lec16 first hour

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-\lecture{16}{17 aprile 2024}
+\lecture{16}{17 aprile 2024}
+\section{Pressione di radiazione}
+Come le onde meccaniche, anche le onde elettromagnetiche trasportano energia (\(\langle u_{EM} \neq 0 \rangle \)). Associato alle onde elettromagnetiche c'è anche il vettore di Poynting, che ha valore medio diverso da zero (quindi trasporta qualcosa!). Si può mostrare che il vettore di Poynting è in grado di esercitare una pressione "di radiazione" sui corpi. Trasportano anche momento angolare, ma questo lo scopriremo in meccanica quantistica.
+Ma come nasce la pressione di radiazione? Studiamo il comportamento di una carica positiva (\(q>0\)) in un mezzo conduttivo in presenza di un'onda elettromagnetica di questo tipo:
+\begin{align}
+	\vec{E}(z,t)&= E_0 \cos (kz- \omega t) \vec{\hat{i}} & 
+	\vec{B}(z,t)&=\frac{E_0}{v} \cos (kz - \omega t) \vec{\hat{j}}
+\end{align}
+\begin{figure}[H]
+	\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{screenshots/2024-04-18-09-25-40.png}
+    \end{minipage}%
+	\hfill%
+    \begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}
+        \centering
+        \includegraphics[width=\linewidth]{screenshots/2024-04-18-09-34-09.png}
+    \end{minipage}
+\end{figure}
+Il campo elettrico mette in moto la carica e, essendo in un mezzo conduttivo dove vale \(\vec{E}=\rho _R \vec{J}=\rho _R n q \vec{v}\), otteniamo che \(\vec{v} \propto \vec{E}\). Avendo una velocità verso le x positive, la carica subisce una forza di Lorentz diretta lungo l'asse z positivo per tutta la fase dell'onda in cui la componente del campo elettrico è positiva. Quando il campo elettrico si ribalta (quindi anche la velocità della carica) e va verso il basso, anche il campo magnetico inverte il suo verso e quindi il risultato netto è che la forza di Lorentz è diretta anche in questo caso nel verso di propagazione. Nel caso di una carica negativa non cambia nulla! Complessivamente la forza di Lorentz dipende da \(q ^{2} \), quindi ha sempre lo stesso verso indipendentemente dal segno della carica.
+
+Consideriamo ora una piastra metallica con superficie \(\Sigma \) e \(N\) cariche libere sulla superficie. Su ogni carica agisce una forza data da \(\vec{F}=q \vec{E} + q \vec{v} \cp \vec{B}\), quindi sull'intera piastra si avrà una forza complessiva pari a \(\vec{F}_{tot} = Nq (\vec{E}+ \vec{v} \cp \vec{B})\). La forza elettrica oscilla e quindi mediamente è nulla, ma quella di natura magnetica ha sempre la stessa direzione. La potenza media fornita dall'onda alla piastra è data da
+\begin{equation}
+	\langle \mathcal{P} \rangle = \langle \vec{F}_{tot} \cdot \vec{v} \rangle = \langle N q \vec{E} \cdot \vec{v} \rangle 
+\end{equation}
+che ci dà la potenza spesa per unità di area:
+\begin{equation}
+	\left\langle \frac{\mathcal{P} }{\Sigma } \right\rangle =
+	\left\langle \frac{Nq \vec{E}\cdot \vec{v}}{\Sigma } \right\rangle 
+	= \sigma \langle \vec{E}\cdot \vec{v} \rangle 
+\end{equation}
+Se l'onda elettromagnetica viene completamente assorbita dalla piastra, si ha che la potenza spesa per unità di area è uguale all'intensità dell'onda iniziale:
+\begin{equation}
+	I = \left\langle \frac{\mathcal{P} }{\Sigma } \right\rangle 
+	= \sigma \langle \vec{E}\cdot \vec{v} \rangle 
+\end{equation}
+
+Abbiamo visto che la forza di Lorentz è diretta sempre nella direzione di propagazione dell'onda. Per onde elettromagnetiche che si incontrano quotidianamente le oscillazioni sono molto rapide, il campo magnetico ha modulo \(\vert \vec{B} \vert = \quotient{\vert \vec{E} \vert }{c}  \) e le velocità massime degli elettroni sono significativamente inferiori a quelle della luce. Quindi la forza elettrica è sempre dominante rispetto a quella di Lorentz e si può approssimare la direzione di \(\vec{v}\) con quella di \(\vec{E}\), ottenendo quindi:
+\begin{equation}
+	\langle \vec{F}_{tot} = N \langle \vert q\vec{v} \cp \vec{B} \vert  \rangle  \rangle 
+	= \frac{Nq \langle \vec{v} \cdot \vec{E}  \rangle }{c}
+\end{equation}
+Da questo si trova che la pressione è
+\begin{equation}
+	p = \left\langle \frac{\vec{F}_{tot} }{\Sigma } \right\rangle =
+	\frac{\sigma }{c} \langle \vec{E} \cdot \vec{v} \rangle =
+	\frac{I}{c}=
+	\frac{\langle \vert \vec{S} \vert  \rangle }{c}
+\end{equation}
+
+\paragraph{Nota storica} Misurare la pressione di radiazione è molto difficile perché è necessaria un'intensità molto alta! I primi radiometri dell''800 funzionavano al contrario, perché l'effetto dell'onda era di scaldare una delle due facce della piastra metallica e quindi le molecole di gas spingevano leggermente la piastra avendo velocità leggermente diverse da un lato della piastra e dall'altro. Oggi la pressione di radiazione è utilizzata per i viaggi spaziali con le vele solari.