01- Álgebra Básica.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 2 Álgebra Básica\n",
    "\n",
    "## 2. Expressões algébricas e valor numérico\n",
    "\n",
    "O Sage denomina como **expressão simbólica** todas as expressões que dependem de uma variável algébrica. A variável simbólica padrão para o **Sage** é represenada pela letra $\\textbf{x}$, e não precisa ser declarada previamente:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    " x^2 + 2*x + 1"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Definindo funções em x:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f(x) = x^2+2*x+ 1 ; f # a entrada x na fução f não é abrigatória\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Calculado o valor $f$ em um valor dado:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f(x=1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f(x=1/2)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Uma expressão simbólica pode ser definida sobre outra variável ou várias delas, no entanto, as mesmas devem ser declaradas:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "t |--> sin(t)/t"
      ]
     },
     "execution_count": 1,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "x, y , z, t = var (' x, y, z, t')\n",
    "\n",
    "g(t) = sin(t)/t ; g"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "g(t=0.3)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Agora com mais de uma variável:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "F(x,y,z) = x^2+ y^2 + z^2; F"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "F(x=1, y=sqrt(2), z=-1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Expressões simbólicas complicadas podem ser simplificadas com o método $\\textbf{simplify_full()}$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f1 = (x^6+3*x^5-3*x^4-42*x^3-153*x^2+3*x+11)/(x^6-4*x^5-15*x^4+56*x^3+15*x^2-4*x-1); show(f1)\n",
    "show(f1.simplify_full())"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Expandindo expressões com o método $\\textbf{expand()}$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "(x-1)*(x-2)*(x-3)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "_.expand()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 2.2 Resolvendo equações e desigualdades\n",
    "\n",
    "Para resolver uma equação ou uma desigualdade, usamos usando o método $\\textbf{solve}$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve(3*x-2==5, x) # equação"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve( 3*x-2>=5, x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "As equações podem ter múltiplas soluções, a **Sage** retorna todas as soluções encontradas em uma lista."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve(x^2+ x == 6, x)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve( x ^ 2 - 6 >= 3 , x )"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nem tudo são flores. O comando **solve()** tentará expressar a solução de uma equação usando valores numéricos. Caso não seja possível, ele retornará a solução de forma implicita:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve( cos ( x ) - exp(x) == 0 , x )"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Para encontrar uma aproximação numérica da solução, podemos usar o comando $\\textbf{find_root()}$ . Os parâmetros são: a expressão simbólica, e os extremos de um intervalo fechado no qual deve-se buscar uma solução."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "find_root(cos(x)-exp(x)==0,-2, 0 ) # existe outra?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "find_root(cos(x)-exp(x)==0,-2, -1 ) # Outra????"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "f= cos(x) - exp(x); f(x=-1.2926957193735338) # conferindo"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "round(_, 3)      "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 2.3 Resolvendo sistemas de equações\n",
    "\n",
    "\n",
    "Sistemas de equações lineares também podem ser resolvidos usando a $\\textbf{solve()}$ , desde que todas as variáveis simbólicas tenham sido declaradas."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve( [ 3*x - y == 2 , - 2*x - y == 1 ], x , y )"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "O erro acima foi devido a não declaração da varioável simbólica x."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "y = var ('y')\n",
    "solve( [ 3 * x - y == 2 , - 2 * x - y == 1 ], x , y )"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Agora um sistema com infinitas soluções:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {
    "collapsed": false,
    "jupyter": {
     "outputs_hidden": false
    }
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "solve( [ 2 * x + y == - 1 , - 4 * x - 2 * y == 2 ], x , y )"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 2.4 Exercícios\n",
    "\n",
    "1. Encontre todas as soluções para equação $ x^3 - x = 7x^2-7$.\n",
    "2. Encontre os valores de t que satisfazem a desiguadade $|t-7|\\geq 3$\n",
    "3. Verifique a existência de uma raiz de $f(x)=x^2-4\\sin(x)$ no intervalo $[1,3]$. Existe outra?"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "SageMath 9.2",
   "language": "sage",
   "name": "sagemath"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.9.1"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}