complete curves

tex/analysis_2/6_curves_work.tex

@@ -145,4 +145,120 @@ \section{Lavoro}
 
 \begin{remark}
 	Se cambia l'orientamento da $(\gamma, \hat{\bm\tau})$ in $(\gamma, -\hat{\bm\tau})$, allora $L_{\gamma,-\hat{\bm\tau}}$=$-L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}$.
-\end{remark}
+\end{remark}
+
+Se si considera la parametrizzazione $\vb{r}: [a,b]\suarrow \gamma$, dove si assume che l'orientamento indotto dalla parametrizzazione sia compatibile con $\hat{\bm\tau}$, allora il lavoro si può calcolare come segue:
+\begin{equation}
+	L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\innerproduct{\vb{f}(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t
+\end{equation}
+
+\begin{theorem}
+	[Cambio di parametrizzazione e lavoro]
+	Sia $\vb{r}:[a,b]\suarrow \gamma$ una parametrizzazione regolare che induce l'orientamento $\hat{\bm\tau}_r$ su $\gamma$ e sia $\bm\rho = \vb{r} \circ \varphi$ una nuova parametrizzazione con $\hat{\bm\tau}_\rho$ l'orientamento indotto da essa. Allora:
+	\begin{enumerate} [a.]
+		\item Se $\varphi$ è un diffeomorfismo crescente, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}_\rho} = L_{\gamma, \hat{\bm\tau}_r}$
+		\item Se $\varphi$ è un diffeomorfismo crescente, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}_\rho} = -L_{\gamma, \hat{\bm\tau}_r}$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\section{Campi vettoriali conservativi}
+
+\begin{definition}
+	[Campo vettoriale conservativo]
+	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo se $\exists U \in \C{1}(A,\R) \tc$
+	\begin{equation}
+		\vb{f}(\vb{x})=\grad U(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A
+	\end{equation}
+	In tal caso $U$ è detto potenziale del campo $\vb{f}$.
+\end{definition}
+
+\begin{prop}
+	Siano $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso e $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora $V\in \C{1}(A,\R)$ è un potenziale di $\vb{f} \iff \exists k \in \R \tc V(\vb{x})=U(\vb{x}) + k \ \forall \vb{x} \in A$.
+	\qed
+\end{prop}
+
+\begin{theorem}
+	[Campi vettoriali conservativi e lavoro]
+	Sia $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ un campo conservativo definito in $A\subseteq\R^n$ aperto e connesso e sia $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora, se $(\gamma,\hat{\bm\tau}) \subseteq A$ è una curva regolare a tratti orientabile con primo estremo $\vb{x}_i$ e secondo estremo $\vb{x}_f$,
+	\begin{equation}
+		L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=U(\vb{x}_f)-U(\vb{x}_i)
+	\end{equation}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	[Caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi]
+	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso, $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:
+	\begin{enumerate}
+		\item $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo
+		\item Per ogni coppia di curve regolari a tratti orientate $(\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}), (\gamma_2,\hat{\bm\tau_2})$ con estremi coincidenti e $\gamma_1,\gamma_2 \subseteq A$ vale
+		\begin{equation}
+			L_{\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}}=L_{\gamma_2,\hat{\bm\tau_2}}
+		\end{equation}
+		\item Per ogni curva chiusa regolare a tratti orientabile con sostegno $\gamma \subseteq A$ e orientamento $\hat{\bm\tau}$ vale $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$
+	\end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	[Campo vettoriale irrotazionale]
+	Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è detto irrotazionale se ha matrice jacobiana simmetrica, ovvero se
+	\begin{equation}
+		\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A \ \forall i,j \in [n]
+	\end{equation}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+	Se $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso è conservativo, allora è irrotazionale.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+	Sia $\vb{f} \in \C{1}(\R^2\setminus{(0,0)}, \R^2)$ un campo vettoriale irrotazionale. Se, detta $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e orientamento arbitrario, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$, allora $\vb{f}$ è conservativo.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+	% TODO
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+	[Insieme convesso]
+	$A \subseteq \R^n$ aperto è un insieme convesso se $\forall \vb{x},\vb{y} \in A$ il segmento $[\vb{x},\vb{y}] \subseteq A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	[Insieme stellato rispetto a un punto]
+	Siano $A \subseteq \R^n$ e $\vb{x_0} \in A$. $A$ è stellato rispetto a $\vb{x_0}$ se $\forall \vb{x} \in A, [\vb{x_0},\vb{x}]\subseteq A$.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+	[Insieme semplicemente connesso]
+	$A \subseteq \R^n$ è semplicemente connesso se ogni curva regolare semplice chiusa contenuta in $A$ può essere deformata con continuità a un punto in $A$ restando in $A$.
+\end{definition}
+
+\begin{remark}
+	Convesso $\then$ stellato $\then$ semplicemente connesso $\then$ connesso per archi $\then$ connesso.
+\end{remark}
+
+\begin{lemma}
+	[di Poincarè]
+	Sia $A \subseteq \R^n$ aperto convesso oppure stellato rispetto a un punto oppure semplicemente connesso. Sia $\vb{f}\in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\vb{f}$ è conservativo in $A$.
+	\qed
+\end{lemma}
+
+\begin{corollary}
+	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vb{f}$ è conservativo se ristretto a $B$.
+\end{corollary}

tex/analysis_2/7_surfaces.tex

@@ -0,0 +1 @@
+\chapter{Integrali di superficie}

tex/analysis_2/analysis_2.tex

@@ -95,4 +95,6 @@
 
 \include{6_curves_work}
 
+\include{7_surfaces}
+
 \end{document}