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629. K 个逆序对数组

English Version

题目描述

给出两个整数 n 和 k，找出所有包含从 1 到 n 的数字，且恰好拥有 k 个逆序对的不同的数组的个数。

逆序对的定义如下：对于数组的第i个和第 j个元素，如果满i < j且 a[i] > a[j]，则其为一个逆序对；否则不是。

由于答案可能很大，只需要返回 答案 mod 109 + 7 的值。

示例 1:

输入: n = 3, k = 0
输出: 1
解释: 
只有数组 [1,2,3] 包含了从1到3的整数并且正好拥有 0 个逆序对。

示例 2:

输入: n = 3, k = 1
输出: 2
解释: 
数组 [1,3,2] 和 [2,1,3] 都有 1 个逆序对。

说明:

  1.  n 的范围是 [1, 1000] 并且 k 的范围是 [0, 1000]。

解法

动态规划，我们规定 dp[i][j] 表示 i 个数字恰好拥有 j 个逆序对的不同数组的个数，最终答案为 dp[n][k]

思考如何得到 dp[i][j]，假设 i - 1 个数字已经确定，现在插入 i 一共有 i 种情况：

  • 放在第一个，由于 i 比之前的任何数都大，所以会产生 i - 1 个逆序对，为了凑够 j 个逆序对，之前确定的数需要产生 j - (i - 1) 个逆序对
  • 放在第二个，产生 i - 2 个逆序对，为了凑够 j 个逆序对，之前确定的数需要产生 j - (i - 2) 个逆序对
  • 放在第三个......同理
  • 放在最后一个，产生 0 个逆序对，之前确认的数需要产生 j 个逆序对

可得状态转移公式：dp[i][j] = dp[i - 1][j - (i - 1)] + ... + dp[i - 1][j]

看到这种累加，很容易想到需要用前缀和进行优化。最终 dp[i][] 只依赖前缀和数组，甚至连 dp[i - 1][] 都不需要，所以可以进一步用一维数组优化空间

Python3

class Solution:
    def kInversePairs(self, n: int, k: int) -> int:
        mod = 1000000007
        dp, pre = [0] * (k + 1), [0] * (k + 2)
        for i in range(1, n + 1):
            dp[0] = 1

            # dp[i][j] = dp[i - 1][j - (i - 1)] + ... + dp[i - 1][j]
            for j in range(1, k + 1):
                dp[j] = (pre[j + 1] - pre[max(0, j - i + 1)] + mod) % mod

            for j in range(1, k + 2):
                pre[j] = (pre[j - 1] + dp[j - 1]) % mod

        return dp[k]

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j - 2] + ... + dp[i - 1][j - (i - 1)] ①

dp[i][j - 1] = dp[i - 1][j - 1] + dp[i - 1][j - 2] + ... + dp[i - 1][j - (i - 1)] + dp[i - 1][j - i] ②

① - ②，得 dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - dp[i - 1][j - i]

class Solution:
    def kInversePairs(self, n: int, k: int) -> int:
        N, MOD = 1010, int(1e9) + 7
        dp = [[0] * N for _ in range(N)]
        dp[1][0] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            dp[i][0] = 1
            for j in range(1, k + 1):
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]
                if j >= i:
                    dp[i][j] -= dp[i - 1][j - i]
                dp[i][j] %= MOD
        return dp[n][k]

空间优化：

class Solution:
    def kInversePairs(self, n: int, k: int) -> int:
        N, MOD = 1010, int(1e9) + 7
        dp = [0] * N
        dp[0] = 1
        for i in range(2, n + 1):
            t = dp.copy()
            for j in range(1, k + 1):
                dp[j] = t[j] + dp[j - 1]
                if j >= i:
                    dp[j] -= t[j - i]
                dp[j] %= MOD
        return dp[k]

Java

class Solution {

    private static final int MOD = 1000000007;

    public int kInversePairs(int n, int k) {
        int[] dp = new int[k + 1];
        int[] pre = new int[k + 2];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            dp[0] = 1;

            // dp[i][j] = dp[i - 1][j - (i - 1)] + ... + dp[i - 1][j]
            for (int j = 1; j <= k; j++) {
                dp[j] = (pre[j + 1] - pre[Math.max(0, j - i + 1)] + MOD) % MOD;
            }

            for (int j = 1; j <= k + 1; j++) {
                pre[j] = (pre[j - 1] + dp[j - 1]) % MOD;
            }
        }
        return dp[k];
    }
}
class Solution {
    public int kInversePairs(int n, int k) {
        int N = 1010, MOD = (int) (1e9 + 7);
        int[][] dp = new int[N][N];
        dp[1][0] = 1;
        for (int i = 2; i < n + 1; ++i) {
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 1; j < k + 1; ++j) {
                dp[i][j] = (dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]) % MOD;
                if (j >= i) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] - dp[i - 1][j - i] + MOD) % MOD;
                }
            }
        }
        return dp[n][k];
    }
}

Go

const mod int = 1e9 + 7

func kInversePairs(n int, k int) int {
	dp := make([]int, k+1)
	pre := make([]int, k+2)
	for i := 1; i <= n; i++ {
		dp[0] = 1

		// dp[i][j] = dp[i - 1][j - (i - 1)] + ... + dp[i - 1][j]
		for j := 1; j <= k; j++ {
			dp[j] = (pre[j+1] - pre[max(0, j-i+1)] + mod) % mod
		}

		for j := 1; j <= k+1; j++ {
			pre[j] = (pre[j-1] + dp[j-1]) % mod
		}
	}
	return dp[k]
}

func max(a, b int) int {
	if a > b {
		return a
	}
	return b
}

C++

class Solution {
private:
    static constexpr int MOD = 1e9 + 7;

public:
    int kInversePairs(int n, int k) {
        vector<int> dp(k + 1), pre(k + 2, 0);
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            dp[0] = 1;

            // dp[i][j] = dp[i - 1][j - (i - 1)] + ... + dp[i - 1][j]
            for (int j = 1; j <= k; ++j) {
                dp[j] = (pre[j + 1] - pre[max(0, j - i + 1)] + MOD) % MOD;
            }

            for (int j = 1; j <= k + 1; ++j) {
                pre[j] = (pre[j - 1] + dp[j - 1]) % MOD;
            }
        }
        return dp[k];
    }
};

...