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梯度下降的作用：
- 梯度下降是迭代法的一种，可以用于求解最小二乘问题。
- 在求解损失函数的最小值时，可以通过梯度下降法来一步步的迭代求解，得到最小化的损失函数和模型参数值。
- 如果我们需要求解损失函数的最大值，可通过梯度上升法来迭代。梯度下降法和梯度上升法可相互转换。
缺点：
- 靠近极小值时收敛速度减慢。
- 直线搜索时可能会产生一些问题。
- 可能会“之字形”地下降。
注意：
- 梯度是一个向量，即有方向有大小。
- 梯度的方向是最大方向导数的方向。
- 梯度的值是最大方向导数的值。
假如最开始，我们在一座大山上的某处位置，因为到处都是陌生的，不知道下山的路，所以只能摸索着根据直觉，走一步算一步，在此过程中，每走到一个位置的时候，都会求解当前位置的梯度，沿着梯度的负方向，也就是当前最陡峭的位置向下走一步，然后继续求解当前位置梯度，向这一步所在位置沿着最陡峭最易下山的位置走一步。不断循环求梯度，就这样一步步地走下去，一直走到我们觉得已经到了山脚。当然这样走下去，有可能我们不能走到山脚，而是到了某一个局部的山势低处。 由此，从上面的解释可以看出，梯度下降不一定能够找到全局的最优解，有可能是一个局部的最优解。当然，如果损失函数是凸函数，梯度下降法得到的解就一定是全局最优解。
- 确定优化模型的假设函数及损失函数。
- 初始化参数，随机选取取值范围内的任意数；
- 迭代操作：
- 计算当前梯度
- 修改新的变量
- 计算朝最陡的下坡方向走一步
- 判断是否需要终止，如否，梯度更新
- 得到全局最优解或者接近全局最优解。
实际使用梯度下降法时，各项参数指标不能一步就达到理想状态，对梯度下降法调优主要体现在以下几个方面：
(1)算法迭代步长$\alpha$选择。 在算法参数初始化时，有时根据经验将步长初始化为1。实际取值取决于数据样本。可以从大到小，多取一些值，分别运行算法看迭代效果，如果损失函数在变小，则取值有效。如果取值无效，说明要增大步长。但步长太大，有时会导致迭代速度过快，错过最优解。步长太小，迭代速度慢，算法运行时间长。
(2)参数的初始值选择。 初始值不同，获得的最小值也有可能不同，梯度下降有可能得到的是局部最小值。如果损失函数是凸函数，则一定是最优解。由于有局部最优解的风险，需要多次用不同初始值运行算法，关键损失函数的最小值，选择损失函数最小化的初值。
(3)标准化处理。 由于样本不同，特征取值范围也不同，导致迭代速度慢。为了减少特征取值的影响，可对特征数据标准化，使新期望为0，新方差为1，可节省算法运行时间。
随机梯度下降(SDG)和批量梯度下降(BDG)是两种主要梯度下降法，其目的是增加某些限制来加速运算求解。 下面通过介绍两种梯度下降法的求解思路，对其进行比较。 假设函数为： $$ h_\theta (x_0,x_1,...,x_3) = \theta_0 x_0 + \theta_1 x_1 + ... + \theta_n x_n $$ 损失函数为： $$ J(\theta_0, \theta_1, ... , \theta_n) = \frac{1}{2m} \sum^{m}{j=0}(h\theta (x^{j}_0 ,x^{j}_1,...,x^{j}_n)-y^j)^2 $$ 其中，$m$为样本个数，$j$为参数个数。
1、 批量梯度下降的求解思路如下： a) 得到每个$\theta$对应的梯度： $$ \frac{\partial}{\partial \theta_i}J({\theta}_0,{\theta}1,...,{\theta}n)=\frac{1}{m}\sum^{m}{j=0}(h\theta (x^{j}_0 ,x^{j}_1,...,x^{j}n)-y^j)x^{j}i $$ b) 由于是求最小化风险函数，所以按每个参数 $\theta$ 的梯度负方向更新 $ \theta_i $ ： $$ \theta_i=\theta_i - \frac{1}{m} \sum^{m}{j=0}(h\theta (x^{j}_0 ,x^{j}_1,...,x^{j}_n)-y^j)x^{j}_i $$ c) 从上式可以注意到，它得到的虽然是一个全局最优解，但每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果样本数据很大，这种方法迭代速度就很慢。 相比而言，随机梯度下降可避免这种问题。
2、随机梯度下降的求解思路如下： a) 相比批量梯度下降对应所有的训练样本，随机梯度下降法中损失函数对应的是训练集中每个样本的粒度。 损失函数可以写成如下这种形式， $$ J(\theta_0, \theta_1, ... , \theta_n) = \frac{1}{m} \sum^{m}{j=0}(y^j - h\theta (x^{j}_0 ,x^{j}1,...,x^{j}n))^2 = \frac{1}{m} \sum^{m}{j=0} cost(\theta,(x^j,y^j)) $$ b)对每个参数 $ \theta$ 按梯度方向更新 $ \theta$： $$ \theta_i = \theta_i + (y^j - h\theta (x^{j}_0, x^{j}_1, ... ,x^{j}_n)) $$ c) 随机梯度下降是通过每个样本来迭代更新一次。 随机梯度下降伴随的一个问题是噪音较批量梯度下降要多，使得随机梯度下降并不是每次迭代都向着整体最优化方向。
小结： 随机梯度下降法、批量梯度下降法相对来说都比较极端，简单对比如下：
| 方法 | 特点 |
|---|---|
| 批量梯度下降 | a)采用所有数据来梯度下降。 b)批量梯度下降法在样本量很大的时候，训练速度慢。 |
| 随机梯度下降 | a)随机梯度下降用一个样本来梯度下降。 b)训练速度很快。 c)随机梯度下降法仅仅用一个样本决定梯度方向，导致解有可能不是全局最优。 d)收敛速度来说，随机梯度下降法一次迭代一个样本，导致迭代方向变化很大，不能很快的收敛到局部最优解。 |
下面介绍能结合两种方法优点的小批量梯度下降法。
3、 小批量(Mini-Batch)梯度下降的求解思路如下 对于总数为$m$个样本的数据，根据样本的数据，选取其中的$n(1< n< m)$个子样本来迭代。其参数$\theta$按梯度方向更新$\theta_i$公式如下： $$ \theta_i = \theta_i - \alpha \sum^{t+n-1}{j=t} ( h\theta (x^{j}{0}, x^{j}{1}, ... , x^{j}{n} ) - y^j ) x^{j}{i} $$
下表简单对比随机梯度下降(SGD)、批量梯度下降(BGD)、小批量梯度下降(Mini-batch GD)、和Online GD的区别：
| BGD | SGD | Mini-batch GD | Online GD | |
|---|---|---|---|---|
| 训练集 | 固定 | 固定 | 固定 | 实时更新 |
| 单次迭代样本数 | 整个训练集 | 单个样本 | 训练集的子集 | 根据具体算法定 |
| 算法复杂度 | 高 | 低 | 一般 | 低 |
| 时效性 | 低 | 一般 | 一般 | 高 |
| 收敛性 | 稳定 | 不稳定 | 较稳定 | 不稳定 |
Online GD于Mini-batch GD/SGD的区别在于，所有训练数据只用一次，然后丢弃。这样做的优点在于可预测最终模型的变化趋势。
Online GD在互联网领域用的较多，比如搜索广告的点击率(CTR)预估模型，网民的点击行为会随着时间改变。用普通的BGD算法(每天更新一次)一方面耗时较长(需要对所有历史数据重新训练)；另一方面，无法及时反馈用户的点击行为迁移。而Online GD算法可以实时的依据网民的点击行为进行迁移。
根据多元函数泰勒公式，如果忽略一次以上的项，函数在$\mathbf{x}$点处可以展开为 $$ f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})=f(\mathbf{x})+(\nabla f(\mathbf{x}))^{\mathrm{T}} \Delta \mathbf{x}+o(|\mathbf{\Delta} \mathbf{x}|) $$ 对上式变形，函数的增量与自变量增量、函数梯度的关系为 $$ f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-f(\mathbf{x})=(\nabla f(\mathbf{x}))^{\mathrm{T}} \Delta \mathbf{x}+o(|\Delta \mathbf{x}|) $$ 如果令$\Delta \mathbf{x}=-\nabla f(\mathbf{x})$则有 $$ f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x})-f(\mathbf{x}) \approx-(\nabla f(\mathbf{x}))^{\mathrm{T}} \nabla f(\mathbf{x}) \leq 0 $$ 即函数值减小。即有 $$ f(\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}) \leq f(\mathbf{x}) $$ 梯度下降法每次的迭代增量为 $$ \Delta \mathbf{x}=-\alpha \nabla f(\mathbf{x}) $$ 其中$\alpha$为人工设定的接近于的正数，称为步长或学习率。其作用是保证$\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}$在$\mathbf{x}$的 邻域内，从而可以忽略泰勒公式中的$o(|\Delta \mathbf{x}|)$项。
使用该增量则有 $$ (\nabla f(\mathbf{x}))^{\mathrm{T}} \Delta \mathbf{x}=-\alpha(\nabla f(\mathbf{x}))^{\mathrm{T}}(\nabla f(\mathbf{x})) \leq 0 $$ 函数值下降。从初始点$\mathbf{x}{0}$开始，反复使用如下迭代公式 $$ \mathbf{x}{k+1}=\mathbf{x}{k}-\alpha \nabla f\left(\mathbf{x}{k}\right) $$ 只要没有到达梯度为0的点，函数值会沿序列$\mathbf{x}{k}$递减，最终收敛到梯度为0 的点。从$\mathbf{x}{0}$ 出发，用迭代公式进行迭代，会形成一个函数值递减的序列$\left{\mathbf{x}{i}\right}$ $$ f\left(\mathbf{x}{0}\right) \geq f\left(\mathbf{x}{1}\right) \geq f\left(\mathbf{x}{2}\right) \geq \ldots \geq f\left(\mathbf{x}_{k}\right) $$
迭代终止的条件是函数的梯度值为0(实际实现时是接近于0 即可)，此时认为已经达 到极值点。可以通过判定梯度的二范数是否充分接近于0 而实现。
其作用是保证$\mathbf{x}+\Delta \mathbf{x}$在$\mathbf{x}$的邻域内，即控制增量的步长，从而可以忽略泰勒公式中的
不能，可能收敛到鞍点，不是极值点。
假设$x_0$为函数的驻点，可分为以下三种情况。 case1：在该点处的二阶导数大于0，则为函数的极小值点； case2：在该点处的二阶导数小于0，则为极大值点； case3：在该点处的二阶导数等于0，则情况不定，可能是极值点，也可能不是极值点。
假设多元函数在点M的梯度为0 ，即M 是函数的驻点。其Hessian 矩阵有如下几种情 况。 case1：Hessian 矩阵正定，函数在该点有极小值。 case2：Hessian 矩阵负定，函数在该点有极大值。 case3：Hessian 矩阵不定，则不是极值点，称为鞍点。 Hessian 矩阵正定类似于一元函数的二阶导数大于0，负定则类似于一元函数的二阶导 数小于0。
Hessian 矩阵不定的点称为鞍点，它不是函数的极值点。
- 全局极小值
- 假设$\mathbf{x}^{}$是一个可行解，如果对可行域内所有点$\mathbf{x}$都有$f\left(\mathbf{x}^{}\right) \leq f(\mathbf{x})$，则 称$\mathbf{x}^{*}$为全局极小值。
- 局部极小值
- 对于可行解$\mathbf{x}^{}$，如果存在其$\delta$邻域，使得该邻域内的所有点即所有满足 $\left|\mathbf{x}-\mathbf{x}^{}\right| \leq \delta$的点$\mathbf{x}$，都有$f\left(x^{}\right) \leq f(x)$，则称$\mathbf{x}^{}$为局部极小值。
根据费马定理，函数在点$\mathbf{x}$ 处取得极值的必要条件是梯度为0
$$ \nabla f(\mathbf{x})=\mathbf{0} $$ 对于一般的函数，直接求解此方程组存在困难。对目标函数在$\mathbf{x}{0}$ 处作二阶泰勒展开 $$ f(\mathbf{x})=f\left(\mathbf{x}{0}\right)+\nabla f\left(\mathbf{x}{0}\right)^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}{0}\right)+\frac{1}{2}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}{0}\right)^{\mathrm{T}} \nabla^{2} f\left(\mathbf{x}{0}\right)\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}{0}\right)+o\left(\left|\mathbf{k}-\mathbf{x}{0}\right|^{2}\right) $$ 忽略二次以上的项，将目标函数近似成二次函数，等式两边同时对$\mathbf{x}$求梯度，可得 $$ \nabla f(\mathbf{x}) \approx \nabla f\left(\mathbf{x}{0}\right)+\nabla^{2} f\left(\mathbf{x}{0}\right)\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}{0}\right) $$ 其中 $\nabla^{2} f\left(\mathbf{x}{0}\right)$为在$\mathbf{x}{0}$ 处的Hessian 矩阵。令函数的梯度为0 ，有 $$ \nabla f\left(\mathbf{x}{0}\right)+\nabla^{2} f\left(\mathbf{x}{0}\right)\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}{0}\right)=\mathbf{0} $$ 解这个线性方程组可以得到 $$ \tag{1}\mathbf{x}=\mathbf{x}{0}-\left(\nabla^{2} f\left(\mathbf{x}{0}\right)\right)^{-1} \nabla f\left(\mathbf{x}{0}\right) $$ 如果将梯度向量简写为$\mathbf{g}$ ，Hessian 矩阵简记为$\mathbf{H}$ ，式(1)可以简写为 $$ \tag{2}\mathbf{x}=\mathbf{x}{0}-\mathbf{H}^{-1} \mathbf{g} $$ 在泰勒公式中忽略了高阶项将函数做了近似，因此这个解不一定是目标函数的驻点，需要反复用式(2) 进行迭代。从初始点$\mathbf{x}_{0}$处开始，计算函数在当前点处的Hessian 矩阵和梯度向量，然后用下面的公式进行迭代
$$ \tag{3} \mathbf{x}{k+1}=\mathbf{x}{k}-\alpha \mathbf{H}{k}^{-1} \mathbf{g}{k} $$
直至收敛到驻点处。迭代终止的条件是梯度的模接近于0 ，或达到指定的迭代次数。其中$\alpha$是人工设置的学习率。需要学习率的原因与梯度下降法相同，是为了保证能够忽略泰勒公式中的高阶无穷小项。
深度学习500问： https://github.com/scutan90/DeepLearning-500-questions
机器学习与深度学习习题集答案-1：https://mp.weixin.qq.com/s/4kWUE8ml_o6iF0F1TREyiA