some fixes on chapters 1-4

tex/analysis_2/1_topology.tex

@@ -165,7 +165,7 @@ \section{Chiusura, interno e frontiera}
         \item $\overline{A}$ è chiuso, quindi è ovvio usando la definizione.
         \item Segue dal punto 3 del teorema e dalle definizioni di chiuso e chiusura.
     \end{enumerate}
-    I punti 5 e 6 non vengono dimostrati, tuttavia si può notare che se $x$ è punto di aderenza per $A$, allora $\forall \varepsilon > 0 \ B_\varepsilon(x) \cap A \neq \varnothing \iff d(x,A)=0$. In altre parole, i punti 5 e 6 sono equivalenti fra loro.
+    I punti \textit{5} e \textit{6} non vengono dimostrati, tuttavia si può notare che se $x$ è punto di aderenza per $A$, allora $\forall \varepsilon > 0 \ B_\varepsilon(x) \cap A \neq \varnothing \iff d(x,A)=0$. In altre parole, i punti 5 e 6 sono equivalenti fra loro.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}
@@ -302,7 +302,7 @@ \section{Successioni}
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-    Se $X$ è uno spazio normato, allora $X$ è anche uno spazio metrico con $d(\vb{x},\vb{y}) = \norm{\vb{x}-\vb{y}}$. In $\R^n$ tutte le norme sono equivalenti, cioè se una successione di elementi in $\R^n$ converge rispetto a una norma allora converge rispetto a qualunque altra norma.
+    In $\R^n$ tutte le norme sono equivalenti, cioè se una successione di elementi in $\R^n$ converge rispetto a una norma allora converge rispetto a qualunque altra norma.
 \end{remark}
 
 \begin{definition}

tex/analysis_2/2_functions.tex

@@ -61,30 +61,33 @@ \section{Funzioni e regolarità}
     \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
-\begin{prop}
-    Si consideri lo spazio euclideo $(\R^n,d)$.
-    \begin{enumerate}
-        \item $x \in \overline{A} \iff \exists \{x_k\}_{k\in \N}, x_k \in A \ \forall k \in \N \tc d(x, x_k) \xrightarrow{k \to + \infty} 0$
-
-        \item $A \subseteq \R^n$ è compatto $\iff \forall\{x_k\}_{k\in \N}, x_k \in A \ \forall k \in \N$ esiste una sottosuccessione $x_{k_m}$ convergente in $A$.
-    \end{enumerate}
-\end{prop}
+\begin{theorem}
+    [Caratterizzazione della chiusura tramite successioni]
+    Si consideri lo spazio euclideo $(\R^n,d)$ e sia $A \subseteq \R^n$. Allora
+    $$
+        x \in \overline{A} \iff \exists \{x_k\}_{k\in \N}, x_k \in A \ \forall k \in \N \tc d(x, x_k) \xrightarrow{k \to + \infty} 0
+    $$
+\end{theorem}
 
 \begin{proof}
-    Si dimostra ciascun punto separatamente.
-    \begin{enumerate}
-        \item Sia $x \in \overline{A} \then x$ è aderente ad $A$, cioè $\forall \varepsilon > 0\ B_\varepsilon(x)\cap A \neq \varnothing$. Sia $\varepsilon=1/k$. Si può definire una successione tale che $x_k \in B_{1/k}(x)\cap A$, quindi tale che $d(x_k,x)\xrightarrow{k\to+\infty}0$.
+    Sia $x \in \overline{A} \then x$ è aderente ad $A$, cioè $\forall \varepsilon > 0\ B_\varepsilon(x)\cap A \neq \varnothing$. Sia $\varepsilon=1/k$. Si può definire una successione tale che $x_k \in B_{1/k}(x)\cap A$, quindi tale che $d(x_k,x)\xrightarrow{k\to+\infty}0$.
 
-        Viceversa, siano $x_k \in A, x \in X \tc d(x,x_k)\xrightarrow{k\to+\infty}0$. Allora $d(x,A)=\inf\limits_{y\in A}d(x,y)\leq d(x,x_k)\xrightarrow{k\to+\infty}0\then x \in \overline{A}$.
+    Viceversa, siano $x_k \in A, x \in X$ tali che $d(x,x_k)\xrightarrow{k\to+\infty}0$. Allora $d(x,A)=\inf\limits_{y\in A}d(x,y)\leq d(x,x_k)\xrightarrow{k\to+\infty}0\then x \in \overline{A}$
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+    [Compattezza per successioni]
+    Si consideri lo spazio euclideo $(\R^n,d)$. $A \subseteq \R^n$ è compatto $\iff \forall\{x_k\}_{k\in \N}, x_k \in A \ \forall k \in \N$ esiste una sottosuccessione $x_{k_m}$ convergente in $A$.
+\end{theorem}
 
-        \item $\{x_k\}_{k\in\N}$ è una successione in A. Si presentano due casi:
+\begin{proof}
+    Sia $A$ compatto e $\{x_k\}_{k\in\N}$ una successione in A. Si presentano due casi:
         \begin{enumerate}[a.]
             \item L'insieme dei valori della successione è finito, ovvero $\exists y_1,\dots,y_p\in A$ tali che $\forall k \ x_k \in \{y_1,\dots,y_p\}$. Sia $N_j=\{k\in\N:x_k=y_j\} \with j=1,\dots,p$. Almeno uno degli $N_j$ è numerabile, si supponga in $j=\overline{j}$. Si può estrarre la sottosuccessione $x_{k_m}=y_{\overline{j}}\xrightarrow{m\to+\infty}y_{\overline{j}}$.
             \item L'insieme dei valori della successione è infinito, ma, essendo $A$ limitato, è anch'esso limitato. Per il teorema di Bolzano-Weierstrass (Thm. \ref{thm:BW}, Cap. \ref{chap:topology}), $\{x_k, k \in \N\}$ possiede almeno un punto di accumulazione $a \in X$. Di conseguenza, è possibile definire $\forall m \in \N\ x_{k_m}\neq a \in B_{1/m}(a)\cap A$. Per quanto detto, $a$ è aderente ad $A$, il quale essendo compatto è anche chiuso, ovvero contiene i suoi punti di aderenza. Questo dimostra che $a \in A$.
         \end{enumerate}
 
-        Viceversa, $\forall \{x_k\}_{k\in\N} \with x_k \in A$ è possibile estrarre una sottosuccessione convergente a $x \in A$. Se $A$ non fosse limitato, $\forall k \in \N$ si potrebbe costruire una successione $x_{m_k} \tc \norm{x_{m_k}}\geq k$, che è chiaramente illimitata. Questo è assurdo, perché non sarebbe possibile estrarvi una sottosuccessione convergente. Sia $x \in \overline{A}$. Per il punto \textit{1} del teorema $\exists \{x_k\}_{k\in\N} \with x_k \in A \tc x_k\xrightarrow[k\to+\infty]{d}x$. Qualunque sottosuccessione di $x_k$ converge allo stesso limite, quindi $x \in A$. Di conseguenza, $A$ è chiuso perché $A=\overline{A}$.
-    \end{enumerate}
+    Viceversa, $\forall \{x_k\}_{k\in\N} \with x_k \in A$ è possibile estrarre una sottosuccessione convergente a $x \in A$. Se $A$ non fosse limitato, $\forall k \in \N$ si potrebbe costruire una successione $x_{m_k} \tc \norm{x_{m_k}}\geq k$, che è chiaramente illimitata. Questo è assurdo, perché non sarebbe possibile estrarvi una sottosuccessione convergente. Sia $x \in \overline{A}$. Per il punto \textit{1} del teorema $\exists \{x_k\}_{k\in\N} \with x_k \in A \tc x_k\xrightarrow[k\to+\infty]{d}x$. Qualunque sottosuccessione di $x_k$ converge allo stesso limite, quindi $x \in A$. Di conseguenza, $A$ è chiuso perché $A=\overline{A}$.
 \end{proof}
 
 \begin{theorem}