2024-02-08 18:09:16

totrans/fund-dl_01.yaml

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   id: totrans-67
   prefs: []
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 通常，存在矩阵*A*，其中某些列是其他列的线性组合。例如，想象一下，如果在我们的蜥蜴数据集中有一个额外的特征，表示每只蜥蜴的体重，但单位是磅。这是数据中的一个明显冗余，因为这个特征完全由千克体重的特征决定。换句话说，新特征是数据中其他特征的线性组合——只需取千克体重的列，乘以2.2，然后将其与所有其他列乘以零相加，即可得到磅体重的列。从逻辑上讲，如果我们从*A*中去除这些冗余，那么*C(A)*不应该改变。一种方法是首先创建一个包含所有原始列向量的列表*A*，其中顺序是任意指定的。在遍历列表时，检查当前向量是否是所有在它之前的向量的线性组合。如果是，从列表中移除这个向量并继续。很明显，移除的向量没有提供除我们已经看到的信息之外的额外信息。
 - en: The resulting list is called the *basis* of *C(A),* and the length of the basis
     is the *dimension* of *C(A).* We say that the basis of any vector space *spans*
     the space, which means that all of the elements in the vector space can be formulated
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   id: totrans-68
   prefs: []
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 结果列表称为*C(A)*的*基础*，基础的长度是*C(A)*的*维度*。我们说任何向量空间的基础*跨越*该空间，这意味着向量空间中的所有元素都可以被基础向量的线性组合表示。此外，基础向量是*线性独立*的，这意味着没有一个向量可以被其他向量的线性组合表示，即没有冗余。回到我们定义向量空间的例子，(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)将是空间<math
+    alttext="双划线上的R的立方"><msup><mi>ℝ</mi> <mn>3</mn></msup></math>的基础，因为列表中的任何向量都不是其他向量的线性组合，而且这个列表跨越整个空间。相反，列表(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(2,5,1)跨越整个空间，但不是线性独立的，因为(2,5,1)可以被前三个向量的线性组合表示（我们称这样的向量列表为*跨度列表*，当然，向量空间的基础集合是相同空间的跨度列表集合的子集）。
 - en: As we alluded to in the discussion of our lizard dataset, the basis of the column
     space, given each lizard feature is a column, is a concise representation of the
     information represented in the feature matrix. In the real world, where we often
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   id: totrans-69
   prefs: []
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 正如我们在讨论蜥蜴数据集时所提到的，给定每个蜥蜴特征作为一列的列空间的基础是特征矩阵中所代表信息的简洁表示。在现实世界中，我们通常有成千上万个特征（例如图像中的每个像素），实现对数据的简洁表示是非常可取的。尽管这是一个良好的开始，但通常仅仅识别数据中的明显冗余是不够的，因为存在于现实世界中的随机性和复杂性往往会掩盖这些冗余。量化特征之间的关系可以为简洁的数据表示提供信息，正如我们在本章末尾和第9章中讨论的那样。
 - en: The Null Space
   id: totrans-70
   prefs:
   - PREF_H2
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 零空间
 - en: Another key vector space is the *null space *of a matrix *A,* or *N(A)**. *This
     space consists of the vectors *v *such that *Av = 0.* We know that *v = 0*, the
     trivial solution, will always satisfy this property. If only the trivial solution
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   id: totrans-71
   prefs: []
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 另一个关键的向量空间是矩阵*A*的*零空间*，或*N(A)*。这个空间包括向量*v*，使得*Av = 0*。我们知道*v = 0*，平凡解，总是满足这个性质。如果矩阵的零空间中只有平凡解，我们称之为空间平凡。然而，根据*A*的性质，或者非平凡的零空间，可能存在其他解决方案。为了使向量*v*满足*Av
+    = 0*，*v*必须与*A*的每一行正交，如[图1-11](#the_implication_that_the_dot)所示。
 - en: '![](Images/fdl2_0111.png)'
   id: totrans-72
   prefs: []
   type: TYPE_IMG
+  zh: '![](Images/fdl2_0111.png)'
 - en: Figure 1-11\. The implication that the dot product between each row and the
     vector v must be equal to 0
   id: totrans-73
   prefs:
   - PREF_H6
   type: TYPE_NORMAL
+  zh: 图1-11. 每行与向量v之间的点积必须等于0的含义
 - en: Let’s assume *A* is of dimension 2 by 3, for example. In our case, *A*’s rows
     cannot span  <math alttext="double-struck upper R cubed"><msup><mi>ℝ</mi> <mn>3</mn></msup></math>
      due to *A *having only two rows (remember from our recent discussion that all