half lecture 3

tex/waves/header.tex

@@ -262,16 +262,16 @@
 \makeatother
 
 \declaretheorem[style=thmbluebox, numbered=no, name=Esempio]{eg}
-\declaretheorem[style=thmexplanationbox, numbered=no, name=Proof]{tmpexplanation}
+\declaretheorem[style=thmexplanationbox, numbered=no, name=Spiegazione]{tmpexplanation}
 \newenvironment{explanation}[1][]{\vspace{-10pt}\pushQED{\(\circledast\)}\begin{tmpexplanation}}{\null\hfill\popQED\end{tmpexplanation}}
 
-\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Remark]{remark}
-\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Note]{note}
-\declaretheorem[style=thmpinkbox, numbered=no, name=Exercise]{exercise}
-\declaretheorem[style=notgrayline, numbered=no, name=As previously seen]{prev}
+\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Osservazione]{remark}
+\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Nota]{note}
+\declaretheorem[style=thmpinkbox, numbered=no, name=Esercizio]{exercise}
+\declaretheorem[style=notgrayline, numbered=no, name=Come già visto]{prev}
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+\declaretheorem[style=notgraybox, numbered=no, name=Notazione]{notation}
+\declaretheorem[style=thmanswerbox, numbered=no, name=Risposta]{tmpanswer}
 \newenvironment{answer}[1][]{\vspace{-10pt}\pushQED{\(\circledast\)}\begin{tmpanswer}}{\null\hfill\popQED\end{tmpanswer}}
 
 

tex/waves/lectures/lec_3.tex

@@ -1,4 +1,4 @@
-\chapter{Sistemi lineari}
+\chapter{Oscillazioni smorzate e forzate}
 
 \section{Soluzione generale}
 \lecture{3}{5 marzo 2024}
@@ -53,4 +53,69 @@ \section{Soluzione generale}
 
 È possibile dimostrare che, se \(\hat{L} \) ha derivate fino all'ordine \(n\), allora esistono al massimo n soluzioni indipendenti che si possono combinare, quindi n costanti arbitrarie (eventualmente da determinare conoscendo le condizioni iniziali).
 
-\paragraph{Equazione non omogenea}
+\paragraph{Equazione non omogenea} Se ho una soluzione particolare e una omogenea, la combinazione lineare senza coefficienti liberi è soluzione. Ogni soluzione è costruita come somma di una soluzione particolare e una soluzione dell'omogenea. Questo si vede semplicemente dall'applicazione delle due proprietà degli operatori lineari.
+
+\paragraph{Termine noto scritto come somma di funzioni} Una volta trovata la soluzione per \(f_1\) e \(f_2\) (gli addendi della somma) il problema è risolto, poiché la somma delle soluzioni particolari è soluzione generale, sempre per la prima proprietà degli operatori lineari.
+
+Studiamo un oscillatore smorzato con una forzante costante sommata a due funzioni dipendenti dal tempo:
+\[
+	m \ddot{x} + \beta \dot{x} + kx = - mg + F_1 \cos \Omega t + F_2 \sin 2 \Omega t = \hat{L} (x)
+\]
+Sfruttiamo la linearità:
+\begin{enumerate}
+
+	\item Cerchiamo la soluzione omogenea: \(\hat{L} (x_{omo} ) = 0\). È un oscillatore smorzato con la stessa soluzione già trovata in precedenza: \(x_{omo} (t) = A_0 e^{-\frac{t}{2 \tau }}\cos (\omega t + \phi _0) \).
+	\item Cerchiamo soluzioni delle tre forzanti separatamente:
+	\begin{itemize}
+
+		\item Il primo termine rappresenta una forzante costante. La soluzione è nota: \(x_{0p} = -\frac{mg}{k}\).
+		\item La seconda forzante è armonica, soluzione già vista:
+		\[
+			x_{1p} = \frac{F_1}{m \sqrt{(\omega _p ^{2} - \Omega ^{2} )^{2} + (\gamma \Omega )^{2} } }\cos (\Omega t - \delta ) 
+		\]
+
+		\item La terza forzante non l'abbiamo ancora studiata, ma è possibile risolverla applicando un metodo simile a quello applicato per il coseno. Il seno è la parte immaginaria di un fasore.
+		\[
+			m\ddot{x} + \beta \dot{x}  + kx = F_2 \sin 2\Omega t \to \ddot{z} + \gamma \dot{z}  + \omega _0 z = \frac{F_2}{m} e^{i2\Omega t} 
+		\]
+		dove \(x(t) = \Im (z(t))\). Suppongo una soluzione del tipo \(z(t)=A e^{\lambda t}\) e ottengo \((\lambda ^{2} + \gamma \lambda +\omega _0) A e^{\lambda t}=\frac{F_2}{m} e^{i2\Omega t} \). Siccome l'uguaglianza deve essere sempre valida, ottengo che \(\lambda = 2\Omega i \).
+		\[
+			(-4\Omega ^{2} + 2i \Omega \gamma +\omega _0) A = \frac{F_2}{m} \implies  A = \frac{F_2}{m \left[(\omega _0 ^{2} -4\Omega ^{2}) + i2\gamma \Omega \right]}
+		\]
+		Posso scrivere A come numero complesso con fase \(\delta = \frac{2\gamma \Omega }{\omega _0^{2} -4\Omega ^{2} }\)  e ottenere
+		\[
+			z(t) = \frac{F_2}{m\sqrt{(\omega _0 ^{2} -4\Omega ^{2} )^{2} +4\gamma ^{2} \Omega ^{2} } }\frac{e^{i2\Omega t} }{e^{\delta }}
+		\]
+		Di conseguenza,
+		\[
+			x(t)= \Im (z(t))=\frac{F_2}{m\sqrt{(\omega _0^{2} -4\Omega ^{2} )^{2} + 4\gamma ^{2} +\Omega ^{2}  } }\sin (2\Omega t-\delta )
+		\]
+	\end{itemize}
+\end{enumerate}
+
+La soluzione finale sarà quindi la somma dei quattro termini: con la somma di funzioni nella forzante ho diviso il problema in varie parti più semplici. La fisica cerca sempre equazioni lineari: ad esempio, in elettromagnetismo il primo strumento utilizzato per misurare la carica fu l'elettroscopio a foglie, tuttavia non venne utilizzato per definire la carica perché la relazione fra angolo di apertura e carica non è lineare. Le equazioni di Maxwell sono invece tutte di natura lineare: la divergenza è lineare perché contiene derivate e appaiono tutte al grado 1. Anche l'equazione di D'Alembert è un'equazione lineare, così come l'equazione di Schrodinger.
+
+Il "principio di sovrapposizione" vale quindi solo nei sistemi lineari. È l'espressione fisica del concetto di operatore lineare: cerchiamo un problema lineare perché attraverso tale principio possiamo spacchettarlo in problemi più semplici
+
+\section{Serie di Fourier}
+
+Trattiamo ora uno degli strumenti più potenti per risolvere equazioni lineari, tra cui problemi di forzante generica scomponendola in casi particolari. Come generalizziamo quanto studiato finora?
+\begin{enumerate}
+
+	\item Primo passo: consideriamo \(f(t)\) periodica con periodo T. Quando una funzione è periodica la possiamo risolvere se il periodo è limitato.
+	\item Secondo passo: funzione periodica per cui periodo è su asse reale. Consideriamo cioè una funzione periodica di periodo \(T \to \infty \).  
+\end{enumerate}
+
+Iniziamo costruendo una forzante particolare, periodica, per cui posso anche moltiplicare la pulsazione per una costante, con fase iniziale:
+\[
+	f(t) = F_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n \cos (n \omega t + \phi _n) \text{ con } \omega = \frac{2\pi }{T} 
+\]
+\(f(t)\) è somma di funzioni di periodo \(T, \frac{T}{2}, \frac{T}{3}, \dots \) quindi è complessivamente periodica di periodo T (domina n=1). Risolviamo cercando:
+\[
+	\hat{L} (x_0)=F_0, \dots , \hat{L} (x_n)= F_n \cos (n \omega t + \phi _n)
+\]
+Come al solito, è più conveniente studiare la funzione complessa associata. Posso scrivere \(\hat{L} (x_n)=\Re [F_n e^{i \phi _n}e^{in \omega t} ]\). L'equazione n-esima diventa quindi \(m \ddot{z_n} + \beta \dot{z_n} + k z_n = (F_n e^{i \phi _n})e^{in \omega t}\). Siccome il primo membro deve eguagliare il secondo membro per ogni t, deve esserci la stessa dipendenza temporale a esponente. Pongo \(z_n(t)=A_n e^{\lambda _n t} \implies \lambda _n = in \omega \). Definendo \(\gamma =\frac{\beta }{m},\ \omega _n ^{2} = \frac{k}{m}\) posso isolare l'ampiezza:
+\[
+	A_n = \frac{F_n e^{i \phi _n}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} ) + i \gamma n \omega ]}
+\]
+La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \).

tex/waves/lectures/lec_4.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\lecture{4}{7 marzo 2024}

tex/waves/waves.tex

@@ -1,7 +1,7 @@
 \documentclass[a4paper]{report}
 \input{header.tex}
-\author{Pingbang Hu}
-\title{Note Template}
+\author{Luca Zoppetti}
+\title{Fenomeni ondulatori}
 
 \thispagestyle{empty}
 \addbibresource{ref.bib}
@@ -14,17 +14,11 @@
 
 \maketitle
 
-\begin{abstract}
-	This is a note template, with all but minimal compilable files provided. Feel free to adjust for your usage.
-
-	Now let's start a simple demo for you to take fancy notes in \LaTeX!
-\end{abstract}
-
 \newpage
 
 \tableofcontents
 
-\lec{1}{3}
+\lec{1}{4}
 
 \newpage
 %─────Appendix────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────