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tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex

@@ -143,15 +143,31 @@ \section{Teorema di Dini}
 \begin{proof}
     [Dimostrazione per $n=2$ e $k=1$.]
     La dimostrazione si articola in tre passaggi: innanzitutto si costruisce $f$, poi ne si verifica la continuità e infine si calcola la sua derivata.
-
-
-    Per ipotesi, $\partial_yg(x_0,y_0) \neq 0$. Ai fini della dimostrazione, si supponga che $\partial_yg(x_0,y_0) > 0$. Per il teorema di permanenza del segno (Thm. \ref{thm:sign}, Cap. \ref{chap:functions}), esiste una scatola $W=[x_0-\delta,x_0+\delta]\times[y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon]\with \delta,\varepsilon>0 \tc \partial_yg(x,y)>0\ \forall (x,y)\in W$. Sia $h(y)=g(x_0,y)\in\C{1}$. Per quanto appena detto, $h(y)$ è una funzione strettamente crescente nell'intervallo $[y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon]$, per cui $h(y_0-\varepsilon)<0=h(y_0)<h(y_0+\varepsilon)$. Si è appena dimostrato che nel punto medio delle basi del rettangolo la funzione $g$ assume segni discordi. Applicando nuovamente il teorema di permanenza del segno, questa volta alla funzione $g(x,y)$ sulle basi del rettangolo, si ha che esiste un intervallo $[x_0-\delta ', x_0+\delta ']$ all'interno del quale $g(x,y_0-\varepsilon)<0<g(x,y_0+\varepsilon)$. Si noti che $\delta$ potrebbe non coincidere con $\delta '$, quindi, detto $\delta=\min\{\delta,\delta '\}$, per comodità la base del rettangolo sarà ancora $[x_0-\delta,x_0+\delta]$.
+
+    \begin{figure}[ht]
+		\centering
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\def\svgwidth{\textwidth}
+		  	\input{graphics/thm_dini_1.pdf_tex}
+		  	\caption{Rappresentazione della prima parte della dimostrazione. Le lunghezze \(\delta \) e \(\varepsilon \) indicano la larghezza del pluri-intervallo centrato in \((x_0,y_0)\) in cui \(\partial _y g(x,y) >0\). I segni \(+\) e \(-\) indicano gli intervalli sulle basi in cui \(g(x,y)>0\).}
+            \label{fig:thm_dini_1}
+		\end{minipage}
+		\hfill
+		\begin{minipage}[t]{0.45\textwidth}
+			\def\svgwidth{\textwidth}
+			\input{graphics/thm_dini_2.pdf_tex}
+		  	\caption{Rappresentazione della seconda parte della dimostrazione. Il ragionamento è analogo al precedente.}
+            \label{fig:thm_dini_2}
+		\end{minipage}
+	\end{figure}
+
+    Per ipotesi, $\partial_yg(x_0,y_0) \neq 0$. Ai fini della dimostrazione, si supponga che $\partial_yg(x_0,y_0) > 0$. Per il teorema di permanenza del segno (Thm. \ref{thm:sign}, Cap. \ref{chap:functions}), esiste una scatola $W=[x_0-\delta,x_0+\delta]\times[y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon]\with \delta,\varepsilon>0 \tc \partial_yg(x,y)>0\ \forall (x,y)\in W$ (Fig. \ref{fig:thm_dini_1}). Sia $h(y)=g(x_0,y)\in\C{1}$. Per quanto appena detto, $h(y)$ è una funzione strettamente crescente nell'intervallo $[y_0-\varepsilon, y_0+\varepsilon]$, per cui $h(y_0-\varepsilon)<0=h(y_0)<h(y_0+\varepsilon)$. Si è appena dimostrato che nel punto medio delle basi del rettangolo la funzione $g$ assume segni discordi. Applicando nuovamente il teorema di permanenza del segno, questa volta alla funzione $g(x,y)$ sulle basi del rettangolo, si ha che esiste un intervallo $[x_0-\delta ', x_0+\delta ']$ all'interno del quale $g(x,y_0-\varepsilon)<0<g(x,y_0+\varepsilon)$. Si noti che $\delta$ potrebbe non coincidere con $\delta '$, quindi, detto $\delta=\min\{\delta,\delta '\}$, per comodità la base del rettangolo sarà ancora $[x_0-\delta,x_0+\delta]$.
 
 
     Sia ora la funzione $\tilde{h}(y)=g(\overline{x},y) \in \C{1} \with \overline{x} \in [x_0-\delta,x_0+\delta]$ definita per $y \in [y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon]$. Per quanto detto in precedenza, $\tilde{h}(y_0-\varepsilon)<0<\tilde{h}(y_0+\varepsilon)$. Di conseguenza, per il teorema degli zeri, $\exists!\ \overline{y} \in [y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon] \tc \tilde{h}(\overline{y})=g(\overline{x},\overline{y})=0$. È quindi possibile definire $f:[x_0-\delta,x_0+\delta]\to[y_0-\varepsilon,y_0+\varepsilon] \tc f(\overline{x})=\overline{y} \ \forall\, \overline{x} \in [x_0-\delta,x_0+\delta]$.
 
 
-    Sia $(\overline{x},f(\overline{x}))\in W$. Per verificare la continuità di $f$, si fissi $\overline{\varepsilon}>0$. Allora, per lo stesso ragionamento applicato in precedenza, $g(\overline{x},f(\overline{x})-\overline{\varepsilon})<0=g(\overline{x},f(\overline{x}))<g(\overline{x}, f(\overline{x})+\overline{\varepsilon})$. Per questo motivo, $\exists \overline{\delta} \tc g(x,f(\overline{x})-\overline{\varepsilon}) < 0 < g(x,f(\overline{x})+\overline{\varepsilon}) \ \forall x \in [\overline{x}-\overline{\delta},\overline{x}+\overline{\delta}]\cap[x_0-\delta,x_0+\delta]$. Questo garantisce che $f(\overline{x})-\overline{\varepsilon} < f(x) < f(\overline{x})+\overline{\varepsilon}$, che è esattamente la definizione di continuità (Def. \ref{def:f_cont}, Cap. \ref{chap:functions}).
+    Sia $(\overline{x},f(\overline{x}))\in W$ (Fig. \ref{fig:thm_dini_2}). Per verificare la continuità di $f$, si fissi $\overline{\varepsilon}>0$. Allora, per lo stesso ragionamento applicato in precedenza, $g(\overline{x},f(\overline{x})-\overline{\varepsilon})<0=g(\overline{x},f(\overline{x}))<g(\overline{x}, f(\overline{x})+\overline{\varepsilon})$. Per questo motivo, $\exists \overline{\delta} \tc g(x,f(\overline{x})-\overline{\varepsilon}) < 0 < g(x,f(\overline{x})+\overline{\varepsilon}) \ \forall x \in [\overline{x}-\overline{\delta},\overline{x}+\overline{\delta}]\cap[x_0-\delta,x_0+\delta]$. Questo garantisce che $f(\overline{x})-\overline{\varepsilon} < f(x) < f(\overline{x})+\overline{\varepsilon}$, che è esattamente la definizione di continuità (Def. \ref{def:f_cont}, Cap. \ref{chap:functions}).
 
 
     Per calcolare la derivata di $f$ in $x_1$, che è $\displaystyle\lim_{x_2\to x_1}\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$, si introduce la funzione ausiliaria $\bm \varphi=(\varphi_1,\varphi_2):[0,1]\to W$ definita come segue:

tex/analysis_2/graphics/thm_dini_1.pdf_tex

@@ -0,0 +1,71 @@
+%% Creator: Inkscape 1.3.2 (091e20e, 2023-11-25, custom), www.inkscape.org
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+%%   \input{<filename>.pdf_tex}
+%%  instead of
+%%   \includegraphics{<filename>.pdf}
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+%%   \def\svgwidth{<desired width>}
+%%   \input{<filename>.pdf_tex}
+%%  instead of
+%%   \includegraphics[width=<desired width>]{<filename>.pdf}
+%%
+%% Images with a different path to the parent latex file can
+%% be accessed with the `import' package (which may need to be
+%% installed) using
+%%   \usepackage{import}
+%% in the preamble, and then including the image with
+%%   \import{<path to file>}{<filename>.pdf_tex}
+%% Alternatively, one can specify
+%%   \graphicspath{{<path to file>/}}
+%% 
+%% For more information, please see info/svg-inkscape on CTAN:
+%%   http://tug.ctan.org/tex-archive/info/svg-inkscape
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