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LuckeeDev committed Jan 14, 2024
1 parent 55c0a9b commit c0e1d3d
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Showing 7 changed files with 12 additions and 12 deletions.
2 changes: 1 addition & 1 deletion tex/analysis_2/1_topology.tex
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Expand Up @@ -106,7 +106,7 @@ \section{Chiusura, interno e frontiera}

\begin{definition}
[Interno di un insieme]
Sia $(X, d)$ uno spazio metrico e $A \subseteq X$. Si dice interno dell'insieme $A$ e si indica con $\mathring{A}$ l'insieme aperto più grande contenuto in $A$, ovvero $\mathring{A} = \cup\{U\subseteq X: U \text{ è aperto}, U \supseteq A\}$.
Sia $(X, d)$ uno spazio metrico e $A \subseteq X$. Si dice interno dell'insieme $A$ e si indica con $\mathring{A}$ l'insieme aperto più grande contenuto in $A$, ovvero $\mathring{A} = \cup\{U\subseteq X: U \text{ è aperto}, U \subseteq A\}$.
\end{definition}

\begin{prop}
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2 changes: 1 addition & 1 deletion tex/analysis_2/3_calculus_nvars.tex
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Expand Up @@ -76,7 +76,7 @@ \section{Funzioni differenziabili}
\end{proof}

\begin{remark}
Si noti che dal punto \textit{3} del teorema \ref{thm:prop_diff} si evince che la direzione di massima variazione della funzione nel punto $\vb{x_0}$ sia esattamente la direzione del gradiente di $f$ in $\vb{x_0}$.
Si noti che dal punto \textit{3} del teorema \ref{thm:prop_diff} si evince che la direzione di massima variazione della funzione nel punto $\vb{x_0}$ è esattamente la direzione del gradiente di $f$ in $\vb{x_0}$.
\end{remark}

\begin{definition}
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6 changes: 3 additions & 3 deletions tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex
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Expand Up @@ -208,8 +208,8 @@ \section{Teorema di Dini}
Inoltre
$$
\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=-\frac
{\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
{\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
{\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial (y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k)}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
{\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial (y_1,\dots,y_k)}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))}
$$
\qed
\end{theorem}
Expand Down Expand Up @@ -306,7 +306,7 @@ \section{Estremanti condizionati}
&=\frac{1}{2}\ip{(\vb{x}-\vb{x_0},\vb{0})}{H_{\mathcal{L}}(\vb{x_0})(\vb{x}-\vb{x_0},\vb{0})}+o(\norm{\vb{x}-\vb{x_0}}^2)=\\
&=\frac{1}{2}\ip{\vb{x}-\vb{x_0}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)(\vb{x}-\vb{x_0})}+o(\norm{\vb{x}-\vb{x_0}}^2)
\end{align*}
Sia ora $\vb{x}=\bm\varphi(t)\in \C{1}((-\delta,\delta),\R^n) \tc \bm\varphi(0)=\vb{x_0} \e \bm\varphi'(0)=\vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$. Allora $\vb{x}=\vb{x_0}+t\vb{h}+\vb{o}(\abs{t})$ per $\abs{t}\to 0$. Di conseguenza,
Sia ora $\vb{x}=\bm\varphi(t)\in \C{1}((-\delta,\delta),\Gamma) \tc \bm\varphi(0)=\vb{x_0} \e \bm\varphi'(0)=\vb{h} \in T_{\vb{x_0}}\Gamma$. Allora $\vb{x}=\vb{x_0}+t\vb{h}+\vb{o}(\abs{t})$ per $\abs{t}\to 0$. Di conseguenza,
\begin{gather*}
f(\vb{x})-f(\vb{x_0})=\frac{t^2}{2}\ip{\vb{h}+\vb{o}(1)}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)(\vb{h}+\vb{o}(1))}+o(\norm{\vb{h}+\vb{o}(1)}^2t^2)=\\
=\frac{t^2}{2}\ip{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}}(1+o(1))\geq 0
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2 changes: 1 addition & 1 deletion tex/analysis_2/5_peano_jordan.tex
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Expand Up @@ -398,7 +398,7 @@ \subsection{Cambiamento di variabile nell'integrale multiplo}
\end{theorem}

\begin{remark}
Il teorema del cambiamento di variabile continua a valere nel caso di perdita di iniettività o di $\det J_{\bm\Phi}\neq 0$ su insiemi di misura nulla che sono trasformati in insiemi di misura nulla.
Il teorema del cambiamento di variabile continua a valere nel caso di perdita di iniettività o di $\det J_{\bm\Phi}= 0$ su insiemi di misura nulla che sono trasformati in insiemi di misura nulla.
\end{remark}

\paragraph{Coordinate polari nel piano}
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4 changes: 2 additions & 2 deletions tex/analysis_2/6_curves_work.tex
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Expand Up @@ -32,7 +32,7 @@ \section{Curve in forma parametrica}
\begin{enumerate}
\item $\bm\rho([\alpha,\beta])=\gamma$, ovvero il sostegno della curva è invariato
\item $\bm\rho$ è regolare se e solo se $\vb{r}$ è regolare
\item $\bm\rho$ è semplice se e solo se $\vb{r}$ è semplice
\item $\bm\rho$ è semplice (aperta o chiusa) se e solo se $\vb{r}$ è semplice (aperta o chiusa)
\qed
\end{enumerate}
\end{theorem}
Expand Down Expand Up @@ -147,7 +147,7 @@ \section{Integrali curvilinei}

\begin{definition}
[Ascissa curvilinea]
Sia $\gamma$ una curva rettificabile e $\vb{r}:[a,b]\bijarrow\gamma \in \C{1}$ una sua parametrizzazione. Sia
Sia $\gamma$ una curva rettificabile e $\vb{r}:[a,b]\bijarrow\gamma \in \C{1}$ una sua parametrizzazione regolare. Sia
$$
s(t)=\int_a^t\norm{\vb{r}'(u)}\dd u
$$
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4 changes: 2 additions & 2 deletions tex/analysis_2/8_lebesgue.tex
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Expand Up @@ -129,7 +129,7 @@ \subsection{Metodo di Carathéodory}

\begin{theorem}
[Costruzione della misura]
Siano $X$ un insieme e $\mu^*$ una misura esterna su $\calP(X)$. Allora l'insieme $\A \subseteq \calP(X)$ degli insiemi misurabili secondo Carathéodory è una $\sigma$-algebra e $\restr{\mu^*}{\A}$ è una misura.
Siano $X$ un insieme e $\mu^*$ una misura esterna su $\calP(X)$. Allora l'insieme $\A \subseteq \calP(X)$ degli insiemi misurabili secondo Carathéodory rispetto a $\mu^*$ è una $\sigma$-algebra e $\restr{\mu^*}{\A}$ è una misura.
\qed
\end{theorem}

Expand Down Expand Up @@ -385,7 +385,7 @@ \subsection{Lebesgue e i limiti di successioni}
[della convergenza dominata]
Siano $A\in \mathcal{L}(\R^n)$ e $f_n:A\to\R$ misurabili. Sotto le seguenti ipotesi:
\begin{enumerate}[a.]
\item $\exists g:A\to[0,+\infty)$ sommabile tale che $\abs{f_n}\leq g\ \forall n \in \N \e \int_Ag<+\infty$
\item $\exists g:A\to[0,+\infty)$ sommabile tale che $\abs{f_n}\leq g\ \forall n \in \N$
\item $f_n\xrightarrow[n\to+\infty]{A}f$, cioè che $f$ sia il limite puntuale di $f_n$
\end{enumerate}
allora $f_n,f$ sono sommabili e $\displaystyle\int_Af=\lim\limits_{n\to+\infty}\int_Af_n$.
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4 changes: 2 additions & 2 deletions tex/analysis_2/analysis_2.tex
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Expand Up @@ -2,7 +2,7 @@
\documentclass[openany]{book}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage[a4paper,margin=1in]{geometry}
\usepackage{amsthm, amssymb, amsmath, bm, physics, esint, graphicx, titling}
\usepackage{amsthm, amssymb, amsmath, bm, physics, esint, graphicx, titling, tikz}

% Customize title page
\renewcommand{\maketitle}{
Expand Down Expand Up @@ -113,7 +113,7 @@
% Setup document
\title{Analisi Matematica 2}
\author{Luca Zoppetti}
\date{11 gennaio 2024}
\date{14 gennaio 2024}

\begin{document}

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