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Grupo de estudo Python - COVID-19

Modelos contínuos

No terceiro notebook, discutimos alguns modelos discretos: crescimento exponencial, sigmóide, modelo SIR e SEIR.
Diferentemente dos modelos discretos, em que modelamos a variação diária, nos modelos contínuos, modelamos a taxa instantânea de variação.
Se N(t) é uma grandeza que varia no tempo, por exemplo, a temperatura, a quantidade de indivíduos em uma população ou a velocidade de um objeto, denotamos a taxa de variação instantânea das seguintes formas: $$\frac{d}{dt}N(t) = \frac{dN(t)}{dt}= N'(t) = \dot{N}(t) = N_t(t).$$
A taxa de variação também é chamada de derivada.
Alguns conceitos:

A taxa de variação da posição é a velocidade.
A taxa de variação da velocidade é a aceleração.
A taxa de variação média dos preços é a inflação.
A taxa de variação da temperatura é positiva quando está aquecendo. E negativa quando está esfriando.
Se taxa de variação de uma grandeza é nula, então a grandeza é constante.
A taxa de variação da temperatura é medida em graus por segundo (ou minutos, horas, dias etc).
A taxa de variaçao de uma grandeza é medida em unidades da grandeza por unidade de tempo.

Crescimento exponencial

Seja $N(t)$ uma determinada quantidade no instante $t$ para $t\geq 0.$

O número $N(t)$ pode representar o número de pessoas infectadas por uma doença, o número de bactérias em uma colônia, o número de usuários em uma rede social etc.

No modelo exponencial, supomos que a taxa de crescimento é proporcial ao tamanho da polução $N(t)$, isto é: $$N'(t) = c N(t)$$ Aqui $c$ é uma constante de proporcionalidade.

Complementamos este problema com a quantidade no instante $t=0$, isto é, $N(0)$.

Veja mais detalhes em:

https://pt.wikipedia.org/wiki/Crescimento_exponencial
Obs: A solução deste problema com $c=1$ é $N(t)=N(0)e^t$. Aqui, $e$ denota o número de Euler: $$e=2,71828182890...$$ A exponencial $e^t$ também é chamada de $\exp(t)$ e é chamada de exponencial natural.
Um equação envolvendo uma função e sua derivada é chamada de equação diferencial. O problema de resolver uma equação diferencial quando conhecemento o valor da função em $t=0$ é chamado de problema de valor inicial.
Usaremos o módulo solve_ivp da biblioteca from scipy.
Considere o problema de valor inicial na forma: $$\begin{eqnarray*}N'(y) &=& f(t,N(t)),\ N(0)&=& \text{conhecido.} \end{eqnarray*} $$
Tudo o que precisamos fazer é escrever a função f(t, N)
Exemplo: $$\begin{eqnarray*}N'(y) &=& 3 N(t),\ N(0)&=& 1 \end{eqnarray*} $$ então $f(t, N)=3 N.$
https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.integrate.solve_ivp.html

from scipy.integrate import solve_ivp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def funcao(t, N):   # N'(t) =  3*N(t), N(t) = exp(3*t)
    return 3 * N

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 1], [1], dense_output=True)
# [0, 1] = tempo inicial e final. # [1] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0], np.exp(3*t)))   # np.exp(3*t)

# Experimente trocar os , use constante negativa para produzir decrescimento exponencial

0.0 1.000000 1.000000
0.1 1.349899 1.349859
0.2 1.822120 1.822119
0.3 2.459424 2.459603
0.4 3.320186 3.320117
0.5 4.482259 4.481689
0.6 6.048351 6.049647
0.7 8.163871 8.166170
0.8 11.023144 11.023176
0.9 14.879839 14.879732
1.0 20.085662 20.085537

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 50)
N = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, N)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Crescimento exponencial')
plt.show()

Resfriamento de corpos - Lei de Newton

Considere a temperatura $T(t)$ de um corpo aquecido resfriando à temperatura ambiente.
A taxa de variação de temperatura é negativa e proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura ambiente: $$T'(t) = -c \left(T(t) - T_{amb}\right).$$
Considere que o corpo está inicialmente à temperatura de $80^{\circ}$C e a temperatura ambiente é $25^{\circ}$C. O problema de valor inicial é dado por: $$\begin{eqnarray} T'(t) &=& -c \left(T(t) - 25\right),\ T(0) &=& 80. \end{eqnarray*}$$
A contante c vale $5^{\circ}C$ por hora por grau Celcius.

def funcao(t, T):
    return -5*(T-25)

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 2], [80], dense_output=True)
# [0, 2] = tempo inicial e final em horas. # [80] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0]))    

# Experimente trocar os , use constante negativa para produzir decrescimento exponencial

0.0 80.000000
0.2 45.227081
0.4 32.451339
0.6 27.742697
0.8 26.007986
1.0 25.370407
1.2 25.140148
1.4 25.049490
1.6 25.020381
1.8 25.005810
2.0 25.005296

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(0, 2)
N = solucao.sol(t)[0]

ax.plot(t, N)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Curva de resfriamento')
ax.axhline(25, xmin=0, xmax=1, linestyle='--', color='red')
plt.show()

array([80. , 69.84675466, 61.56030055, 54.79064692, 49.28697841,
44.82104045, 41.1820367 , 38.19241333, 35.75101803, 33.76673208,
32.15497761, 30.83853396, 29.75741368, 28.87572762, 28.16071436,
27.58136043, 27.10840034, 26.71774708, 26.39789666, 26.13866746,
25.92986324, 25.76130286, 25.62282023, 25.50677094, 25.41119543,
25.33388401, 25.27231297, 25.2236475 , 25.18474167, 25.1521384 ,
25.12347661, 25.09929096, 25.07956904, 25.06407548, 25.052361 ,
25.04376245, 25.03740278, 25.03219106, 25.02684738, 25.02140769,
25.01654565, 25.0124789 , 25.00933596, 25.00715633, 25.00589042,
25.00539957, 25.00545606, 25.00574309, 25.00585482, 25.0052963 ])

Queda sob efeito da gravidade e resistência do ar

Considere um objeto em queda com velocidade instantânea dada por $v(t)$. Convenção: positivo para baixo.
A velocidade se alteração em função da força da gravidade e do atrito viscoso com o ar.
A taxa de variação da velocidade, i.e., a aceleração é dada por: $$v'(t) = g - \kappa v^2(t).$$
A constante $g\approx 9.8~!\text{m}/\text{s}^{2}$ é a aceleração da gravidade.
A constante $\kappa$ é positiva e está relacionada com a interação do corpo com o ar. Usaremos $\kappa = 0.001$.

def funcao(t, v):
    return 9.8 - 0.001 * v**2

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 50], [0], dense_output=True)
# [0, 50] = tempo inicial e final em segundos. # [0] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0]))

0.0 0.000000
5.0 45.340830
10.0 74.984957
15.0 89.345359
20.0 95.299502
25.0 97.618942
30.0 98.474466
35.0 98.798703
40.0 98.924777
45.0 98.967225
50.0 98.976653

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(0, 50)
N = solucao.sol(t)[0]

ax.plot(t, N)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Velocidade de queda')
plt.show()

Crescimento sigmóide

Seja $N(t)$ uma determinada quantidade no instante $t$ para $t\geq 0$

O número $N(t)$ pode representar o número de pessoas infectadas por uma doença, o número de bactérias em uma colônia, o número de usuários em uma rede social etc.

Neste modelo, supomos que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da polução $N(t)$ e também à disponibilidade de recursos. Os recursos são limitados e disputados pelos indivíduos, de forma que o crescimento é dado por: $$N'(t) = c N(t) (R-N(t)).$$ Aqui $R$ é capacidade do ambiente. Se $N(t)>R$, o crescimento é negativo, isto é, o ambiente não suporta tal quantidade de indivíduos.

Aqui $c$ é uma constante de proporcionalidade.

def funcao(t, N):
    return 0.0002*N*(1_000 - N)

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 50], [10], dense_output=True)
# [0, 50] = tempo inicial e final em segundos. # [10] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0]))

0.0 10.000000
5.0 26.722247
10.0 69.434564
15.0 168.565314
20.0 355.857912
25.0 600.271748
30.0 803.292582
35.0 917.398420
40.0 967.984579
45.0 988.186659
50.0 995.469925

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1])
N = solucao.sol(t)[0]
ax.plot(t, N)
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Curva logística')

# Traça exponencial inicial
t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1])

ax.plot(t, solucao.sol(0)[0]* np.exp(0.2 * t), '--')

ax.set_ylim(N.min(), N.max())
# ax.set_yscale('log')
plt.show()

Sistemas de equações diferenciais

Equação do pêndulo

$$\begin{eqnarray*}\theta'(t) &=& w(t) ,\\ w'(t) &=&-\sin(\theta(t)) - \alpha \omega. \end{eqnarray*} $$

$\theta(t)$ é o ângulo e $w(t)$ é a velocidade angular (taxa de variação do ângulo).
$\alpha$ é o coeficiente de atrito.

def funcao(t, y):
    theta = y[0]
    omega = y[1]
    return omega , -np.sin(theta) - 1e-2 * omega  # Testa coeficientes de atrito maiores.

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 50], [3, 0], dense_output=True)
# [0, 50] = tempo inicial e final em segundos. # [ , ] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0], solucao.sol(t)[1]))

0.0 3.000000 0.000000
5.0 -1.628616 -1.314164
10.0 0.000095 1.942360
15.0 0.742517 -1.770480
20.0 -0.792555 1.711227
25.0 0.467662 -1.778100
30.0 0.198794 1.791994
35.0 -1.014199 -1.471241
40.0 1.711325 0.822079
45.0 -1.998835 -0.095252
50.0 1.676053 -0.721710

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 200)
theta, omega = solucao.sol(t)
ax.plot(t, theta)
ax.plot(t, omega)

ax.legend(['ângulo', 'Velocidade angular'], loc='lower right')
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Movimento do pêndulo')

plt.show()

Equações de Lotka-Volterra

Descrever a dinâmica de duas espécies interagindo: uma como presa o outra como predadora.
A população de presas é limitadas pela predação e não pela disponibilidade de recursos naturais.
A predação é proporcional à população de presas e de predadores, i.e., proporcional ao produto delas.
A natalidade e a mortalidade (por outras causas) de presas são proporcionais à sua população.
A população de predadores é limitada pelas possibilidades de predação.
Durante o período de análises, alterações ambientais e genéticas são irrelavantes.

$$ \begin{align} \frac{dx}{dt} &= \alpha x - \beta x y, \ \frac{dy}{dt} &= \delta x y - \gamma y. \end{align} $$ Onde:

$x(t)$ é o número de presas, por exemplo, coelhos.
$y(t)$ é o número de predadores, por exemplo, raposas.

alfa = 1
beta = 0.1
delta = 0.01
gama = 0.1

def funcao(t, xy):
    x = xy[0]
    y = xy[1]
    return alfa*x - beta*x*y, delta*x*y - gama*y


solucao = solve_ivp(funcao, [0, 200], [50, 50], dense_output=True)
# [0, 200] = tempo inicial e final. # [ , ] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.6f}  {:0.6f}'.format(t, solucao.sol(t)[0], solucao.sol(t)[1]))

0.0 50.000000 50.000000
20.0 0.000000 7.619109
40.0 0.057072 1.033695
60.0 0.000000 17.541461
80.0 0.000132 2.376773
100.0 0.077486 35.937742
120.0 0.000002 4.866302
140.0 13.423540 0.762312
160.0 0.000000 9.356484
180.0 0.042286 1.267461
200.0 0.000003 17.364283

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 200)
x, y = solucao.sol(t)
ax.plot(t, x)
ax.plot(t, y)

ax.legend(['Presa', 'Predador'], loc='lower right')
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Lotka-Volterra')
ax.set_yscale('log')
plt.show()

Modelo SIR

O SIR é um modelo simples para descrever o crescimento de doenças infecciosas. Ele divide a polução em três clases (compartimentos):

Suscetíveis: Pessoas não imunizadas e passíveis de contrair a doença. O tamanho desta população no instante $t$ é $S(t)$.
Infectados: Pessoas infectadas e passíveis de transmitir a doença para pessoas suscetíveis. O tamanho desta população no instant $t$ é $I(t)$.
Removidos: Pessoas que contraíram a doença e se recuperaram e pessoas que morreram. Estas pessoas não contraem nem transmitem a doença. O tamanho desta população no instante $t$ é $R(t)$.

Obs: Neste modelos, todos os infectados são infecciosos.

O fluxo é o seguinte: $$\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R}$$

O modelo pressupõe que o número de novos casos é proporcional ao tamanho da população suscetível e ao tamanho da população infectada, i.e., ao produto de tais populações: Assim temos: $$ \begin{align} S'(t)&= - \frac{\beta}{N}S(t) I(t) \[0.2cm] I'(t)&= \frac{\beta}{N}S(t) I(t) - \gamma I(t)=(\frac{\beta}{N}S(t) - \gamma )I(t)\[0.2cm] R'(t)&=R(t) + \gamma I(t) \end{align} $$

Aqui $N$ é o tamanho inicial da população de suscetíveis e $\beta$ é uma constante relacionada com a probabilidade de transmissão da doença quando duas pessoas se encontram.

A cada dia uma certa quantidade de pessoas é retirada da polução de infectados, seja porque se curou, seja porque morreu.

Obs: Eu desprezei a natalidade e mortalidade por outras causas neste modelo.
Mais informações: https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SIR_model

beta_0 = 0.01
N = 11_000_000
gama = 0.01

def funcao(t, sir):
    S = sir[0]
    I = sir[1]
    R = sir[2]
    return -beta*S*I/N, beta*S*I/N- gama *I, gama*I


solucao = solve_ivp(funcao, [0, 1000], [N, 100, 0], dense_output=True)
# [0, 300] = tempo inicial e final. # [ , ] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}'.format(t, solucao.sol(t)[0], solucao.sol(t)[1], solucao.sol(t)[2]))

0.0 11000000.0 100.0 0.0
100.0 10171638.1 742373.8 86088.2
200.0 76733.5 5466691.8 5456674.8
300.0 3203.6 2045154.9 8951741.6
400.0 990.8 753424.5 10245684.7
500.0 648.4 277380.3 10722071.3
600.0 554.5 102215.1 10897330.4
700.0 523.0 37663.0 10961914.0
800.0 511.8 13878.1 10985710.0
900.0 507.8 5113.8 10994478.4
1000.0 506.3 1883.9 10997709.8

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 200)
S, I, R = solucao.sol(t)
ax.plot(t, S)
ax.plot(t, I)
ax.plot(t, R)


ax.legend(['Suscetíveis', 'Infectados', 'Removidos'], loc='upper center')
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Modelo SIR')

plt.show()

Modelo SEIR

O SEIR é uma aprimoramento do modelo SIR. Ele divide a população dos infectados em duas parcelas: aqueles que ainda não são infecciosos e e são chamados de expostos e aqueles que já são infecciosos.

Portanto, o modelos SEIR divide a polução em quatro compartimentos:

Suscetíveis: Pessoas não imunizadas e passíveis de contrair a doença. O tamanho desta população no dia $k$ é $S_k$.
Expostos: Pessoas infectadas que ainda não transmitem a doença. O tamanho desta população no dia $k$ é $E_k$.
Infecciosos: Pessoas infectadas e passíveis de transmitir a doença para pessoas suscetíveis. O tamanho desta população no dia $k$ é $I_k$.
Removidos: Pessoas que contraíram a doença e se recuperaram e pessoas que morreram. Estas pessoas não contraem nem transmitem a doença.

O fluxo é o seguinte: $$\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{E} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R}$$

Novamente, o modelo pressupõe que o número de novos casos é proporcional ao tamanho da população suscetível e ao tamanho da população infecciosa:

Sejam $S(t)$, $E(t)$, $I(t)$ e $R(t)$, o número de indivíduos na população suscetível, exposta, infecciosa e removida. Usamos o seguinte sistema de EDO's não-lineares:

$\begin{align} \frac{dS}{dt} & = - \beta \frac{S}{N} I, \[8pt] \frac{dE}{dt} & = \beta \frac{S}{N} I - \frac{1}{T_E} E, \[8pt] \frac{dI}{dt} & = \frac{1}{T_E} E - \frac{1}{T_I} I, \[8pt] \frac{dR}{dt} & = \frac{1}{T_I} I. \end{align} $

Aqui $N$ é o tamanho inicial de população suscetível, $\beta=\beta(t)$ está relacionado com a probabilidade por unidade de tempo de transmissão da doença. $T_E$ é a duração do período de incubação e $T_I$ é o tempo de recuperação.

O modelo EI

Ao longo períodos curtos suficientes para considerar $S(t)$ e $\beta(t)$ constantes, como no início da infecção, temos o seguinte subsistema linear e invariante no tempo:

$\left[ \begin{array}{c} E'(t)\ I'(t) \end{array} \right]= \left[\begin{array}{c} -\frac{1}{T_E}& \beta \frac{S}{N}\ \frac{1}{T_E}&-\frac{1}{T_I} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} E(t)\ I(t) \end{array} \right] $

Esta matriz tem dois autovalores reais e distintos dados por:

$\lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{T_E}+\frac{1}{T_I}\right)\pm \frac{1}{2}\sqrt{\left(\frac{1}{T_E}-\frac{1}{T_I}\right)^2+\frac{4\beta}{T_E}\frac{S}{N}}$.

Vemos também que:

Se $\beta \frac{S}{N}<\frac{1}{T_I}$, então $\lambda_2<\lambda_1<0$,
Se $\beta \frac{S}{N}=\frac{1}{T_I}$, então $\lambda_2<\lambda_1=0$,
Se $\beta \frac{S}{N}>\frac{1}{T_I}$, então $\lambda_2<0$ e $\lambda_1>0$.

Além disso podemos isolar o termo $\beta \frac{S}{N}$:

$\beta \frac{S}{N} = \frac{1}{T_I}\left(1+\lambda(T_I+T_E)+\lambda^2T_ET_I\right)$

Definimos também:

$K=\frac{d}{dt} \ln(I(t)) \approx \lambda_1$.

Obs: Mais uma vez, eu desprezei a natalidade e mortalidade por outras causas neste modelo.

Mais informações: https://en.wikipedia.org/wiki/Compartmental_models_in_epidemiology#The_SEIR_model

beta_0 = 0.4
N = 11_000_000
T_e = 7
T_i = 5

def funcao(t, seir):
    S, E, I, R = seir  
    x = beta_0 * I * S /N
    return [- x,
            -E/T_e + x,
             E/T_e - I/T_i,
             I/T_i,
            ]


solucao = solve_ivp(funcao, [0, 300], [N, 100, 0, 0], dense_output=True)
# [0, 300] = tempo inicial e final. # [N, 100, 0, 0] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}'.format(t, *solucao.sol(t)))

0.0 11000000.0 100.0 0.0 0.0
30.0 10998830.2 447.5 237.3 584.9
60.0 10989250.4 3577.1 1895.1 5377.4
90.0 10913361.0 28220.6 15027.4 43491.0
120.0 10350220.8 204160.1 110838.3 334880.8
150.0 7583162.3 850061.0 521060.1 2045816.6
180.0 3747271.0 734757.8 595310.5 5922760.8
210.0 2505598.1 182142.6 175853.3 8136506.0
240.0 2280237.7 32338.0 32651.2 8654873.1
270.0 2242493.1 5413.8 5516.1 8746677.0
300.0 2236232.3 898.6 915.3 8762053.8

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 200)
S, E, I, R = solucao.sol(t)
ax.plot(t, S)
ax.plot(t, E)
ax.plot(t, I)
ax.plot(t, R)


ax.legend(['Suscetíveis', 'Exposto', 'Infeciosos', 'Removidos'])#, loc='upper center')
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Modelo SEIR')

plt.show()

SEIR com beta variando no tempo

beta_0 = 0.5
N = 11_000_000
T_e = 7
T_i = 5

def beta(t, seir):
 #   return 1.0/( 1 + seir[1]/100_000 )
    if t<40:
        return 1.0
#    return 0.3

    if t< 100:
        return 0.3
    return 1.0

#1.0---.3---1.0

def funcao(t, seir):
    S, E, I, R = seir  
    x = beta(t, seir) * I * S /N
    return [- x,
            -E/T_e + x,
             E/T_e - I/T_i,
             I/T_i,
            ]

solucao = solve_ivp(funcao, [0, 300], [N, 100, 0, 0], dense_output=True)
# [0, 300] = tempo inicial e final. # [N, 100, 0, 0] = condição inicial.

# Para recuperar o valor no instante t, use solucao.sol(t)
for t in np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 11):
    print('{:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}  {:0.1f}'.format(t, *solucao.sol(t)))

0.0 11000000.0 100.0 0.0 0.0
30.0 10954296.5 27127.0 9516.6 9159.9
60.0 9864537.6 307576.7 192786.7 635198.9
90.0 7891997.7 496166.3 340693.7 2271242.3
120.0 1471360.5 1780313.9 1302309.6 6446116.0
150.0 230909.5 102483.7 151422.6 10515284.2
180.0 204104.6 3500.8 5681.7 10786812.9
210.0 203200.1 119.5 195.4 10796585.0
240.0 203169.2 4.1 6.7 10796920.1
270.0 203168.1 0.1 0.2 10796931.5
300.0 203168.1 0.0 0.0 10796931.9

fig, ax = plt.subplots()

t = np.linspace(solucao.t[0], solucao.t[-1], 200)
S, E, I, R = solucao.sol(t)

legenda = []
# ax.plot(t, S); legenda.append('Suscetíveis')
ax.plot(t, E); legenda.append('Expostos')
ax.plot(t, I); legenda.append('Infeciosos')
# ax.plot(t, R); legenda.append('Removidos')


ax.legend(legenda, loc='upper center')
ax.grid(True)
fig.patch.set_facecolor('white')
fig.suptitle('Modelo SEIR')

plt.show()

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Queda sob efeito da gravidade e resistência do ar

Crescimento sigmóide

Sistemas de equações diferenciais

Equação do pêndulo

Equações de Lotka-Volterra

Modelo SIR

Modelo SEIR

O modelo EI

SEIR com beta variando no tempo

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