fixes in analysis_2

tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex

@@ -299,6 +299,7 @@ \section{Estremanti condizionati}
             -J_{\vb{g}}(\vb{x}) & \vb{O}
         \end{bmatrix}
     $$
+    Si supponga che essa sia definita positiva se ristretta allo spazio tangente a $\Gamma$ in $\vb{x_0}$.
     Applicando la formula di Taylor,
     \begin{align*}
         f(\vb{x})-f(\vb{x_0})&=\mathcal{L}(\vb{x};\overline{\lambda}_1,\dots,\overline{\lambda}_k)-\mathcal{L}(\vb{x_0};\overline{\lambda}_1,\dots,\overline{\lambda}_k)=\\
@@ -310,5 +311,5 @@ \section{Estremanti condizionati}
         f(\vb{x})-f(\vb{x_0})=\frac{t^2}{2}\ip{\vb{h}+\vb{o}(1)}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)(\vb{h}+\vb{o}(1))}+o(\norm{\vb{h}+\vb{o}(1)}^2t^2)=\\
         =\frac{t^2}{2}\ip{\vb{h}}{\left( H_f(\vb{x_0})-\sum_{j=1}^k\overline{\lambda}_j H_{g_j}(\vb{x_0}) \right)\vb{h}}(1+o(1))\geq 0
     \end{gather*}
-    Quindi $\vb{x_0}$ è minimo locale.
+    Quindi $\vb{x_0}$ è un punto di minimo per $f$ condizionato a $\Gamma$.
 \end{proof}

tex/analysis_2/6_curves_work.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ \section{Curve in forma parametrica}
 
 \begin{definition}
 	[Parametrizzazione semplice aperta]
-	Si dice parametrizzazione semplice aperta una funzione $\vb{r}: [a,b]\bijarrow\vb{r}([a,b]) \in \C{1}$. Si noti che $\vb{r}$ è un omeomorfismo.
+	Si dice parametrizzazione semplice aperta una funzione $\vb{r}: [a,b]\bijarrow\vb{r}([a,b])$. Si noti che $\vb{r}$ è un omeomorfismo.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -293,7 +293,7 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-	Convesso $\then$ stellato $\then$ semplicemente connesso $\then$ connesso per archi $\then$ connesso.
+	Convesso $\then$ stellato rispetto a ogni punto $\then$ semplicemente connesso $\then$ connesso per archi $\then$ connesso.
 \end{remark}
 
 \begin{lemma}
@@ -303,7 +303,7 @@ \section{Campi vettoriali conservativi}
 \end{lemma}
 
 \begin{corollary}\label{cor:loc_cons}
-	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vecf$ è conservativo se ristretto a $B$.
+	Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ convesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vecf$ è conservativo se ristretto a $B$.
 \end{corollary}
 
 \begin{theorem}

tex/analysis_2/8_lebesgue.tex

@@ -68,7 +68,7 @@ \section{Misura di Lebesgue}
 
 \begin{definition}
 	[Spazio di misura completo]
-	$(X,\A,\mu)$ è uno spazio di misura completo se $\forall N \in \A \tc \mu(N)=0$ tutti i suoi sottoinsiemi sono misurabili.
+	$(X,\A,\mu)$ è uno spazio di misura completo se $\forall N \in \A \tc \mu(N)=0$ tutti i suoi sottoinsiemi sono misurabili, cioè $\forall M\subseteq N, \ M\in \A$.
 \end{definition}
 
 \begin{theorem}
@@ -166,7 +166,7 @@ \subsection{Metodo di Carathéodory}
 \begin{theorem}
 	Sia $\mathcal{B}(\R^n)$ la $\sigma$-algebra di Borel in $\R^n$. Allora
 	\begin{enumerate}
-		\item $\mathcal{B}(\R^n)$ è la più piccola $\sigma$-algebra che contenga $\mathcal{R}$, cioè gli intervalli di $\R^n$.
+		\item $\mathcal{B}(\R^n)$ è la più piccola $\sigma$-algebra che contenga $\mathcal{R}$, cioè gli intervalli di $\R^n$
 		\item $\mathcal{B}(\R^n)\subset \mathcal{L}(\R^n)$
 		\item $\mathcal{B}(\R^n)$ non è completo rispetto alla misura di Lebesgue
 		\qed