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@@ -0,0 +1,4 @@
+{
+	"pasteImage.basePath": "${projectRoot}/figures",
+	"pasteImage.path": "${projectRoot}/figures/screenshots"
+}

tex/waves/header.tex

@@ -15,7 +15,7 @@
 \input{math.tex}
 
 
-\usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb}
+\usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb, csquotes}
 \usepackage{geometry}
 \usepackage{mathrsfs}
 \usepackage{cancel}

tex/waves/lectures/lec_3.tex

@@ -118,4 +118,27 @@ \section{Serie di Fourier}
 \[
 	A_n = \frac{F_n e^{i \phi _n}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} ) + i \gamma n \omega ]}
 \]
-La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \).
+La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \). La soluzione complessa è
+\begin{gather*}
+	z_n(t) = A e^{in \omega t}= \frac{F_n e^{i(n \omega t + \phi _n)}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} )+i \gamma n \omega ]}\\
+	x(t)= \Re [z_n(t)]= \frac{F_n}{m}\Re \left[\frac{e^{i(n \omega t + \phi _n)}}{(\omega _0 ^{2} - (n \omega )^{2} )+i \gamma n \omega }\right] 
+\end{gather*}
+Le fasi \(\phi _n \) sono eliminabili utilizzando la formula nota per il coseno della somma\(\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \rightsquigarrow F_n \cos (n \omega t + \phi _n) = F_n \cos \phi _n \cos (n \omega t) - F_n \sin \phi _n \sin (n \omega t) \). Si può quindi porre \(a_0 =F_0,\ a_n = F_n \cos \phi _n,\ b_n =-F_n \sin \phi _n\) per ottenere \(F_n \cos (n \omega t + \phi _n) = a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\).
+Ottengo quindi che
+\[
+	f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)]
+\]
+
+\begin{theorem}
+	[Teorema delle serie di Fourier]
+	Ogni funzione \(f(t)\) limitata, periodica di periodo T, continua o con al più un numero finito di punti di discontinuità con salto (limite destro e sinistro diversi ma finiti) si può sempre approssimare con la serie
+	\[
+		f_N(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{N } [a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)] 
+	\]
+	dove \(\omega = \frac{2\pi }{T}\).
+\end{theorem}
+
+Per opportuni valori di \(a_n\) e \(b_n\) si ha che \(f_N(t)\xrightarrow{N \to +\infty }f(t)\) su tutti i punti di continuità del dominio. Gli scarti vanno a zero se N va a infinito:
+\[
+	\forall \varepsilon,\ \exists N \text{ tale che } \int_{0}^{T} (f(t) - f_N(t))^{2}  \,\mathrm{d}t < \varepsilon 
+\]

tex/waves/lectures/lec_4.tex

@@ -7,29 +7,29 @@ \section{Trasformata di Fourier}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-20-30.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-20-30.png}
 	\caption{La serie scelta.}
 \end{figure}
 
 Mi limito a funzioni continue, integrabili e con \(\int_{-\infty}^{\infty} \vert f(t) \vert  \,\mathrm{d}t \) finito.
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-23-47.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-23-47.png}
 	\caption{Gli elementi della serie diventano infinitesimi se \(T \to \infty \). }
 \end{figure}
 
 La pulsazione \(\omega \) è una variabile continua, anche se è data dal prodotto di un numero intero n e un infinitesimo \(\mathrm{d} \omega  \). Sto operando un passaggio dal discreto al continuo. 
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-28-07.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-28-07.png}
 	\caption{Divido per \(\mathrm{d}\omega  \) per evitare che il secondo membro tenda a zero. Il risultato è una funzione continua e finita, ottenuta integrando su tutti i tempi (\(T \to \infty \) ). }
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-29-55.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-29-55.png}
 	\caption{Adesso che ho una dipendenza da \(\mathrm{d}\omega  \) posso trasformare la sommatoria in un integrale. Rappresentando tutti gli n rappresento tutte le \(\omega \).  }
 \end{figure}
 
@@ -42,7 +42,7 @@ \section{Trasformata di Fourier}
 	\(\widetilde{f}(\omega ) \) descrive la componente di \(e^{i \omega t}\) nella funzione di partenza. La \(f(t)\) è rappresentabile come sovrapposizione continua di fasori:
 	\begin{figure}[H]
 		\centering
-		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-36-07.png}
+		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-36-07.png}
 		\caption{Antitrasformata di Fourier.}
 	\end{figure}   
 \end{definition}
@@ -54,14 +54,14 @@ \section{Trasformata di Fourier}
 	\item \(\mathcal{F} \) è lineare:
 	\begin{figure}[H]
 		\centering
-		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-40-06.png}
+		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-40-06.png}
 		\caption{Proprietà dell'operatore \(\mathcal{F} \). }
 	\end{figure}
 
 	\item Le derivate diventano moltiplicazioni, come già visto con i fasori:
 	\begin{figure}[H]
 		\centering
-		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-41-51.png}
+		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-41-51.png}
 		\caption{Alla terza riga ho l'espressione dell'antitrasformata della derivata di f, quindi il termine integrato corrisponde alla trasformata di Fourier.}
 	\end{figure}
 \end{itemize}
@@ -72,13 +72,13 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-46-30.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-46-30.png}
 	\caption{Ottengo così un'uguaglianza fra le due trasformate. Applico la seconda proprietà della trasformata di Fourier per cui le derivate diventano moltiplicazioni. \(\widetilde{x} \) è la mia incognita. }
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-48-28.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-48-28.png}
 	\caption{Così ho risolto il problema nello spazio delle pulsazioni. Con l'antitrasformata di Fourier posso trovare la soluzione particolare nello spazio dei tempi.}
 \end{figure}
 
@@ -88,7 +88,7 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato}
 	\item Le equazioni differenziali lineari si trasformano in polinomi in \(\omega \):
 	\begin{figure}[H]
 		\centering
-		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-51-21.png}
+		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-51-21.png}
 		\caption{Posso vedere la trasformata di Fourier anche come un operatore che agisce su altri operatori.}
 	\end{figure}
 
@@ -100,7 +100,7 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato}
 	La definizione della trasformata di Fourier può essere diversa. Noi non le useremo mai! L'importante è associare l'antitrasformata corretta in base alla definizione di trasformata che abbiamo usato. Alcuni esempi:
 	\begin{figure}[H]
 		\centering
-		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-57-28.png}
+		\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-57-28.png}
 		\caption{La prima è fatta per una questione di simmetria. La seconda è comoda per utilizzare il concetto di frequenza, che agli ingegneri sembra più naturale del concetto di pulsazione.}
 	\end{figure}
 \end{note}
@@ -144,7 +144,7 @@ \section{Onde su una corda}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-29-38.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-29-38.png}
 	\caption{Riferimento per lo studio delle onde trasversali su una corda.}
 \end{figure}
 
@@ -154,28 +154,28 @@ \section{Onde su una corda}
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-36-23.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-36-23.png}
 	\caption{Studio della dinamica di un tratto infinitesimo della corda.}
 \end{figure}
 
 Le tensioni nella corda sono dovute al pezzo di corda al di fuori del tratto \(\mathrm{d}x \). Le tensioni sono tangenti alla corda. L'equazione per la dinamica di questo tratto è \(\vec{T_1} +\vec{T_2} = \mathrm{d}m \vec{a} \). N.B: l'accelerazione è verticale, \(\vec{a} = a \hat{j} \). Posso assumere che \(a=\frac{\partial ^{2} \xi }{\partial t^{2} } \). Per semplificare la trattazione, mi riconduco al regime delle piccole oscillazioni: \(\theta _i \ll  1,\ \cos \theta _i \approx 1,\ \sin \theta _i \approx \tan \theta _i \approx \theta _i \).
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-41-03.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-41-03.png}
 \end{figure}
 
 Pongo \(T=T_1=T_2\). Ho verificato che il modulo tensione della corda è uguale in ogni verso (per le piccole oscillazioni). Osserviamo che \(\tan \theta _i = \frac{\partial \xi}{\partial x} \). Di conseguenza, \(\sin \theta _1 \approx \tan \theta _1= \frac{\partial \xi }{\partial x} \vert_x \) e \(\sin \theta _2 \approx \tan \theta _2 = \frac{\partial \xi }{\partial x}\vert_{x+\mathrm{d}x }  \).
 
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-47-36.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-47-36.png}
 \end{figure}
 
 L'equazione appena ricavata è molto importante. Per iniziare, considereremo casi in cui \(\mu \) è costante. È detta equazione di D'Alembert. Per ricordarci che \(\frac{\mu }{T}\) è una quantità positiva, la scriviamo come il quadrato di una quantità. Notiamo che ha le dimensioni dell'inverso di una velocità: \(\frac{\mu }{T} = \frac{1}{v^{2} } \to v=\sqrt{\frac{T}{\mu }} \). Dimensionalmente si vede che è effettivamente una velocità:
 \begin{figure}[H]
 	\centering
-	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-54-11.png}
+	\includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-54-11.png}
 \end{figure}
 L'equazione di D'Alembert è lineare, per cui vale il principio di sovrapposizione. Compaiono derivate seconde al primo grado:
 \begin{equation}

tex/waves/waves.tex

@@ -5,7 +5,7 @@
 
 \thispagestyle{empty}
 \addbibresource{ref.bib}
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