Grupo de estudo Python - COVID-19
- Medidas de posição e dispersão
- Visualização de dados: histograma e boxplot
- Geração de números aleatórios
- Simulação de problemas probabilísticos.
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# valores entre 5 e 37 incluindos os extremos
valores = np.array(
[22, 30, 19, 14, 30, 18, 20, 19, 19, 27, 31, 20, 31, 24, 23, 5, 24,
31, 19, 22, 22, 16, 20, 19, 21, 32, 31, 30, 26, 37, 9, 27, 12, 17,
26, 28, 37, 18, 27, 30, 23, 35, 31, 30, 28, 20, 25, 32, 25, 11, 33,
15, 25, 31, 26, 30, 37, 20, 33, 29, 28, 36, 5, 20, 21, 7, 16, 18,
8, 32, 25, 13, 16, 34, 12, 24, 16, 11, 14, 22, 35, 29, 27, 19, 20,
29, 19, 28, 22, 29, 33, 21, 16, 35, 20, 37, 22, 34, 31, 12]+[35]*10)
contagem, barras = np.histogram(valores, bins=32) # cesto
fig, ax = plt.subplots()
# ax.hist(valores, histtype='stepfilled', bins=32, color='lavender', zorder=0) #bins = 8, 16, 32
# ax.hist(valores, histtype='step', bins=32, color='blue', zorder=0) #bins = 8, 16, 32
for p in range(len(contagem)):
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color='blue', zorder=1)
#ax.set_ylim(bottom=-0.2)
plt.yticks(range(10))
fig.suptitle('Gráfico de pontos\nCada ponto é uma observação', y=1.15)
fig.set_size_inches(10, 2.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
# Traçando o histograma
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(valores, bins=10, rwidth=.8, density=True, cumulative=True) # , density=True, bins = .., cumulative=True
# ax.hist(valores, bins=8, histtype='step', color='black', linewidth=3)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Histograma\nCada barra indica as observações dentro do intervalo',
y=1.15)
# fig.set_size_inches(10, 2)
plt.show()
-
A média das amostras
$x_1, x_2, \ldots, x_n$ é dada por:$$\bar{x} = \frac{x_1+x_2+x_3+\cdots x_n}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i $$ -
Exemplo. A média entre 3, 4, 1 e 8 é:
$$\bar{x} = \frac{3+4+1+8}{4}=\frac{16}{4}=4.$$ -
Obs: Média populacional (
$\mu$ ) e amostral ($\bar{x}$ ).
x = [3, 4, 1, 8]
xbar = sum(x)/4
print(xbar)4.0
# Usando numpy
import numpy as np
x = np.array([3, 4, 1, 8])
xbar = x.mean()
print(xbar)
# ou
xbar = np.mean(x)
print(xbar)4.0
4.0
-
Mediana significa meio, ponto central.
-
Exemplo. Se queremos calcular a mediana de
$0, 2, 6, 10, 15$ , primeiro colocamos em ordem crescente:$$0,2,{\color{red} 6},10,15$$ -
Neste caso, a mediana é o número central: 6.
-
Quando o número de valores estão em quantidade ímpar, a mediana é média aritmética dos dois valores centrais. Por exemplo, a mediana de
$0, 2, 6, 10, 13, 15$ é dada por:
A mediana é denotada
# A mediana é calculada usando a função numpy.median
xtilde=np.median([0, 2, 6, 10, 15])
print(xtilde)
xtilde=np.median([0, 2, 6, 10, 13, 15])
print(xtilde)6.0
8.0
print(np.median(valores))
print(np.mean(valores))25.0
24.70909090909091
valores_assimetricos = np.array(
[ 33, 89, 7, 28, 10, 62, 14, 25, 38, 13, 92, 16, 90,
13, 39, 11, 26, 4, 78, 86, 19, 24, 10, 52, 25, 12,
19, 20, 2, 14, 15, 37, 5, 21, 21, 23, 50, 51, 18,
27, 32, 10, 51, 12, 83, 32, 19, 3, 25, 23, 106, 23,
15, 95, 42, 12, 16, 15, 27, 21, 3, 6, 13, 20, 78,
6, 87, 29, 55, 91, 80, 76, 85, 49, 16, 10, 23, 19,
18, 13, 34, 21, 8, 14, 13, 5, 67, 12, 27, 12, 11,
26, 26, 22, 15, 14, 16, 28, 28, 27, 84, 84, 18, 15,
10, 14, 47, 49, 0, 29, 74, 13, 89, 45, 60, 17, 100,
17, 20, 11, 55, 26, 59, 10, 92, 21, 79, 33, 1, 4,
18, 24, 85, 95, 87, 23, 18, 10, 50, 22, 1, 47, 24,
38, 26, 66, 11, 91, 17, 69, 21, 18, 13, 41, 17, 25,
10, 11, 35, 15, 100, 88, 30, 35, 10, 100, 98, 11, 37,
34, 12, 72, 20, 79, 29, 22, 16, 15, 24, 19, 16])
contagem, barras = np.histogram(valores_assimetricos, bins=105)
fig, ax = plt.subplots()
media = np.mean(valores_assimetricos)
med = np.median(valores_assimetricos)
maior = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos>media )
igual = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos==media )
menor = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos<media )
for p in range(len(contagem)):
cor = 'red' if barras[p]<med else 'green' if barras[p] == med else 'blue'
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color=cor, zorder=1)
ax.axvline(x=media, ymin=0, ymax=1, linestyle='--')
ax.text (media+.5, 5, '$\\bar{x}='+'{:.2f}$'.format(media), fontsize=12)
fig.suptitle('Gráfico de pontos\nHá {} pontos abaixo da média, {} iguais à média e {} acima.'.format(menor, igual, maior), y=1.15)
fig.set_size_inches(20, 2.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
print(np.median(valores_assimetricos))
-
Da mesma forma como a mediana divide os dados pela metada, podemos realizar divisões em quartos, quintos ou percentis arbitrários. Seja
$x$ um número entre 0 e 100. Grosso modo, o percentil x divide os dados de forma que x% deles são menores ou iguais a x. -
Os quartis
$Q_1, Q_2, Q_3$ são os percentis$25%, 50%, 75%$ . -
Para os dados dados acima, os percentis são dados na célula de código.
tamanho_da_amostra = len(valores_assimetricos)
print('limiar | percentil | contagem | percentual real')
for limiar in range(10, 100, 10):
percentil = np.percentile(valores_assimetricos, limiar) # Calcula percentis
conta_menor = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos<=percentil)
print('{0:>3}% | {1:>5.1f} | {2:>4} | {3:>5.1%}'.format(limiar, percentil, conta_menor, conta_menor/tamanho_da_amostra))
print('total de valores: ', tamanho_da_amostra)limiar | percentil | contagem | percentual real
10% | 10.0 | 23 | 12.7%
20% | 13.0 | 42 | 23.2%
30% | 16.0 | 60 | 33.1%
40% | 19.0 | 75 | 41.4%
50% | 23.0 | 93 | 51.4%
60% | 27.0 | 110 | 60.8%
70% | 37.0 | 127 | 70.2%
80% | 59.0 | 145 | 80.1%
90% | 85.0 | 163 | 90.1%
total de valores: 181
valores_assimetricos = np.array(
[ 33, 89, 7, 28, 10, 62, 14, 25, 38, 13, 92, 16, 90,
13, 39, 11, 26, 4, 78, 86, 19, 24, 10, 52, 25, 12,
19, 20, 2, 14, 15, 37, 5, 21, 21, 23, 50, 51, 18,
27, 32, 10, 51, 12, 83, 32, 19, 3, 25, 23, 106, 23,
15, 95, 42, 12, 16, 15, 27, 21, 3, 6, 13, 20, 78,
6, 87, 29, 55, 91, 80, 76, 85, 49, 16, 10, 23, 19,
18, 13, 34, 21, 8, 14, 13, 5, 67, 12, 27, 12, 11,
26, 26, 22, 15, 14, 16, 28, 28, 27, 84, 84, 18, 15,
10, 14, 47, 49, 0, 29, 74, 13, 89, 45, 60, 17, 100,
17, 20, 11, 55, 26, 59, 10, 92, 21, 79, 33, 1, 4,
18, 24, 85, 95, 87, 23, 18, 10, 50, 22, 1, 47, 24,
38, 26, 66, 11, 91, 17, 69, 21, 18, 13, 41, 17, 25,
10, 11, 35, 15, 100, 88, 30, 35, 10, 100, 98, 11, 37,
34, 12, 72, 20, 79, 29, 22, 16, 15, 24, 19, 16])
contagem, barras = np.histogram(valores_assimetricos, bins=105)
fig, ax = plt.subplots()
media = np.mean(valores_assimetricos)
med = np.median(valores_assimetricos)
maior = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos>media )
igual = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos==media )
menor = sum(1 if x else 0 for x in valores_assimetricos<media )
for p in range(len(contagem)):
cor = 'red' if barras[p]<med else 'green' if barras[p] == med else 'blue'
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color=cor, zorder=1)
# Traça percentis
for limiar in range(10, 100, 10):
percentil = np.percentile(valores_assimetricos, limiar)
ax.axvline(x=percentil, ymin=0, ymax=1, linestyle='--')
fig.suptitle('Gráfico de pontos.\n Percentis de 10 a 90.', y=1.15)
fig.set_size_inches(20, 2.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
print(np.median(valores_assimetricos))
np.percentile(valores_assimetricos, 30)16.0
-
A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo valor dos dados. Exemplo: se os dados são
$[5, 7, 10, 20]$ , então a amplitude é$$20-5=15.$$ -
O intervalo interquartil é a diferença ente o terceiro e o primeiro quartis. No exemplo acima seria:
$$IIQ = Q_3-Q_1=10-7=3$$
fig, ax = plt.subplots()
# Calcula percentis
percentis = [np.percentile(valores_assimetricos, limiar)\
for limiar in [0, 25, 50, 75, 100]]
# Desenha as bolinhas
for p in range(len(contagem)):
if barras[p] < percentis[1]:
cor = 'red'
elif barras[p] < percentis[2]:
cor = 'blue'
elif barras[p] < percentis[3]:
cor = 'green'
else:
cor = 'orange'
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color=cor, zorder=1)
# Traça linhas tracejadas nos percentis
for percentil in percentis:
ax.axvline(x=percentil, ymin=0, ymax=1, linestyle='--')
plt.arrow(percentis[2], 8, percentis[3]-percentis[2], 0, head_width=1, \
head_length=1, linewidth=1, color='g', length_includes_head=True)
plt.arrow(percentis[3], 8, percentis[1]-percentis[3], 0, head_width=1, \
head_length=1, linewidth=1, color='g', length_includes_head=True)
plt.text(s='Intervalo interquartil', x=(percentis[1]+percentis[3])/2, y=7,
fontsize=13, ha='center', color='black')
plt.arrow(0, 10, 106, 0, head_width=1, clip_on=False,\
head_length=1, linewidth=1, color='blue', length_includes_head=True)
plt.arrow(106, 10, -106, 0, head_width=1, clip_on=False,\
head_length=1, linewidth=1, color='blue', length_includes_head=True)
plt.text(s='Amplitude', x=53, y=10.5, clip_on = False,
fontsize=12, ha='center', color='black')
fig.suptitle('Gráfico de pontos.\n Amplitude e intervalo interquartil.'.format(menor, igual, maior),
y=1.3)
fig.set_size_inches(20, 2.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
-
A variância é uma medida do quanto os dados se distanciam da média.
-
A variância amostral de um conjunto de dados
$x=\left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right]$ é dada por:$$s^2(x) = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2.$$ -
A variância populacional de um conjunto de dados
$x=\left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right]$ é dada por:$$\sigma^2(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2.$$ -
Observe que a expressão para a variância amostra é maior ou igual à expressão para variância população. Esta correção vem do fato que a primeira é melhor estimador para variância populacional a partir de uma amostra.
-
Cada termo do somatório contribui positivamente para a variância, pois o quadrado de qualquer real é não-negativo.
-
O uso do expoente 2 em detrimento de outros traz diversas propriedades matemáticas interessantes. Observe a semelhança com a distância euclidiana.
-
O desvio padrão amostral e populacional são definidos como a raiz quadrada da variância amostral e populacional, respectivamente:
$$s = \sqrt{s^2}~~~\text{e}~~~\sigma = \sqrt{\sigma^2}.$$ -
Exemplo a média e variância do conjunto de dados
$[1, 4, 5, 7, 13]$ é dada por:$$\bar{x}=\frac{1+4+5+7+13}{5}=6$$ $$s^2 = \frac{\left(1-6\right)^2+\left(4-6\right)^2+\left(5-6\right)^2+\left(7-6\right)^2+\left(13-6\right)^2}{5-1}=\frac{80}{4}=20$$
x=np.array([1, 4, 5, 7, 13])
print(np.mean(x), np.var(x, ddof=1), np.std(x, ddof=1))
# ddof = difference of degrees of freedom6.0 20.0 4.47213595499958
- O boxplot é um diagrama formado por:
- Uma caixa indicando a região interquartil.
- Uma linha cortando a caixa e indicando a mediana.
- Linhas chamadas de bigodes, indicando a mínima e a máxima observação, excluindo outliers.
- Indicação dos outliers.
-
Outliers ou discrepantes são observações que distam do quarto mais próximo por mais de
$1.5(Q_3-Q_1)$ . - Um Outliers é chamado de extremo se dista do quarto mais próximo por mais de
$3(Q_3-Q_1)$ .
fig, ax = plt.subplots(1, 4)
ax[0].boxplot(valores, vert=False, widths=.5) # widths = [..]
ax[1].boxplot(valores_assimetricos, vert=False)
ax[2].boxplot([valores, valores_assimetricos], vert=False)
ax[3].boxplot([valores, valores_assimetricos], vert=True)
ax[0].set_title('Primeiro conjuto de dados')
ax[1].set_title('Segundo conjuto de dados')
ax[2].set_title('Boxplot comparativo')
ax[3].set_title('Boxplot comparativo vertical')
fig.suptitle('Traçado de boxplots com e sem outliers.', y=1.1, fontsize=14)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.set_size_inches(15, 3)
plt.show()
# Como ficam o box plot para os valores_assimetricos?
valores_assimetricos = np.array(
[ 33, 89, 7, 28, 10, 62, 14, 25, 38, 13, 92, 16, 90,
13, 39, 11, 26, 4, 78, 86, 19, 24, 10, 52, 25, 12,
19, 20, 2, 14, 15, 37, 5, 21, 21, 23, 50, 51, 18,
27, 32, 10, 51, 12, 83, 32, 19, 3, 25, 23, 106, 23,
15, 95, 42, 12, 16, 15, 27, 21, 3, 6, 13, 20, 78,
6, 87, 29, 55, 91, 80, 76, 85, 49, 16, 10, 23, 19,
18, 13, 34, 21, 8, 14, 13, 5, 67, 12, 27, 12, 11,
26, 26, 22, 15, 14, 16, 28, 28, 27, 84, 84, 18, 15,
10, 14, 47, 49, 0, 29, 74, 13, 89, 45, 60, 17, 100,
17, 20, 11, 55, 26, 59, 10, 92, 21, 79, 33, 1, 4,
18, 24, 85, 95, 87, 23, 18, 10, 50, 22, 1, 47, 24,
38, 26, 66, 11, 91, 17, 69, 21, 18, 13, 41, 17, 25,
10, 11, 35, 15, 100, 88, 30, 35, 10, 100, 98, 11, 37,
34, 12, 72, 20, 79, 29, 22, 16, 15, 24, 19, 16])
contagem, barras = np.histogram(valores_assimetricos, bins=105)
fig, (ax, ax2) = plt.subplots(2, sharex=True)
# Calcula percentis
percentis = [np.percentile(valores_assimetricos, limiar) for limiar in range(0, 125, 25)]
# Desenha as bolinhas
for p in range(len(contagem)):
if barras[p] < percentis[1]:
cor = 'red'
elif barras[p] < percentis[2]:
cor = 'blue'
elif barras[p] < percentis[3]:
cor = 'green'
else:
cor = 'orange'
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color=cor, zorder=1)
# Traça linhas tracejadas nos percentis
for percentil in percentis:
ax.axvline(x=percentil, ymin=0, ymax=1, linestyle='--')
ax.arrow(percentis[2], 8, percentis[3]-percentis[2], 0, head_width=1, \
head_length=1, linewidth=1, color='g', length_includes_head=True)
ax.arrow(percentis[3], 8, percentis[1]-percentis[3], 0, head_width=1, \
head_length=1, linewidth=1, color='g', length_includes_head=True)
ax.text(s='Intervalo interquartil', x=(percentis[1]+percentis[3])/2, y=7,
fontsize=13, ha='center', color='black')
ax.arrow(0, 10, 106, 0, head_width=1, clip_on=False,\
head_length=1, linewidth=1, color='blue', length_includes_head=True)
ax.arrow(106, 10, -106, 0, head_width=1, clip_on=False,\
head_length=1, linewidth=1, color='blue', length_includes_head=True)
ax.text(s='Amplitude', x=53, y=10.5, clip_on = False,
fontsize=12, ha='center', color='black')
ax2.boxplot(valores_assimetricos, vert=False, widths=1.7)
fig.suptitle('Gráfico de pontos e boxplot.'.format(menor, igual, maior),
y=1.05, fontsize=14, ha ='center')
fig.set_size_inches(20, 4.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
# Resumo
print(np.min(valores_assimetricos))
print(np.max(valores_assimetricos))
print(np.mean(valores_assimetricos)) # Média
print(np.median(valores_assimetricos)) # Mediana
print(np.var(valores_assimetricos, ddof=1)) # Variância
print(np.std(valores_assimetricos, ddof=1)) # Desvio padrão
Q1 = np.percentile(valores_assimetricos, 25)
Q2 = np.percentile(valores_assimetricos, 55)
Q3 = np.percentile(valores_assimetricos, 75)
# IIQ = Q3 - Q1 : Intervalo interquartil
print(f'Q1 = {Q1:.2g}, Q2 = {Q2:.2g}, Q3 = {Q3:.2g}') # Quartis0
106
34.11602209944751
23.0
785.3364640883979
28.023855268117515
Q1 = 14, Q2 = 25, Q3 = 49
-
Usaremos o módulo random da bibliteca numpy.
import numpy as np
# Inicializa gerador de números aleatórios
# Será usado por outras funções
alea = np.random.default_rng() # pode-se usar seed.
for i in range(10):
print(alea.integers(0, 10), end=' ')
# Gera inteiros aleatórios entre 0 e 10.
# Os inteiros são produzidos com a mesma probabilidade.6 6 4 0 1 4 0 8 2 6
# Pode-se produzir um array.
# Se você rodar novamente esta célula o resultado muda,
# pois o gerador não foi inicializado.
print(alea.integers(0, 100, 20)) # Retorna um numpy.array[37 12 48 61 81 87 8 84 59 7 86 0 55 42 66 90 17 88 24 26]
# Se você não semeia o gerador, ele é semeado com um valor do OS=Sistema Operacional.
alea = np.random.default_rng()
print(alea.integers(0, 10, 20))[8 5 0 5 0 7 4 0 1 9 4 8 5 1 9 0 4 3 1 7]
# Vamos traçar o histograma.
valores = alea.integers(0, 50, 500) # Muitos dados
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(valores)
fig.suptitle('Histograma sem graça porque a distribuição é uniforme.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
# Simulando um dado
lancamentos = alea.integers(1, 7, 50)
print(lancamentos)
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, bins=6, width=.8)
fig.suptitle('Dado honesto de 6 lados.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()[5 2 6 6 4 5 4 4 3 1 1 1 4 4 2 2 6 1 3 6 2 4 6 2 1 1 5 1 2 2 2 1 3 1 4 6 2 4 2 3 5 5 5 5 6 6 4 5 5 1]
# E se você somar o resultado de 2 dados?
N = 2000 # Número de lançamentos
lancamentos = alea.integers(1, 7, N)
lancamentos += alea.integers(1, 7, N)
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, bins=11)
fig.suptitle('Soma de 2 dados honestos.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
-
$2= 1+1$ . -
$3= 1+2 = 2+1 $ . -
$4= 1+3 = 2+2 = 3 +1 $ . -
$5= 1+4 = 2+3 = 3+2 = 4+1 $ . -
$6= 1+5 = 2+4 = 3+3 = 4+2 = 5+1 $ . -
$7= 1+6 = 2+5 = 3+4 = 4+3 = 5+2 = 6+1 $ . -
$8= 2+6 = 3+5 = 4+4 = 5+3 = 6+2$ . -
$9 =3+6 = 4+5 = 5+4 = 6+3$ . -
$10 =4+6 = 5+4 = 6+4 $ . -
$11 =5+6 = 6+5 $ . -
$12 =6+6 $ .
# E se você somar o resultado de vários dados?
k = 4 # Número de dados
N = 10_000 # Número de lançamentos
lancamentos = np.zeros(N)
for i in range(k):
lancamentos += alea.integers(1, 7, N)
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, density=True, bins=int(max(lancamentos)-min(lancamentos)+1))
# Traça gráfico da normal
media = np.mean(lancamentos)
desvpad = np.std(lancamentos, ddof=1)
x = (np.linspace(min(lancamentos), max(lancamentos)))
z = (x - media)/desvpad
ax.plot(x, np.exp( -z**2 / 2 ) / (desvpad * np.sqrt(2 * np.pi)),
zorder=1, linewidth=3, color='orange')
fig.suptitle(f'Soma de {k} dados honestos em {N} lançamentos.\nHistograma de densidade.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
-
Grosseiramente falando, o Teorema Central do Limite estabelece que distribuição da soma de muitas amostras independentes (não importa a distribuição original) se aproxima da distribuição normal dada por:
$$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2} $$ -
Aqui
$\mu$ é a média e$\sigma$ é o desvio padrão. Isto acontece para qualquer distribuição. -
Este resultado é muito importante, pois permite tratar amostras grandes usando a normal.
# Gerando floats
floats_sorteados = alea.random(5)
# Produz 5 floats aleatórios entre 0 e 1 com distribuição uniforme
print(floats_sorteados)[0.45652761 0.71300511 0.84278042 0.43962321 0.8754208 ]
# Gerando floats com distribuição normal
floats_sorteados = alea.standard_normal(50)
# Produz 5 floats aleatórios entre 0 e 1 com distribuição normal
#print(floats_sorteados)
print(np.mean(floats_sorteados))
print(np.std(floats_sorteados, ddof=1))
print(np.min(floats_sorteados))
print(np.max(floats_sorteados))-0.002424138785803408
0.907676142806984
-2.074782698174656
2.17524572592116
# Escolhendo da uma lista
sorteados = alea.choice(['A', 'B', 'C', 'D'], 2) # Com reposição
print(sorteados)
sorteados = alea.choice(['A', 'B', 'C', 'D'], 10) # Com reposição
print(sorteados)['C' 'C']
['D' 'A' 'B' 'B' 'C' 'A' 'A' 'B' 'B' 'B']
# Escolhendo da uma lista sem reposição
sorteados = alea.choice(['A', 'B', 'C', 'D'], 4, replace=False) # Com reposição
print(sorteados)['A' 'D' 'C' 'B']
# Criando nova lista com elementos embaralhados.
lista = ['A', 'B', 'C', 'D']
lista2 = alea.permutation(lista) # Não modifica a lista
print(lista, lista2, sep='\t')['A', 'B', 'C', 'D'] ['D' 'C' 'B' 'A']
# Distribuição normal
# A gaussiana é totalmente descrita pela média e desvio padrão.
media = 5
desvpad = 2
N = 100
lancamentos = alea.normal(media, desvpad, N) # N amostras
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, density=True, bins='sqrt')
# Traça gráfico da normal
x = (np.linspace(min(lancamentos), max(lancamentos)))
z = (x - media)/desvpad
ax.plot(x, np.exp( -z**2 / 2 ) / (desvpad * np.sqrt(2 * np.pi)),
zorder=1, linewidth=3, color='orange')
fig.suptitle(f'Amostras de uma distribuição normal.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
# Distribuição exponencial
# Totalmente descrita pela média, que é igual ao desvio padrão.
media = 5
#
N = 2000
lancamentos = alea.exponential(media, N) # N amostras
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, density=True, bins=int(np.sqrt(N)+1))
# Traça gráfico da distribuição exponencial
x = (np.linspace(min(lancamentos), max(lancamentos)))
ax.plot(x, np.exp( -x / media ) / media,
zorder=1, linewidth=3, color='orange')
fig.suptitle(f'Amostras de uma v.a. exponencialmente distribuída.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
# A soma de variáveis aleatórias exponencialmente distribuidas
media = 5
#
N = 2000
k = 20
lancamentos = np.zeros(N)
for j in range(k):
lancamentos += alea.exponential(media, N) # N amostras
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(lancamentos, density=True, bins=int(np.sqrt(N)+1))
# Traça gráfico da normal
media = np.mean(lancamentos)
desvpad = np.std(lancamentos, ddof=1)
x = (np.linspace(min(lancamentos), max(lancamentos)))
z = (x - media)/desvpad
ax.plot(x, np.exp( -z**2 / 2 ) / (desvpad * np.sqrt(2 * np.pi)),
zorder=1, linewidth=3, color='orange')
fig.suptitle(f'Amostras da soma de {k} variáveis aleatórias.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
-
Quantas pessoas aleatóriamente escolhidas precisam estar em uma sala para que a probabilidade de haver duas que fazem aniversário no mesmo dia?
# Vamos simular uma sala.
import numpy as np
#Inicializa gerador de números aleatórios
#alea = np.random.default_rng()
pessoas_na_sala = 23
aniversarios = alea.integers(0, 365, pessoas_na_sala)
if len( {*aniversarios} ) != pessoas_na_sala:
print('Há repetição.')
else:
print('Não há repetição.')Há repetição.
# Vamos simular diversas vezes e contar ocorrências
pessoas_na_sala = 50
numero_de_simulacoes = 10_000
contagem = 0 # número de ocorrências positivas
for k in range(numero_de_simulacoes):
if len({*alea.integers(0, 365, pessoas_na_sala)}) != pessoas_na_sala:
contagem += 1
print(f'{contagem} de {numero_de_simulacoes}, i.e., {contagem/numero_de_simulacoes:.2%}')9709 de 10000, i.e., 97.09%
- Considere o jogo televisivo:
-
O apresentador mostra três portas. Atrás de uma delas está um prêmio e, atrás das outras duas, dois bodes.
-
O participante escolhe uma das três portas (que ainda não é aberta).
-
Uma das portas das outras duas portas é aberta e revela um bode.
-
O apresentador pergunta ao concorrente se quer permanecer com a porta originalmente escolhida ou se ele prefere mudar para a outra porta que ainda está fechada.
- Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Por quê?
# Simulando o paradoxo de Monty Hall
# Quando acontece vitória sem troca?
# Quando a escolha original está correta.
# Quando acontece vitória com troca?
# Quando a escolha original está errada.
jogos_a_simular = 100 # Número de jogos a simular
vitorias_sem_troca = 0
vitorias_com_troca = 0
for k in range(jogos_a_simular):
premio = alea.integers(3)
escolha = alea.integers(3) # Poderia manter fixa a escolha original?
if premio==escolha:
vitorias_sem_troca += 1
# Se a porta correta foi originalmente escolhida, ganha quem não trocou.
else:
vitorias_com_troca += 1
# Se a porta correta não foi originalmente escolhida, ganha quem trocou.
print(f'Vitorias com troca: {vitorias_com_troca} vitorias sem troca: {vitorias_sem_troca}.')Vitorias com troca: 68 vitorias sem troca: 32.
- Em um modelo de urna, objetos de interesse real (como átomos, pessoas, carros etc.) são representados como bolas coloridas em uma urna. Considere o seguinte modelo básico:
-
A urna contém inicialmente uma bola branca e uma preta.
-
Uma bola é retirada aleatoriamente da urna e sua cor é observada; ela é recolocada à urna e uma bola adicional da mesma cor é adicionada à urna.
-
O processo de seleção é repetido.
-
Questões de interesse são a evolução da população da urna e a seqüência de cores das bolas desenhadas.
-
OBS: Você pode generalizar para: adicionar c novas bolas da mesma cor.
# Vamos simular a composição final da urna
numero_de_simulacoes = 1000
numero_de_sorteios = 10 # A urna terminará com 2 + numero_de_sorteios bolas
contagens = []
for k in range(numero_de_simulacoes):
urna = [0, 1] # 0 = branca, 1 = preta
for j in range(numero_de_sorteios):
cor = alea.choice(urna)
urna.extend([cor]*1)
contagem_de_pretas = sum(urna)
contagens.append(contagem_de_pretas)
print(f'Pretas: {contagem_de_pretas}\t Brancas: {numero_de_sorteios+2-contagem_de_pretas}')Pretas: 3 Brancas: 9
Pretas: 4 Brancas: 8
Pretas: 3 Brancas: 9
...
Pretas: 10 Brancas: 2
Pretas: 8 Brancas: 4
Pretas: 9 Brancas: 3
# Traça histograma
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(contagens, density=True, bins=numero_de_sorteios+1)
# Traça gráfico da normal
#fig.suptitle(f'Amostras da soma de {k} variáveis aleatórias.')
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()
-
Se N pessoas realizam um sorteio de amigo secreto. Qual a probabilidade de ninguém retirar seu próprio nome?
# Amigo secreto
numero_de_simulacoes = 1000
numero_de_amigos = 50 # Que será que acontece com um número grande de amigos?
contagem = 0 # Contagem de casos com alguém sorteando seu próprio nome.
amigos = [*range(numero_de_amigos)] # Lista de amigos, cada um é um número
for k in range(numero_de_simulacoes):
sorteio = alea.permutation(amigos) # Poderia ter fundido estas duas linhas?
for i in range(numero_de_amigos):
if sorteio[i] == i:
contagem += 1
break
# Achou alguém que sorteou seu próprio nome.
print(f'Alguém se sorteou em {contagem} de {numero_de_simulacoes} simulações, i.e., {contagem/numero_de_simulacoes:.2%}')Alguém se sorteou em 665 de 1000 simulações, i.e., 66.50%
-
Quantas figurinhas é necessário comprar para completar um álbum com 200 posições?
-
E se o objetivo for atingir a marca de 40 cromos faltantes?
-
Hipóteses: As figurinhas são vendidas com igual frequência e a aparição de uma é independente das outras. Não há trocas.
-
https://pt.wikipedia.org/wiki/Problema_do_colecionador_de_cupons
import numpy as np
def preenche_album(tamanho=200, meta=None): # Teste o comando help
"""Entradas:
tamanho: Número de cromos diferentes na coleção.
Padrão = 200
meta: número de cromos diferentes a serem encontrados até
parar de comprar.
Padrão = tamanho
Retorna:
Número de cromos adquiridos.
OBS: Supõe variável alea definida."""
if meta == None:
meta = tamanho
colecao = np.zeros(tamanho, dtype=int)
# Este array indica quantas figurinhas de cada número já compramos.
# Quando a figurinha de número k é adquirida, colecao[k] é incrementado.
n_diferentes = 0
# Este inteiro indica quantas figurinhas diferentes já foram adquiridas.
# O loop para quando n_diferentes==meta.
n_compradas = 0
# Este inteiro indica quantas figurinhas já foram compradas no total.
while (n_diferentes<meta):
n_compradas += 1
cromo = alea.integers(tamanho)
if colecao[cromo]==0: # Nova figurinha, oba!
n_diferentes += 1
colecao[cromo] += 1
return n_compradas#help(preenche_album)
print(preenche_album(tamanho=200, meta=160), 200*np.log(200/40)) # tamanho*log(tamanha/(tamanho-meta))309 321.88758248682007
# Vamos calcular muitas vezes?
tamanho = 200
meta = tamanho - 40
numero_de_simulacoes = 200
quantidades_compradas = np.zeros(numero_de_simulacoes, dtype='int')
for i in range(numero_de_simulacoes):
quantidades_compradas[i] = preenche_album(tamanho, meta)
for limiar, nome in zip([0, 25, 50, 75, 100], ['Min', 'Q1', 'Q2', 'Q3', 'Max']):
print(f'{nome:<5} = {np.percentile(quantidades_compradas, limiar):g}')
print(f'Média = {np.mean(quantidades_compradas):g}')
print(f'DesvP = {np.std(quantidades_compradas, ddof=1):g}')
print(f'IIQ = {np.percentile(quantidades_compradas, 75)-np.percentile(quantidades_compradas, 25):g}')Min = 265
Q1 = 306
Q2 = 321
Q3 = 336.25
Max = 377
Média = 321.25
DesvP = 22.1593
IIQ = 30.25
# Histograma e boxplot
contagem, barras = np.histogram(quantidades_compradas, bins=int(max(quantidades_compradas)-min(quantidades_compradas)))
fig, (ax, ax2, ax3) = plt.subplots(3, sharex=True)
# Calcula percentis
percentis = [np.percentile(quantidades_compradas, limiar) for limiar in range(0, 125, 25)]
# Desenha as bolinhas
for p in range(len(contagem)):
if barras[p] < percentis[1]:
cor = 'red'
elif barras[p] < percentis[2]:
cor = 'blue'
elif barras[p] < percentis[3]:
cor = 'green'
else:
cor = 'orange'
for i in range(contagem[p]):
ax.scatter(barras[p], i+1, color=cor, zorder=1)
# Traça linhas tracejadas nos percentis
for percentil in percentis:
ax.axvline(x=percentil, ymin=0, ymax=1, linestyle='--')
ax2.boxplot(quantidades_compradas, vert=False, widths=1.7)
ax3.hist(quantidades_compradas, bins=int(np.sqrt(numero_de_simulacoes)))
fig.suptitle('Gráfico de pontos e boxplot.\n'\
f'Q2 = {percentis[1]}, Q3={percentis[2]}',
fontsize=14, ha ='center')
fig.set_size_inches(20, 7.4)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show();
-
Considere dois jogadores e quatro dados, cada um com uma combinação de números nas faces.
-
Cada jogador escolhe um dado e o vencedor é quem obtém pontuação superior em mais lançamentos depois de vários confrontos.
-
O desafiante é o segundo a escolher o dado.
-
Cada face é equiprovável.
-
As faces são numerados conforme a seguir:
dados = [[3, 3, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 4, 4, 4, 4],
[1, 1, 1, 5, 5, 5],
[2, 2, 2, 2, 6, 6]]
# Não pode haver empatedados = [[3, 3, 3, 3, 3, 3],
[0, 0, 4, 4, 4, 4],
[1, 1, 1, 5, 5, 5],
[2, 2, 2, 2, 6, 6]]
numero_de_confrontos = 100
lances = np.zeros((numero_de_confrontos, 4))
# Vamos simular os quatro dados e depóis filtramos o resultado dois-a-dois.
for k in range(numero_de_confrontos):
lances[k] = [alea.choice(dado) for dado in dados]lancesarray([[3., 4., 5., 6.],
[3., 4., 1., 6.],
[3., 0., 1., 2.],
...
[3., 0., 5., 2.],
[3., 0., 5., 2.],
[3., 0., 5., 6.]])
import itertools as it
nomes = [*'ABCD']
# for i, j in it.combinations(range(3, -1, -1), 2):
for i, j in [(1, 0), (2, 1), (3, 2), (0, 3)]:
print(f'{nomes[i]} ganha de {nomes[j]} em {sum(1 if lance[i]>lance[j] else 0 for lance in lances)} de {numero_de_confrontos} confrontos.')B ganha de A em 63 de 100 confrontos.
C ganha de B em 69 de 100 confrontos.
D ganha de C em 68 de 100 confrontos.
A ganha de D em 65 de 100 confrontos.
- Como é a distribuição do quadrado dos valores de uma variável aleatória normalmente distribuida?
# Normal ao quadrado
import scipy.stats as st
numero_de_simulacoes = 200
valores = alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu = 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
valores += alea.standard_normal(numero_de_simulacoes)**2; nu += 1
# Posso usar um loop?
fig, ax = plt.subplots()
hist = ax.hist(valores, bins = int(np.sqrt(numero_de_simulacoes)), density=True)
x = np.linspace(3/4*hist[1][0] + 1/4*hist[1][1], max(valores), 100)
y = st.chi2.pdf(x, nu)
ax.plot(x, y)
if nu>1:
fig.suptitle(f'Histograma da soma dos quadrados dos valores de {nu} amostras\n'\
'de uma população normalmente distribuida.')
else:
fig.suptitle(f'Histograma do quadrado dos valores de uma amostra\n'\
'de uma população normalmente distribuida.')
fig.set_size_inches(10, 5)
fig.patch.set_facecolor('white')
plt.show()