $\vb{x_0} \in \Gamma$ soddisfa per una qualche scelta di $(\overline{\lambda}_1,\dots,\overline{\lambda}_k)$:
         \begin{enumerate}[a.]
             \item $\grad f(\vb{x_0})=\displaystyle\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j \grad g_j (\vb{x_0})$
-            \item $\innerproduct{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}} > 0 \ \forall \vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$
+            \item $\ip{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}} > 0 \ \forall \vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$
         \end{enumerate}
         allora $\vb{x_0}$ è punto di minimo condizionato di $f$ a $\Gamma$.
     \end{enumerate}

tex/analysis_2/5_peano_jordan.tex

@@ -374,11 +374,11 @@ \subsection{Cambiamento di variabile nell'integrale multiplo}
     Il teorema del cambiamento di variabile continua a valere nel caso di perdita di iniettività o $\det J_{\bm\varphi}\neq 0$ su insiemi di misura nulla che sono trasformati in insiemi di misura nulla.
 \end{remark}
 
-\subsubsection{Coordinate polari nel piano}
+\paragraph{Coordinate polari nel piano}
 % TODO
 
-\subsubsection{Coordinate sferiche in $\R^3$}
+\paragraph{Coordinate sferiche in $\R^3$}
 % TODO
 
-\subsubsection{Coordinate cilindriche in $\R^3$}
+\paragraph{Coordinate cilindriche in $\R^3$}
 % TODO

tex/analysis_2/6_curves_work.tex

@@ -130,15 +130,15 @@ \section{Lavoro}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
-	[$1$-forma differenziale]
-	Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\innerproduct{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$.
+	[$1$-forma differenziale]\label{def:1form}
+	Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
 	[Lavoro]
 	Sia $\gamma \subseteq A$ una curva regolare (a tratti) orientabile con orientamento $\hat{\bm\tau}$. Il lavoro di $\vb{f}$ lungo $\gamma$ è
 	$$
-		L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\innerproduct{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \innerproduct{\vb{f}}{\hat{\bm\tau}}\dd s
+		L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\tau}}\dd s
 	$$
 	dove $s$ è l'ascissa curvilinea.
 \end{definition}
@@ -149,7 +149,7 @@ \section{Lavoro}
 
 Se si considera la parametrizzazione $\vb{r}: [a,b]\suarrow \gamma$, dove si assume che l'orientamento indotto dalla parametrizzazione sia compatibile con $\hat{\bm\tau}$, allora il lavoro si può calcolare come segue:
 $$
-	L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\innerproduct{\vb{f}(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t
+	L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\ip{\vb{f}(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t
 $$
 
 \begin{theorem}

tex/analysis_2/7_surfaces.tex

@@ -92,15 +92,105 @@ \section{Superfici}
 	[Flusso]
 	Sia $A\subseteq \R^3$ un aperto e sia $\Sigma \subseteq A$ una superficie orientabile con orientamento $\hat{\bm \nu}$ indotto dalla parametrizzazione $\vb{r}:\overline{\Omega}\to\Sigma$. Sia inoltre $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^3)$ un campo vettoriale. Il flusso di $\vb{f}$ attraverso $\Sigma$ è
 	$$
-		\iint_\Sigma \innerproduct{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\innerproduct{\vb{f}(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v
+		\iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\ip{\vb{f}(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v
 	$$
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
 	Se $\vb{r}$ induce l'orientamento opposto,
 	$$
-		\iint_\Sigma \innerproduct{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\innerproduct{(\vb{f}\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v
+		\iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\ip{(\vb{f}\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v
 	$$
 \end{remark}
 
 \section{Teorema di Stokes}
+
+\begin{definition}
+	[Rotore]
+	Sia $\vb{f}\in \C{1}(A\subseteq \R^3,\R^3)$ con $A$ aperto un campo vettoriale. Si definisce rotore di $\vb{f}$
+	$$
+		\rot \vb{f}=\curl \vb{f}=\det
+		\begin{bmatrix}
+			\hat{\vb{i}} & \hat{\vb{j}} & \hat{\vb{k}}\\
+			\partial_x & \partial_y & \partial_z\\
+			f_1 & f_2 & f_3
+		\end{bmatrix}
+		\in \R^3
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	[di Stokes o del rotore]
+	Siano $A \subseteq \R^3$ un aperto, $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^3)$, $\Sigma \subseteq A$ una superficie regolare con bordo con orientamento $\hat{\bm \nu}$ e $(\partial \Sigma,\hat{\bm \tau})$ il suo bordo con orientamento indotto canonicamente. Allora
+	$$
+		\iint_\Sigma \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma = \int_{\partial\Sigma}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \tau}}\dd s
+	$$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	[Dimostrazione in un caso particolare.]
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\paragraph{Teorema di Stokes tramite le forme differenziali}
+
+Il teorema di Stokes può essere espresso anche tramite l'integrazione di una forma differenziale d'area (o 2-forma), ricavata applicando l'operatore differenziale esterno alla 1-forma associata al lavoro (Def. \ref{def:1form}).
+$$
+	\dd \omega = \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}} \dd u \wedge \dd v
+$$
+Di conseguenza,
+$$
+	\iint\limits_{\Sigma,\hat{\bm \nu}} \dd \omega = \int\limits_{\partial \Sigma,\hat{\bm \tau}} \omega
+$$
+
+\begin{remark}
+	Per passare da $\dd u \wedge \dd v$ a $\dd u \dd v$ nell'integrale è necessario verificare l'orientamento indotto dalla parametrizzazione utilizzata. Se la parametrizzazione induce l'orientamento corretto, $\dd u \wedge \dd v = \dd u \dd v$, altrimenti $\dd u \wedge \dd v= -\dd u \dd v$.  
+\end{remark}
+
+\section{Teorema di Gauss}
+
+\begin{definition}
+	[Aperto regolare in $\R^3$]
+	$A\subseteq \R^3$ è un aperto regolare se è aperto, limitato, connesso, $\mathring{\overline A}=A \e \partial A$ è l'unione finita di superfici regolari a tratti chiuse e orientabili a due a due disgiunte. Se $A \subseteq \R^3$ è un aperto regolare, $\partial A$ è orientata canonicamente se $\forall (x,y,z) \in \partial A \ \exists \varepsilon > 0 \tc \forall \lambda \in (0,\varepsilon)$
+	\begin{enumerate}[a.]
+		\item $(x,y,z) + \lambda \hat{\bm \nu}(x,y,z) \notin \overline{A}$
+		\item $(x,y,z) - \lambda \hat{\bm \nu}(x,y,z) \in A$
+	\end{enumerate}
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	[Divergenza]
+	Sia $\vb{f} \in \C{1}(A\subseteq\R^3,\R^3)$ un campo vettoriale. Si definisce divergenza di $\vb{f}$
+	$$
+		\divop \vb{f}=\divergence \vb{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z} \in \R
+	$$
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	[di Gauss o della divergenza]
+	Siano $A\subseteq \R^3$ un aperto regolare, $\vb{f} \in \C{1}(\overline{A},\R^3) \e (\partial A, \hat{\bm \nu})$ la frontiera di $A$ orientata canonicamente. Allora
+	$$
+		\iiint_A \divop \vb{f}(x,y,z)\dd x \dd y \dd z = \iint_{\partial A}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma
+	$$
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	[Giustificazione in un caso semplice.]
+\end{proof}
+
+\paragraph{Teorema di Gauss tramite le forme differenziali}
+
+Anche nel caso del teorema di Gauss è possibile esprimere l'enunciato del teorema in termini di forme differenziali. Sia $\omega = f_1 \dd y \wedge \dd z + f_2 \dd z \wedge \dd x + f_3 \dd x \wedge \dd y$ la forma differenziale d'area associata al campo $\vb{f}$. Applicando l'operatore differenziale esterno, si ottiene che
+$$
+	\dd \omega = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}\right)\dd x \wedge \dd y \wedge \dd z
+$$
+
+Di conseguenza, si può scrivere
+$$
+	\iiint\limits_A \dd \omega = \iint\limits_{\partial A^+}\omega
+$$
+dove $\partial A^+$ è la frontiera di $A$ orientata canonicamente.
+
+\begin{remark}
+	Si noti che il teorema di Gauss e il teorema di Stokes sono casi particolari dello stesso teorema applicato a dimensioni diverse.
+\end{remark}

tex/analysis_2/8_lebesgue.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\chapter{Misura di Lebesgue}

tex/analysis_2/analysis_2.tex

@@ -28,6 +28,8 @@
 \DeclareMathOperator{\suarrow}{\xrightarrow{\su}}
 \DeclareMathOperator{\bijarrow}{\xrightarrow[\su]{\inj}}
 \DeclareMathOperator{\Area}{Area}
+\DeclareMathOperator{\divop}{div}
+\DeclareMathOperator{\rot}{\vb{rot}}
 
 % Enable lettered enumerations
 \usepackage[shortlabels]{enumitem}
@@ -106,4 +108,6 @@
 
 \include{7_surfaces}
 
+\include{8_lebesgue}
+
 \end{document}