diff --git a/.gitignore b/.gitignore new file mode 100644 index 0000000..f83d1a6 --- /dev/null +++ b/.gitignore @@ -0,0 +1,8 @@ +*.aux +*.cll +*.fls +*.idx +*.ilg +*.ind +*.log +*.toc diff --git a/book/getting-started/getting-started.tex b/book/getting-started/getting-started.tex index 7ed8218..9b23bff 100644 --- a/book/getting-started/getting-started.tex +++ b/book/getting-started/getting-started.tex @@ -1,343 +1,346 @@ % !TeX root = ../../infdesc.tex \hintsection{\Cref*{chGettingStarted}} -Before we can start proving things, we need to eliminate certain kinds of statements that we might try to prove. Consider the following statement: +Antes de podermos começar a provar coisas, precisamos eliminar certos tipos de afirmações que poderíamos tentar provar. Considere a seguinte afirmação: \begin{center} -\textit{This sentence is false.} +\textit{Essa sentença é falsa.} \end{center} -Is it true or false? If you think about this for a couple of seconds then you'll get into a bit of a pickle. +Isso e verdadeiro ou falso? Se você pensar sobre isso por alguns segundos, você ficará em apuros. -Now consider the following statement: +Agora considere a seguinte sentença : \begin{center} -\textit{The happiest donkey in the world.} +\textit{O burro mais feliz do mundo.} \end{center} -Is it true or false? Well it's not even a sentence; it doesn't make sense to even \textit{ask} if it's true or false! +Isso e verdadeiro ou falso? Bem, não é nem uma frase; não faz sentido nem \textit{perguntar} se é verdadeiro ou falso! -Clearly we'll be wasting our time trying to write proofs of statements like the two listed above---we need to narrow our scope to statements that we might actually have a chance of proving (or perhaps refuting)! This motivates the following (informal) definition. +É claro que estaremos desperdiçando nosso tempo tentando escrever provas de afirmações como as duas listadas acima – precisamos restringir nosso escopo a afirmações que possamos realmente ter uma chance de provar (ou talvez refutar)! Isso motiva a seguinte definição (informal). \begin{definition} \label{defProposition} \label{defProof} -\index{proposition} -\index{proof} -A \textbf{proposition} \index{proposition} is a statement to which it is possible to assign a \textbf{truth value} (`true' or `false'). If a proposition is true, a \textbf{proof} of the proposition is a logically valid argument demonstrating that it is true, which is pitched at such a level that a member of the intended audience can verify its correctness. +\index{proposição} +\index{prova} +Uma \textbf{proposição} \index{proposição} é a declaração na qual é possível atribuir a \textbf{Valor verdadeiro} (`verdadeiro' ou `falso'). Se uma proposição é verdadeira, uma \textbf{prova} da preposição é um argumento logicamente válido que demonstra que é verdadeiro, apresentado a um nível tal que um membro do público-alvo possa verificar a sua veracidade. \end{definition} -Thus the statements given above are not propositions because there is no possible way of assigning them a truth value. Note that, in \Cref{defProposition}, all that matters is that it \textit{makes sense} to say that it is true or false, regardless of whether it actually \textit{is} true or false---the truth value of many propositions is unknown, even very simple ones. +Assim, as afirmações dadas acima são proposições porque não há forma possível de lhes atribuir um valor de verdade. Observe que, em \Cref{defProposition}, tudo o que importa é que \textit{faz sentido} dizer que é verdadeiro ou falso, independentemente de realmente \textit{ser} verdadeiro ou falso --- o valor de verdade de muitas proposições é desconhecida, mesmo as muito simples. \begin{exercise} -Think of an example of a true proposition, a false proposition, a proposition whose truth value you don't know, and a statement that is not a proposition. +Pense em um exemplo de proposição verdadeira, de proposição falsa, de proposição cujo valor de verdade você não conhece e de uma afirmação que não é uma proposição. + \end{exercise} -Results in mathematical papers and textbooks may be referred to as \textit{propositions}, but they may also be referred to as \textit{theorems}, \textit{lemmas} or \textit{corollaries} depending on their intended usage. -\begin{itemize} -\item A \textbf{proposition} is an umbrella term which can be used for any result. -\item A \textbf{theorem} is a key result which is particularly important. -\item A \textbf{lemma} is a result which is proved for the purposes of being used in the proof of a theorem. -\item A \textbf{corollary} is a result which follows from a theorem without much additional effort. +Os resultados em artigos e livros didáticos de matemática podem ser chamados de \textit{proposições}, mas também podem ser chamados de \textit{teoremas}, \textit{lemas} ou \textit{corolários} dependendo do uso pretendido. +\begin{itemize} +\item Uma \textbf{proposição} é um termo abrangente que pode ser usado para qualquer resultado. +\item Um \textbf{teorema} é um resultado chave que é particularmente importante. +\item Um \textbf{lema} é um resultado que é provado com o propósito de ser usado na prova de um teorema. +\item Um \textbf{corolário} é um resultado que segue de um teorema sem muito esforço adicional. \end{itemize} -These are not precise definitions, and they are not meant to be---you could call every result a \textit{proposition} if you wanted to---but using these words appropriately helps readers work out how to read a paper. For example, if you just want to skim a paper and find its key results, you'd look for results labelled as \textit{theorems}. +Estas não são definições precisas e não pretendem ser --- você poderia chamar cada resultado de \textit{proposição} se quisesse --- mas usar essas palavras apropriadamente ajuda os leitores a descobrir como ler um artigo. Por exemplo, se você quiser apenas folhear um artigo e encontrar seus principais resultados, procure resultados rotulados como \textit{teoremas}. -It is not much good trying to prove results if we don't have anything to prove results about. With this in mind, we will now introduce the \textit{number sets} and prove some results about them in the context of four topics, namely: division of integers, number bases, rational and irrational numbers, and polynomials. These topics will provide context for the material in \Cref{ptCoreConcepts}, and serve as an introduction to the topics covered in \Cref{ptTopics}. +Não adianta muito tentar provar resultados se não temos nada para provar os resultados. Com isso em mente, apresentaremos agora os \textit{conjuntos de números} e provaremos alguns resultados sobre eles no contexto de quatro tópicos, a saber: divisão de inteiros, bases numéricas, números racionais e irracionais e polinômios. Estes tópicos fornecerão contexto para o material em \Cref{ptCoreConcepts}, e servirão como uma introdução aos tópicos abordados em \Cref{ptTopics}. -We will not go into very much depth in this chapter. Rather, think of this as a warm-up exercise---a quick, light introduction, with more proofs to be provided in the rest of the book. -\subsection*{Sets} +Não nos aprofundaremos muito neste capítulo. Em vez disso, pense nisso como um exercício de aquecimento – uma introdução rápida e leve, com mais provas a serem fornecidas no restante do livro. -Fundamental to mathematics is the notion of a \textit{set}. We will study sets in great detail in \Cref{chSets}, but you will find them in every chapter of the textbook, so we will take some time to think about them now. We will not treat sets formally at this stage---for now, the following definition will suffice. +\subsection*{Conjuntos} -\begin{definition}[to be revised in \Cref{defSet}] +Fundamental para a matemática é a noção de \textit{conjunto}. Estudaremos conjuntos detalhadamente em \Cref{chSets}, mas você os encontrará em todos os capítulos do livro, então levaremos algum tempo para pensar sobre eles agora. Não trataremos conjuntos formalmente neste estágio – por enquanto, a definição a seguir será o suficiente. + +\begin{definition}[a ser revisado em \Cref{defSet}] \label{defSetsPreliminary} \lindexmmc{in}{$\in$} -A \textbf{set} is a collection of objects. The objects in the set are called \textbf{elements} of the set. If $X$ is a set and $x$ is an object, then we write $x \in X$ \inlatexnb{x \textbackslash{}in X} to denote the assertion that $x$ is an element of $X$. +Um \textbf{conjunto} é uma coleção de objetos. Os objetos nesse conjunto são chamados \textbf{elementos} do conjunto. Se $X$ é um conjunto e $x$ é um objeto, então escrevemos $x \in X$ \inlatexnb{x \textbackslash{} in X} para denotar a afirmação que $x$ é um elemento de $X$. \end{definition} -The sets of concern to us first and foremost are the \textit{number sets}---that is, sets whose elements are particular types of \textit{number}. At this introductory level, many details will be temporarily swept under the rug; we will work at a level of precision which is appropriate for our current stage, but still allows us to develop a reasonable amount of intuition. - -In order to define the number sets, we will need three things: an infinite line, a fixed point on this line, and a fixed unit of length. +Os conjuntos que nos interessam em primeiro lugar são os \textit{conjuntos de números}---isto é, conjuntos cujos elementos são tipos particulares de \textit{número}. Neste nível introdutório, muitos detalhes serão temporariamente varridos para debaixo do tapete; trabalharemos com um nível de precisão apropriado ao nosso estágio atual, mas que ainda nos permita desenvolver uma quantidade razoável de intuição. -So here we go. Here is an infinite line: +Então aqui vamos nós. Aqui está uma linha infinita: \begin{center} \begin{tikzpicture} \draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; \end{tikzpicture} \end{center} -The arrows indicate that it is supposed to extend in both directions without end. The points on the line will represent numbers (specifically, \textit{real numbers}, a misleading term that will be defined in \Cref{defRealsInformal}). +As setas indicam que se supõe que se estenda em ambas as direções sem fim. Os pontos na linha representarão números (especificamente, \textit{números reais}, um termo enganoso que será definido em \Cref{defRealsInformal}). -Now let's fix a point on this line, and label it `$0$': +Agora vamos fixar um ponto nesta linha e rotulá-lo `$0$': \begin{center} \begin{tikzpicture} -\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; +\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; \draw (0, 0) -- (0, 0.1) node[above] {$0$} ; \end{tikzpicture} \end{center} -This point can be thought of as representing the number zero; it is the point against which all other numbers will be measured. Numbers to the left of $0$ on the number line are said to be \textit{negative}, and those to the right are \textit{positive}; $0$ itself is neither positive nor negative. +Este ponto pode ser considerado como uma representação do número zero; é o ponto contra o qual todos os outros números serão medidos. Os números à esquerda de $0$ na reta numérica são considerados \textit{negativos}, e os à direita são \textit{positivos}; $0$ em si não é positivo nem negativo. -Finally, let's fix a unit of length: +Finalmente, vamos fixar uma unidade de comprimento: \begin{center} \begin{tikzpicture} -\draw (0, 0) -- (1, 0) ; +\draw (0, 0) -- (1, 0) ; \foreach \x in {0,1} \draw (\x, -0.1) -- (\x, 0.1) ; \end{tikzpicture} \end{center} -This unit of length will be used, amongst other things, to compare the extent to which the other numbers differ from zero. - +Esta unidade de comprimento será utilizada, entre outras coisas, para comparar até que ponto os outros números diferem de zero. \begin{definition} \label{defNumberLine} -The above infinite line, together with its fixed zero point and fixed unit length, constitute the (\textbf{real}) \textbf{number line}. +Uma linha infinita acima, junto com seu ponto zero fixo e comprimento unitário fixo, constituem a (\textbf{real})\textbf{linha numérica}. \end{definition} -We will use the number line to construct five sets of numbers of interest to us: the set $\mathbb{N}$ of \textit{natural numbers} (\Cref{defNaturalNumbersInformal}), the set $\mathbb{Z}$ of \textit{integers} (\Cref{defIntegersInformal}), the set $\mathbb{Q}$ of \textit{rational numbers} (\Cref{defRationalsInformal}), the $\mathbb{R}$ of \textit{real numbers} (\Cref{defRealsInformal}), and -the set $\mathbb{C}$ of \textit{complex numbers} (\Cref{defComplexNumbersInformal}). +Usaremos a reta numérica para construir cinco conjuntos de números de nosso interesse: o conjunto $\mathbb{N}$ de \textit{números naturais} (\Cref{defNaturalNumbersInformal}), o conjunto $\mathbb{Z}$ de \textit{inteiros} (\Cref{defIntegersInformal}), o conjunto $\mathbb{Q}$ de \textit{números racionais} (\Cref{defRationalsInformal}), o $\mathbb{R}$ de \textit{ números reais} (\Cref{defRealsInformal}), e + -Each of these sets has a different character and is used for different purposes, as we will seeu later in this chapter and throughout this book. +Cada um desses conjuntos tem um caráter diferente e é usado para propósitos diferentes, como veremos mais adiante neste capítulo e ao longo deste livro. -\subsection*{Natural numbers ($\mathbb{N}$)} +\subsection*{Números Naturais ($\mathbb{N}$)} -The \textit{natural numbers} are the numbers used for counting---they are the answers to questions of the form `how many'---for example, I have \textit{three} uncles, \textit{three} guinea pigs and \textit{zero} cats. +Os \textit{números naturais} são os números usados para contar---são as respostas a questões da forma `quantos'---por exemplo, tenho \textit{três} tios, \textit{três} guinéus porcos e \textit{zero} gatos. -Counting is a skill humans have had for a very long time; we know this because there is evidence of people using tally marks tens of thousands of years ago. Tally marks provide one method of counting small numbers: starting with nothing, proceed through the objects you want to count one by one, and make a mark for every object. When you are finished, there will be as many marks as there are objects. We are taught from a young age to count with our fingers; this is another instance of making tally marks, where now instead of making a mark we raise a finger. +Contar é uma habilidade que os humanos possuem há muito tempo; sabemos disso porque há evidências de pessoas que usaram marcadores há dezenas de milhares de anos. As marcas de contagem fornecem um método de contar números pequenos: começando do zero, prossiga pelos objetos que deseja contar um por um e faça uma marca para cada objeto. Quando terminar, haverá tantas marcas quantos objetos. Somos ensinados desde pequenos a contar com os dedos; este é outro exemplo de fazer marcas de registro, onde agora, em vez de fazer uma marca, levantamos um dedo. -Making a tally mark represents an \textit{increment} in quantity---that is, adding one. On our number line, we can represent an increment in quantity by moving to the right by the unit length. Then the distance from zero we have moved, which is equal to the number of times we moved right by the unit length, is therefore equal to the number of objects being counted. +Fazer uma marca representa um \textit{incremento} na quantidade --- isto é, adicionar um. Na nossa reta numérica, podemos representar um incremento na quantidade movendo para a direita pela unidade de comprimento. Então, a distância do zero que nos movemos, que é igual ao número de vezes que nos movemos para a direita pela unidade de comprimento, é portanto, igual ao número de objetos que estão sendo contados. \begin{definition} \label{defNaturalNumbersInformal} -The \textbf{natural numbers} are represented by the points on the number line which can be obtained by starting at $0$ and moving right by the unit length any number of times: +Os \textbf{números naturais} são representados pelos pontos na reta numérica que podem ser obtidos começando em $0$ e movendo-se para a direita pela unidade de comprimento qualquer número de vezes: \begin{center} \begin{tikzpicture} -\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; +\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; \foreach \x in {0,1,2,3,4,5} \draw (\x, 0) -- (\x, 0.1) node[above] {$\x$} ; \end{tikzpicture} \end{center} -In more familiar terms, they are the \textit{non-negative whole numbers}. We write $\mathbb{N}$ \inlatex{mathbb\{N\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} for the set of all natural numbers; thus, the notation `$n \in \mathbb{N}$' means that $n$ is a natural number. +Em termos mais familiares, eles são \textit{os números inteiros não negativos}. Nós escrevemos $\mathbb{N}$ \inlatex{mathbb\{N\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} para o conjunto de todos os números naturais; assim, a notação `$n \in \mathbb{N}$' significa que $n$ é um número natural. \end{definition} -The natural numbers have very important and interesting mathematical structure, and are central to the material in \Cref{chCombinatorics}. A more precise characterisation of the natural numbers will be provided in \Cref{secPeanosAxioms}, and a mathematical construction of the set of natural numbers can be found in \Cref{secZFC} (see \Cref{cnsNaturalNumbersVonNeumann}). Central to these more precise characterisations will be the notions of `zero' and of `adding one'---just like making tally marks. +Os números naturais possuem uma estrutura matemática muito importante e interessante, e são centrais no material em \Cref{chCombinatorics}. Uma caracterização mais precisa dos números naturais será fornecida em \Cref{secPeanosAxioms}, e uma construção matemática do conjunto de números naturais pode ser encontrada em \Cref{secZFC} (ver \Cref{cnsNaturalNumbersVonNeumann}). No centro destas caracterizações mais precisas estarão as noções de “zero” e de “adicionar um” – tal como fazer marcas de contagem. -\begin{aside} -Some authors define the natural numbers to be the \textit{positive} whole numbers, thus excluding zero. We take $0$ to be a natural number since our main use of the natural numbers will be for counting finite sets, and a set with nothing in it is certainly finite! That said, as with any mathematical definition, the choice about whether $0 \in \mathbb{N}$ or $0 \not \in \mathbb{N}$ is a matter of taste or convenience, and is merely a convention---it is not something that can be proved or refuted. +\begin{aside} % mantenha esse note sem traduzir +Alguns autores definem os números naturais como sendo os números inteiros \textit{positivos}, excluindo assim o zero. Consideramos $0$ um número natural, pois nosso principal uso dos números naturais será para contar conjuntos finitos, e um conjunto sem nada é certamente finito! Dito isto, como acontece com qualquer definição matemática, a escolha sobre se $0 \in \mathbb{N}$ ou $0 \not \in \mathbb{N}$ é uma questão de gosto ou conveniência, e é apenas uma convenção --- não é algo que possa ser provado ou refutado. \end{aside} -\subsection*{Number bases} +\subsection*{Bases Numéricas} -Writing numbers down is something that may seem easy to you now, but it likely took you several years as a child to truly understand what was going on. Historically, there have been many different systems for representing numbers symbolically, called \textit{numeral systems}.\index{numeral system} First came the most primitive of all, tally marks, appearing in the Stone Age and still being used for some purposes today. Thousands of years and hundreds of numeral systems later, there is one dominant numeral system, understood throughout the world: the \textbf{Hindu--Arabic numeral system}.\index{numeral system!Hindu--Arabic} This numeral system consists of ten symbols, called \textit{digits}. It is a \textit{positional} numeral system, meaning that the position of a symbol in a string determines its numerical value. +Escrever números é algo que pode parecer fácil para você agora, mas provavelmente levou vários anos quando criança para realmente entender o que estava acontecendo. Historicamente, existiram muitos sistemas diferentes para representar números simbolicamente, chamados \textit{sistemas numéricos}.\index{sistema numérico} Primeiro veio o mais primitivo de todos, os marcadores de contagem, aparecendo na Idade da Pedra e ainda sendo usados para alguns propósitos hoje. Milhares de anos e centenas de sistemas de numeração depois, existe um sistema de numeração dominante, compreendido em todo o mundo: o \textbf{sistema de numeração hindu-árabe}.\index{sistema de numeração!Hindu--árabe} Este sistema de numeração consiste em dez símbolos, chamados \textit{dígitos}. É um sistema numérico \textit{posicional}, o que significa que a posição de um símbolo em uma cadeia determina seu valor numérico. -In English, the \textit{Arabic numerals} are used as the ten digits: -\[ 0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \] -The right-most digit in a string is in the units place, and the value of each digit increases by a factor of ten moving to the left. For example, when we write `$2812$', the left-most `$2$' represents the number two thousand, whereas the last `$2$' represents the number two. +Em inglês, os \textit{algarismos arábicos} são usados como os dez dígitos: +\[0 \quad 1 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 6 \quad 7 \quad 8 \quad 9 \] +O dígito mais à direita em uma cadeia está na casa das unidades e o valor de cada dígito aumenta por um fator de dez movendo-se para a esquerda. Por exemplo, quando escrevemos `$2812$', o `$2$' mais à esquerda representa o número dois mil, enquanto o último `$2$' representa o número dois. -The fact that there are ten digits, and that the numeral system is based on powers of ten, is a biological accident corresponding with the fact that most humans have ten fingers. For many purposes, this is inconvenient. For example, ten does not have many positive divisors (only four: $1$, $2$, $5$ and $10$)---this has implications for the ease of performing arithmetic; a system based on the number twelve, which has six positive divisors ($1$, $2$, $3$, $4$, $6$ and $12$), might be more convenient. Another example is in computing and digital electronics, where it is more convenient to work in a \textit{binary} system, with just two digits---$0$ and $1$---which represent `off' and `on' (or `low voltage' and `high voltage'), respectively; arithmetic can then be performed directly using sequences of \textit{logic gates} in an electrical circuit. +O fato de existirem dez dígitos e de o sistema numérico ser baseado em potências de dez é um acidente biológico que corresponde ao fato de a maioria dos humanos ter dez dedos. Para muitos propósitos, isso é inconveniente. Por exemplo, dez não tem muitos divisores positivos (apenas quatro: $1$, $2$, $5$ e $10$) --- isto tem implicações para a facilidade de realizar aritmética; um sistema baseado no número doze, que possui seis divisores positivos ($1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$), pode ser mais conveniente. Outro exemplo é na computação e na eletrônica digital, onde é mais conveniente trabalhar em um sistema \textit{binário}, com apenas dois dígitos ---$0$ e $1$---que representam `off' e `on' ( ou «baixa tensão» e «alta tensão»), respetivamente; a aritmética pode então ser realizada diretamente usando sequências de \textit{portas lógicas} em um circuito elétrico. -It is therefore worthwhile to have some understanding of positional numeral systems based on numbers other than ten. The mathematical abstraction we make leads to the definition of \textit{base-$b$ expansion}. +Portanto, vale a pena ter alguma compreensão dos sistemas numéricos posicionais baseados em números diferentes de dez. A abstração matemática que fazemos leva à definição de \textit{expansão base-$b$}. \begin{definition} \label{defBaseBExpansionPreliminary} \index{base-$b$ expansion} \index{number base} -Let $b$ be a natural number greater than $1$. The \textbf{base-$b$ expansion} of a natural number $n$ is the\footnote{The use of the word `the' is troublesome here, since it assumes that every natural number has only one base-$b$ expansion. This fact actually requires proof---see \Cref{thmBaseBExpansion}.} string $d_r d_{r-1} \dots d_0$ such that: +Seja $b$ um número natural maior que $1$. A \textbf{base-$b$ expansão} de um número natural $n$ é a\footnote{Essa frase é problemática, pois assume que todo número natural tem apenas uma base-$b$ expansão. Na verdade, esse fato requer prova --- veja \Cref{thmBaseBExpansion}.} cadeia $d_r d_{r-1} \dots d_0$ tal que: + \begin{enumerate}[(i)] \item $n = d_r \cdot b^r + d_{r-1} \cdot b^{r-1} + \cdots + d_0 \cdot b^0$; -\item $0 \le d_i < b$ for each $i$; and -\item If $n>0$ then $d_r \ne 0$---the base-$b$ expansion of zero is $0$ in all bases $b$. +\item $0 \le d_i < b$ para cada $i$; e +\item If $n>0$ então $d_r \ne 0$---a base de expansão-$b$ de zero é $0$ em todas as bases $b$. \end{enumerate} -Certain number bases have names; for instance, the base-$2$, $3$, $8$, $10$ and $16$ expansions are respectively called \textit{binary}, \textit{ternary}, \textit{octal}, \textit{decimal} and \textit{hexadecimal}. +Certas bases numéricas têm nomes; por exemplo, as expansões base $2$, $3$, $8$, $10$ e $16$ são chamadas respectivamente de \textit{binário}, \textit{ternário}, \textit{octal}, \textit{decimal} e \textit {hexadecimal}. \end{definition} -Before we look at an example of \Cref{defBaseBExpansionPreliminary} in action, let's examine the definition, which is a little terse on first sight. +Antes de olharmos um exemplo de \Cref{defBaseBExpansionPreliminary} em ação, vamos examinar a definição, que é um pouco concisa à primeira vista. \begin{itemize} -\item Condition (i) tells us that the digits in the string tell us how many of each power of $b$ are added up to obtain $n$. For example, when $b=10$, the digits from right to left tell us the units, tens, hundreds, thousands, and so on. -\item Condition (ii) tells us that the digits in a base-$b$ expansion must be less than $b$---for example, the base-$4$ digits are $0$, $1$, $2$ and $3$. If we allowed more digits then silly things would happen---for example, if `$\mathrm{X}$' were a new base-$10$ digit representing the number ten, then `$\mathrm{X}2$' and `$102$' would be different strings both representing the number one hundred and two. -\item Condition (iii) ensures that the string representing a positive number doesn't have any leading `$0$'s---otherwise, for example, `$01423$' and `$1423$' would be different strings representing the same natural number. +\item Condição (i) nos diz que os dígitos na cadeia nos dizem quantos de cada potência de $b$ são somados para obter $n$. Por exemplo, quando $b=10$, os dígitos da direita para a esquerda indicam as unidades, dezenas, centenas, milhares e assim por diante. +\item Condição (ii) nos diz que os dígitos em uma expansão de base $b$ devem ser menores que $b$ --- por exemplo, os dígitos de base $4$ são $0$, $1$, $2$ e $3$. Se permitíssemos mais dígitos, então coisas bobas aconteceriam --- por exemplo, se `$\mathrm{X}$' fosse um novo dígito de base $10$ representando o número dez, então `$\mathrm{X}2$' e `$102$' seriam cadeias diferentes, ambas representando o número cento e dois. +\item Condição (iii) garante que a cadeia que representa um número positivo não tenha nenhum `$0$' inicial --- caso contrário, por exemplo, `$01423$' e `$1423$' seriam cadeias diferentes representando o mesmo número natural. \end{itemize} \begin{example} -Consider the number $1023$. Its decimal (base-$10$) expansion is $1023$, since +Considere o número $1023$. Sua expansão decimal (base-$10$) é $1023$, já que \[ 1023 = 1 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 \] -Its binary (base-$2$) expansion is $1111111111$, since -\[ 1023 = 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \] -We can express numbers in base-$36$ by using the ten usual digits $0$ through $9$ and the twenty-six letters $\mathrm{A}$ through $\mathrm{Z}$; for instance, $\mathrm{A}$ represents $10$, $\mathrm{M}$ represents $22$ and $\mathrm{Z}$ represents $35$. The base-$36$ expansion of $1023$ is $\mathrm{SF}$, since +Sua expansão binária (base-$2$) é $1111111111$, já que\[ 1023 = 1 \cdot 2^9 + 1 \cdot 2^8 + 1 \cdot 2^7 + 1 \cdot 2^6 + 1 \cdot 2^5 + 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 \] + +Podemos expressar números na base $36$ usando os dez dígitos usuais de $0$ a $9$ e as vinte e seis letras de $\mathrm{A}$ a $\mathrm{Z}$; por exemplo, $\mathrm{A}$ representa $10$, $\mathrm{M}$ representa $22$ e $\mathrm{Z}$ representa $35$. A expansão de base $36$ de $1023$ é $\mathrm{SF}$, já que: \[ 1023 = 28 \cdot 36^1 + 15 \cdot 36^0 = \mathrm{S} \cdot 36^1 + \mathrm{F} \cdot 36^0 \] \end{example} \begin{exercise} -Find the binary, ternary, octal, decimal, hexadecimal and base-$36$ expansions of the number $21127$, using the letters $\mathrm{A}$--$\mathrm{F}$ as additional digits for the hexadecimal expansion (representing the numbers $10$--$15$, respectively), and the letters $\mathrm{A}$--$\mathrm{Z}$ as additional digits for the base-$36$ expansion. +Encontre as expansões binária, ternária, octal, decimal, hexadecimal e de base $36$ do número $21127$, usando as letras $\mathrm{A}$--$\mathrm{F}$ como dígitos adicionais para a expansão hexadecimal ( representando os números $10$--$15$, respectivamente) e as letras $\mathrm{A}$--$\mathrm{Z}$ como dígitos adicionais para a expansão da base $36$. \end{exercise} -We sometimes wish to specify a natural number in terms of its base-$b$ expansion; we have some notation for this. +Às vezes desejamos especificar um número natural em termos de sua expansão de base $b$; temos alguma notação para isso. \begin{notation} -Let $b>1$. If the numbers $d_0,d_1,\dots,d_r$ are base-$b$ digits (in the sense of \Cref{defBaseBExpansionPreliminary}), then we write +Seja $b>1$. Se os números $d_0,d_1,\dots,d_r$ são dígitos base-$b$ (no sentido de \Cref{defBaseBExpansionPreliminary}), então nós escrevemos: \[ {d_rd_{r-1} \dots d_0}_{(b)} = d_r \cdot b^r + d_{r-1} \cdot b^{r-1} + \cdots + d_0 \cdot b^0 \] -for the natural number whose base-$b$ expansion is $d_rd_{r-1} \dots d_0$. If there is no subscript $(b)$ and a base is not specified explicitly, the expansion will be assumed to be in base-$10$. +para o número natural cuja expansão de base $b$ é $d_rd_{r-1} \dots d_0$. Se não houver subscrito $(b)$ e uma base não for especificada explicitamente, a expansão será assumida como base-$10$. \end{notation} \begin{example} -Using our new notation, we have +Usando nossa nova notação,nós temos: \[ 1023 = 1111111111_{(2)} = 1101220_{(3)} = 1777_{(8)} = 1023_{(10)} = 3\mathrm{FF}_{(16)} = \mathrm{SF}_{(36)} \] \end{example} -\subsection*{Integers ($\mathbb{Z}$)} +\subsection*{Inteiros ($\mathbb{Z}$)} -The \textit{integers} can be used for measuring the difference between two natural numbers. For example, suppose I have five apples and five bananas. Another person, also holding apples and bananas, wishes to trade. After our exchange, I have seven apples and only one banana. Thus I have two more apples and four fewer bananas. + \textit{inteiros} podem ser usados para medir a diferença entre dois números naturais. Por exemplo, suponha que eu tenha cinco maçãs e cinco bananas. Outra pessoa, também segurando maçãs e bananas, deseja negociar. Após a nossa troca, tenho sete maçãs e apenas uma banana. Assim, tenho mais duas maçãs e quatro bananas a menos. -Since an increment in quantity can be represented by moving to the right on the number line by the unit length, a \textit{decrement} in quantity can therefore be represented by moving to the \textit{left} by the unit length. Doing so gives rise to the integers. +Como um incremento na quantidade pode ser representado movendo-se para a direita na reta numérica pela unidade de comprimento, um \textit{decremento} na quantidade pode, portanto, ser representado movendo-se para a \textit{esquerda} pela unidade de comprimento. Fazer isso dá origem aos inteiros. \begin{definition} \label{defIntegersInformal} -The \textbf{integers} are represented by the points on the number line which can be obtained by starting at $0$ and moving in either direction by the unit length any number of times: +Os \textbf{inteiros} são representados pelos pontos na reta numérica que podem ser obtidos começando em $0$ e movendo-se em qualquer direção pela unidade de comprimento qualquer número de vezes: + \begin{center} \begin{tikzpicture} -\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; +\draw[latex-latex] (-5.5, 0) -- (5.5, 0) ; \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} \draw (\x, 0) -- (\x, 0.1) node[above] {$\x$} ; \end{tikzpicture} \end{center} -We write $\mathbb{Z}$ \inlatex{mathbb\{Z\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} for the set of all integers; thus, the notation `$n \in \mathbb{Z}$' means that $n$ is an integer. +Nós escrevemos $\mathbb{Z}$ \inlatex{mathbb\{Z\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} para o conjunto de todos os inteiros; portanto,a notação `$n \in \mathbb{Z}$' significa que $n$ é um inteiro. \end{definition} -The integers have such a fascinating structure that a whole chapter of this book is devoted to them---see \Cref{chNumberTheory}. This is to do with the fact that, although you can add, subtract and multiply two integers and obtain another integer, the same is not true of division. This `bad behaviour' of division is what makes the integers interesting. We will now see some basic results about division. +Os inteiros têm uma estrutura tão fascinante que um capítulo inteiro deste livro é dedicado a eles --- veja \Cref{chNumberTheory}. Isso tem a ver com o fato de que, embora seja possível somar, subtrair e multiplicar dois números inteiros e obter outro número inteiro, o mesmo não acontece com a divisão. Este “mau comportamento” da divisão é o que torna os números inteiros interessantes. Veremos agora alguns resultados básicos sobre divisão. + -\subsection*{Division of integers} +\subsection*{Divisão de Inteiros} \label{pGettingStartedDivision} -The motivation we will soon give for the definition of the rational numbers (\Cref{defRationalsInformal}) is that the result of dividing one integer by another integer is not necessarily another integer. However, the result is \textit{sometimes} another integer; for example, I can divide six apples between three people, and each person will receive an integral number of apples. This makes division interesting: how can we measure the failure of one integer's divisibility by another? How can we deduce when one integer is divisible by another? What is the structure of the set of integers when viewed through the lens of division? This motivates \Cref{defDivisionPreliminary}. +A motivação que daremos em breve para a definição dos números racionais (\Cref{defRationalsInformal}) é que o resultado da divisão de um inteiro por outro inteiro não é necessariamente outro inteiro. Contudo, o resultado é \textit{às vezes} outro número inteiro; por exemplo, posso dividir seis maçãs entre três pessoas e cada pessoa receberá um número inteiro de maçãs. Isto torna a divisão interessante: como podemos medir o fracasso da divisibilidade de um número inteiro por outro? Como podemos deduzir quando um número inteiro é divisível por outro? Qual é a estrutura do conjunto de inteiros quando visto pelas lentes da divisão? Isso motiva \Cref{defDivisionPreliminary}. -\begin{definition}[to be repeated in \Cref{defDivision}] +\begin{definition}[Para ser repetido in \Cref{defDivision}] \label{defDivisionPreliminary} -\index{division} +\index{divisão} \index{divisor} -\index{factor} -\index{multiple} -Let $a,b \in \mathbb{Z}$. We say $b$ \textbf{divides} $a$ if $a=qb$ for some integer $q$. There are many other ways of saying that $b$ divides $a$, such as: $a$ is \textit{divisible by} $b$, $b$ is a \textit{divisor} of $a$, $b$ is a \textit{factor} of $a$, or $a$ is a \textit{multiple} of $b$. +\index{fator} +\index{múltiplo} +Seja $a,b \in \mathbb{Z}$. Dizemos $b$ \textbf{divide} $a$ se $a=qb$ para algum inteiro $q$. Existem muitas outras maneiras de dizer que $b$ divide $a$, como: $a$ é \textit{divisível por} $b$, $b$ é um \textit{divisor} de $a$, $b $ é um \textit{fator} de $a$, ou $a$ é um \textit{múltiplo} de $b$. \end{definition} -Note that, perhaps counterintuitively, the definition if divisibility does not involve the arithmetic operation of division: it is defined in terms of multiplication. +Observe que, talvez de forma contraintuitiva, a definição de divisibilidade não envolve a operação aritmética de divisão: ela é definida em termos de multiplicação. \begin{example} -The integer $12$ is divisible by $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ and $12$, since +O inteiro $12$ é divisível por $1$, $2$, $3$, $4$, $6$ e $12$, desde que \[ 12 = 12 \cdot 1 = 6 \cdot 2 = 4 \cdot 3 = 3 \cdot 4 = 2 \cdot 6 = 1 \cdot 12 \] -It is also divisible by the negatives of all of those numbers; for example, $12$ is divisible by $-3$ since $12 = (-4) \cdot (-3)$. +Também é divisível pelos negativos de todos esses números; por exemplo, $12$ é divisível por $-3$ desde que $12 = (-4) \cdot (-3)$. \end{example} \begin{exercise} \label{exOneDividesEveryIntegerDividesZero} -Prove that $1$ divides every integer, and that every integer divides $0$. +Prove que $1$ divide todo número inteiro e que todo número inteiro divide $0$. \end{exercise} -A consequence of \Cref{exOneDividesEveryIntegerDividesZero} is that $0$ is divisible by $0$. This is surprising: we've been told our whole lives that we can't divide by zero, but now we discover that we can divide zero by zero\dots{} how can that be? This highlights why it was so important for the definition of divisibility (\Cref{defDivisionPreliminary}) to be given in terms of multiplication, without using the division operation: saying that $0$ divides $0$ simply means that $0$ can be multiplied by an integer to obtain $0$ (which is true)---but this does not imply that the expression `$\frac{0}{0}$' can (or should) be meaningfully defined. +Uma consequência de \Cref{exOneDividesEveryIntegerDividesZero} é que $0$ é divisível por $0$. Isto é surpreendente: durante toda a nossa vida ouvimos que não podemos dividir por zero, mas agora descobrimos que podemos dividir zero por zero\dots{} como pode ser isso? Isso destaca por que era tão importante que a definição de divisibilidade (\Cref{defDivisionPreliminary}) fosse dada em termos de multiplicação, sem usar a operação de divisão: dizer que $0$ divide $0$ significa simplesmente que $0$ pode ser multiplicado por um inteiro para obter $0$ (o que é verdade)---mas isso não implica que a expressão `$\frac{0}{0}$' possa (ou deva) ser definida de forma significativa. + +usando \Cref{defDivisionPreliminary}, podemos provar alguns fatos básicos gerais sobre a divisibilidade. -Using \Cref{defDivisionPreliminary}, we can prove some general basic facts about divisibility. \begin{proposition} \label{propDivisibilityIsTransitive} -Let $a,b,c \in \mathbb{Z}$. If $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$, then $c$ divides $a$. +Seja $a,b,c \in \mathbb{Z}$. Se $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$, então $c$ divide $a$. \end{proposition} \begin{cproof} -Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$. By \Cref{defDivisionPreliminary}, it follows that -\[ b=qc \quad \text{and} \quad a=rb \] -for some integers $q$ and $r$. Using the first equation, we may substitute $qc$ for $b$ in the second equation, to obtain + + +Suponha que $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$. Por \Cref{defDivisionPreliminary}, segue que +\[ b=qc \quad \text{e} \quad a=rb \] +para alguns inteiros $q$ e $r$. Usando a primeira equação, podemos substituir $qc$ por $b$ na segunda equação, para obter \[ a=r(qc) \] -But $r(qc) = (rq)c$, and $rq$ is an integer, so it follows from \Cref{defDivisionPreliminary} that $c$ divides $a$. +Mas $r(qc) = (rq)c$, e $rq$ é um número inteiro, então segue de \Cref{defDivisionPreliminary} que $c$ divide $a$. \end{cproof} % To do: draw attention to the wording of the proof, and the 'unpack definition - do something - apply definition' style of the proof. \begin{exercise} \label{exDivisibilityIsLinear} -Let $a,b,d \in \mathbb{Z}$. Suppose that $d$ divides $a$ and $d$ divides $b$. Given integers $u$ and $v$, prove that $d$ divides $au+bv$. +Sejam $a,b,d \in \mathbb{Z}$. Suponha que $d$ divide $a$ e $d$ divide $b$. Dados inteiros $u$ e $v$, prove que $d$ divide $au+bv$. \end{exercise} -Some familiar concepts, such as evenness and oddness, can be characterised in terms of divisibility. +Alguns conceitos familiares, como par e impar, podem ser caracterizados em termos de divisibilidade. \begin{definition} \label{defEvenOdd} -\index{even!integer} -\index{odd!integer} -An integer $n$ is \textbf{even} if it is divisible by $2$; otherwise, $n$ is \textbf{odd}. +\index{Inteiro!par} +\index{Inteiro!´impar} +Um inteiro $n$ é \textbf{par} se é divisível por $2$; de outra forma, $n$ é \textbf{impar}. \end{definition} +Não é apenas interessante saber quando um inteiro \textit{divide} outro; entretanto, provar que um inteiro \textit{não} divide outro é muito mais difícil. Na verdade, para provar que um inteiro $b$ não divide um inteiro $a$, devemos provar que $a \ne qb$ para \textit{qualquer} inteiro $q$. Veremos métodos para fazer isso em \Cref{chLogicalStructure}; esses métodos usam o seguinte resultado extremamente importante, que será a base de todo o \Cref{chNumberTheory}. -It is not just interesting to know when one integer \textit{does} divide another; however, proving that one integer \textit{doesn't} divide another is much harder. Indeed, to prove that an integer $b$ does not divide an integer $a$, we must prove that $a \ne qb$ for \textit{any} integer $q$ at all. We will look at methods for doing this in \Cref{chLogicalStructure}; these methods use the following extremely important result, which will underlie all of \Cref{chNumberTheory}. - -\begin{theorem}[Division theorem, to be repeated in \Cref{thmDivisionTheorem}] +\begin{theorem}[Teorema da divisão, para ser repetido in \Cref{thmDivisionTheorem}] \label{thmDivisionPreliminary} -\index{division theorem} -Let $a,b \in \mathbb{Z}$ with $b \ne 0$. There is exactly one way to write +\index{teorema da divisão} +Seja $a,b \in \mathbb{Z}$ com $b \ne 0$. Existe exatamente uma maneira de escrever \[ a = qb + r \] -such that $q$ and $r$ are integers, and $0 \le r < b$ (if $b > 0$) or $0 \le r < -b$ (if $b < 0$). +de tal modo que $q$ e $r$ são inteiros, e $0 \le r < b$ (se $b > 0$) ou $0 \le r < -b$ (se $b < 0$). \end{theorem} -The number $q$ in \Cref{thmDivisionPreliminary} is called the \textbf{quotient}\index{quotient} of $a$ when divided by $b$, and the number $r$ is called the \textbf{remainder}\index{remainder}. +O número $q$ em \Cref{thmDivisionPreliminary} é chamado o \textbf{quociente}\index{quociente} de $a$ quando dividido por $b$, e o número $r$ é chamado o \textbf{restante}\index{restante}. \begin{example} -The number $12$ leaves a remainder of $2$ when divided by $5$, since $12 = 2 \cdot 5 + 2$. +O número $12$ deixa um restante de $2$ quando dividido por $5$, desde que $12 = 2 \cdot 5 + 2$. \end{example} -Here's a slightly more involved example. +Aqui está um exemplo um pouco mais complicado. \begin{proposition} -Suppose an integer $a$ leaves a remainder of $r$ when divided by an integer $b$, and that $r>0$. Then $-a$ leaves a remainder of $b-r$ when divided by $b$. +Suponha um número inteiro $a$ deixa um resto de $r$ quando dividido por um número inteiro $b$, e que $r>0$. Então $-a$ deixa um resto de $b-r$ quando dividido por $b$. \end{proposition} \begin{cproof} -Suppose $a$ leaves a remainder of $r$ when divided by $b$. Then +Suponha que $a$ deixa um resto de $r$ quando dividido por $b$. Então \[ a=qb+r \] -for some integer $q$. A bit of algebra yields +Para algum número inteiro $q$. Um pouco de álgebra nos dá \[ -a = -qb-r = -qb-r+(b-b) = -(q+1)b + (b-r) \] -Since $0$ and $\ge$ \inlatex{ge}\lindexmmc{ge}{$\ge$} apply, for instance `$a \le b$' means that either $a < b$ or $a = b$. - -\item \textbf{Addition.} Suppose we want to add a real number $a$ to a real number $b$. To do this, we \textit{translate} $a$ by $b$ units to the right---if $b<0$ then this amounts to translating $a$ by an equivalent number of units to the left. Concretely, take two copies of the number line, one above the other, with the same choice of unit length; move the $0$ of the lower number line beneath the point $a$ of the upper number line. Then $a+b$ is the point on the upper number line lying above the point $b$ of the lower number line. +\item \textbf{Ordenando.} Um número real $a$ é menor que um número real $b$, escrito $a$ e $\ge$ \inlatex{ge}\lindexmmc{ge}{$\ge$ } se aplicam, por exemplo `$a \le b$' significa que $a < b$ ou $a = b$. -Here is an illustration of the fact that $(-3) + 5 = 2$: +\item \textbf{Adição.} Suponha que queiramos adicionar um número real $a$ a um número real $b$. Para fazer isso, \textit{traduzimos} $a$ em $b$ unidades para a direita --- se $b<0$ então isso equivale a traduzir $a$ em um número equivalente de unidades para a esquerda. Concretamente, faça duas cópias da reta numérica, uma acima da outra, com a mesma escolha de comprimento unitário; mova o $0$ da reta numérica inferior abaixo do ponto $a$ da reta numérica superior. Então $a+b$ é o ponto na reta numérica superior situado acima do ponto $b$ da reta numérica inferior. + $(-3) + 5 = 2$: \begin{center} \fitwidthc{0.9}{\begin{tikzpicture} % Adapted from http://tex.stackexchange.com/questions/148252/ -\draw[latex-latex] (-8.5,0) -- (5.5,0) ; +\draw[latex-latex] (-8.5,0) -- (5.5,0) ; \foreach \x in {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} \draw[shift={(\x,0)}] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} @@ -382,7 +383,7 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \draw[*-*] (-3.08,0) -- (2.08,0); \draw[very thick] (-3,0) -- (2,0); -\draw[latex-latex] (-8.5,-1) -- (5.5,-1) ; +\draw[latex-latex] (-8.5,-1) -- (5.5,-1) ; \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} \draw[shift={(\x-3,-1)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} @@ -392,14 +393,13 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \end{tikzpicture}} \end{center} -\item \textbf{Multiplication.} This one is fun. Suppose we want to multiply a real number $a$ by a real number $b$. To do this, we \textit{scale} the number line, and perhaps \textit{reflect} it. Concretely, take two copies of the number line, one above the other; align the $0$ points on both number lines, and stretch the lower number line evenly until the point $1$ on the lower number line is below the point $a$ on the upper number line---note that if $a<0$ then the number line must be reflected in order for this to happen. Then $a \cdot b$ is the point on the upper number line lying above $b$ on the lower number line. - -Here is an illustration of the fact that $5 \cdot 4 = 20$. +\item \textbf{Multiplicação.} Este é divertido. Suponha que queiramos multiplicar um número real $a$ por um número real $b$. Para fazer isso, \textit{escala} a reta numérica e talvez a \textit{reflete}. Concretamente, faça duas cópias da reta numérica, uma acima da outra; alinhe os pontos $0$ em ambas as retas numéricas e estique a reta numérica inferior uniformemente até que o ponto $1$ na reta numérica inferior esteja abaixo do ponto $a$ na reta numérica superior --- observe que se $a<0$ então a reta numérica deve ser refletida para que isso aconteça. Então $a \cdot b$ é o ponto na reta numérica superior situado acima de $b$ na reta numérica inferior. + $5 \cdot 4 = 20$. \begin{center} \fitwidthc{0.9}{\begin{tikzpicture} % Adapted from http://tex.stackexchange.com/questions/148252/ -\draw[latex-latex] (-5.5,0) -- (8.5,0) ; +\draw[latex-latex] (-5.5,0) -- (8.5,0) ; \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24} \draw[shift={(0.5*\x-4,0)}] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24} @@ -407,7 +407,7 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \draw[*-*] (-1.58,0) -- (6.08,0); \draw[very thick] (-1.5,0) -- (6,0); -\draw[latex-latex] (-5.5,-1) -- (8.5,-1) ; +\draw[latex-latex] (-5.5,-1) -- (8.5,-1) ; \foreach \x in {0,1,2,3,4} \draw[shift={(2.5*\x-4,-1)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {0,1,2,3,4} @@ -418,11 +418,11 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \end{tikzpicture}} \end{center} -and here is an illustration of the fact that $(-5) \cdot 4 = -20$: +e aqui está uma ilustração do fato de que $(-5) \cdot 4 = -20$: \begin{center} \fitwidthc{0.9}{\begin{tikzpicture} % Adapted from http://tex.stackexchange.com/questions/148252/ -\draw[latex-latex] (-5.5,0) -- (8.5,0) ; +\draw[latex-latex] (-5.5,0) -- (8.5,0) ; \foreach \x in {-22,-21,...,4} \draw[shift={(0.5*\x+6,0)}] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {-22,-21,...,4} @@ -430,7 +430,7 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \draw[*-*] (-4.08,0) -- (3.58,0); \draw[very thick] (-4,0) -- (3.5,0); -\draw[latex-latex] (-5.5,-1) -- (8.5,-1) ; +\draw[latex-latex] (-5.5,-1) -- (8.5,-1) ; \foreach \x in {0,1,2,3,4} \draw[shift={(6-2.5*\x,-1)},color=black] (0pt,3pt) -- (0pt,-3pt); \foreach \x in {0,1,2,3,4} @@ -443,59 +443,57 @@ \subsection*{Real numbers ($\mathbb{R}$)} \end{itemize} \begin{exercise} -Interpret the operations of subtraction and division as geometric transformations of the real number line. -\end{exercise} +Interprete as operações de subtração e divisão como transformações geométricas da reta numérica real.\end{exercise} -We will take for granted the arithmetic properties of the real numbers in this chapter, waiting until \Cref{secInequalitiesMeans} to sink our teeth into the details. For example, we will take for granted the basic properties of rational numbers, for instance +Tomaremos como certas as propriedades aritméticas dos números reais neste capítulo, esperando até \Cref{secInequalitiesMeans} para nos aprofundamos nos detalhes. Por exemplo, tomaremos como certas as propriedades básicas dos números racionais, por exemplo \[ \frac{a}{b}+\frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd} \quad \text{and} \quad \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \] -\subsection*{Rational and irrational numbers} +\subsection*{Números Racionais e Irracionais} \label{pGettingStartedRationalNumbers} -Before we can talk about irrational numbers, we should say what they are. +Antes de podermos falar sobre números irracionais, devemos dizer o que são. \begin{definition} \label{defIrrationalNumber} -\index{irrational number} -An \textbf{irrational number} is a real number that is not rational. +\index{numéro irracional} +Um \textbf{Número irracional} é um número que não é racional. \end{definition} -Unlike $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$, there is no standard single letter expressing the irrational numbers. However, by the end of \Cref{secSetOperations}, we will be able to write the set of irrational numbers as `$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$'. +Ao contrário de $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$, não existe uma única letra padrão que expresse os números irracionais. No entanto, até ao final de \Cref{secSetOperations}, seremos capazes de escrever o conjunto de números irracionais como `$\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$'. -Proving that a real number is \textit{irrational} is not particularly easy, in general. We will get our foot in the door by allowing ourselves to assume the following result, which is restated and proved in \Cref{propSqrt2Irrational}. +Provar que um número real é \textit{irracional} não é particularmente fácil, em geral. Por hora vamos assumir o seguinte resultado, que é reafirmado e provado em \Cref{propSqrt2Irrational}. \begin{proposition} \label{propSqrt2IrrationalPreliminary} -The real number $\sqrt{2}$ is irrational. \qed +O número real $\sqrt{2}$ é irracional. \qed \end{proposition} % To do: include proof, note that we will prove that fractions can be cancelled to lowest terms later. -We can use the fact that $\sqrt{2}$ is irrational to prove some facts about the relationship between rational numbers and irrational numbers. +Podemos usar o fato de que $\sqrt{2}$ é irracional para provar alguns fatos sobre a relação entre números racionais e números irracionais. \begin{proposition} -Let $a$ and $b$ be irrational numbers. It is possible that $ab$ be rational. +Sejam $a$ e $b$ números irracionais. É possível que $ab$ seja racional. \end{proposition} \begin{cproof} -Let $a=b=\sqrt{2}$. Then $a$ and $b$ are irrational, and $ab=2=\frac{2}{1}$, which is rational. +Seja $a=b=\sqrt{2}$. Então $a$ e $b$ são irracionais,e $ab=2=\frac{2}{1}$, o que é racional. \end{cproof} \begin{exercise} -Let $r$ be a rational number and let $a$ be an irrational number. Prove that it is possible that $ra$ be rational, and it is possible that $ra$ be irrational. -\end{exercise} +Seja $r$ um número racional e $a$ um número irracional. Prove que é possível que $ra$ seja racional, e é possível que $ra$ seja irracional.\end{exercise} % To do: set-builder notation and intervals -\subsection*{Complex numbers ($\mathbb{C}$)} +\subsection*{Números Complexos ($\mathbb{C}$)} -We have seen that multiplication by real numbers corresponds with scaling and reflection of the number line---scaling alone when the multiplicand is positive, and scaling with reflection when it is negative. We could alternatively interpret this reflection as a \textit{rotation} by half a turn, since the effect on the number line is the same. You might then wonder what happens if we rotate by arbitrary angles, rather than only half turns. +Vimos que a multiplicação por números reais corresponde ao escalonamento e reflexão da reta numérica – escalonamento sozinho quando o multiplicando é positivo, e escalonamento com reflexão quando é negativo. Poderíamos alternativamente interpretar esta reflexão como uma \textit{rotação} de meia volta, uma vez que o efeito na reta numérica é o mesmo. Você pode então se perguntar o que acontece se girarmos em ângulos arbitrários, em vez de apenas meias voltas. -What we end up with is a \textit{plane} of numbers, not merely a line---see \Cref{figComplexNumbers}. Moreover, it happens that the rules that we expect arithmetic operations to satisfy still hold---addition corresponds with translation, and multiplication corresponds with scaling and rotation. This resulting number set is that of the \textit{complex numbers}. +O que obtemos é um \textit{plano} de números, não apenas uma linha --- veja \Cref{figComplexNumbers}. Além disso, acontece que as regras que esperamos que as operações aritméticas satisfaçam ainda são válidas – a adição corresponde à translação e a multiplicação corresponde à escala e à rotação. Este conjunto de números resultante é o dos \textit{números complexos}. \begin{definition} \label{defComplexNumbersInformal} -The \textbf{complex numbers} are those obtained by the non-negative real numbers upon rotation by any angle about the point $0$. We write $\mathbb{C}$ \inlatex{mathbb\{C\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} for the set of all complex numbers; thus, the notation `$z \in \mathbb{C}$' means that $z$ is a complex number. +Os \textbf{números complexos} são aqueles obtidos pelos números reais não negativos após rotação de qualquer ângulo em torno do ponto $0$. Escrevemos $\mathbb{C}$ \inlatex{mathbb\{C\}}\lindexmmc{mathbb}{$\mathbb{A}, \mathbb{B}, \dots$} para o conjunto de todos os números complexos; portanto, a notação `$z \in \mathbb{C}$' significa que $z$ é um número complexo. \end{definition} \begin{figure}[p!] @@ -531,92 +529,92 @@ \subsection*{Complex numbers ($\mathbb{C}$)} \draw (-3pt,-1) -- (3pt,-1); \end{tikzpicture} } -\caption{Illustration of the complex plane, with some points labelled.} +\caption{Ilustração do plano complexo, com alguns pontos rotulados.} \label{figComplexNumbers} \end{figure} -There is a particularly important complex number, $i$, which is the point in the complex plane exactly one unit above $0$---this is illustrated in \Cref{figComplexNumbers}. Multiplication by $i$ has the effect of rotating the plane by a quarter turn anticlockwise. In particular, we have $i^2 = i \cdot i = -1$; the complex numbers have the astonishing property that square roots of \textit{all} complex numbers exist (including all the real numbers). +Existe um número complexo particularmente importante, $i$, que é o ponto no plano complexo exatamente uma unidade acima de $0$ --- isso é ilustrado em \Cref{figComplexNumbers}. A multiplicação por $i$ tem o efeito de girar o plano um quarto de volta no sentido anti-horário. Em particular, temos $i^2 = i \cdot i = -1$; os números complexos têm a surpreendente propriedade de que existem raízes quadradas de \textit{todos} os números complexos (incluindo todos os números reais). -In fact, every complex number can be written in the form $a+bi$, where $a,b \in \mathbb{R}$; this number corresponds with the point on the complex plane obtained by moving $a$ units to the right and $b$ units up, reversing directions as usual if $a$ or $b$ is negative. Arithmetic on the complex numbers works just as with the real numbers; in particular, using the fact that $i^2=-1$, we obtain +Na verdade, todo número complexo pode ser escrito na forma $a+bi$, onde $a,b \in \mathbb{R}$; este número corresponde ao ponto no plano complexo obtido movendo $a$ unidades para a direita e $b$ unidades para cima, invertendo as direções como de costume se $a$ ou $b$ for negativo. A aritmética nos números complexos funciona da mesma forma que nos números reais; em particular, usando o fato de que $i^2=-1$, obtemos \[ (a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i \quad \text{and} \quad (a+bi) \cdot (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i \] -We will discuss complex numbers further in the portion of this chapter on polynomials below. +Discutiremos números complexos mais detalhadamente na parte deste capítulo sobre polinômios abaixo. -\subsection*{Polynomials} +\subsection*{Polinômios} \label{pGettingStartedPolynomials} -The natural numbers, integers, rational numbers, real numbers and complex numbers are all examples of \textit{semirings}, which means that they come equipped with nicely behaving notions of addition and multiplication. +Os números naturais, inteiros, números racionais, números reais e números complexos são todos exemplos de \textit{semirings}, o que significa que eles vêm equipados com noções de adição e multiplicação bem comportadas. \begin{definition} \label{defPolynomialPreliminary} -\index{polynomial} -Let $\mathbb{S} = \mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$. A (\textbf{univariate}) \textbf{polynomial over $\mathbb{S}$} in the \textbf{indeterminate} $x$ is an expression of the form +\index{polinômios} +Seja $\mathbb{S} = \mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Um (\textbf{univariado}) \textbf{polinômio sobre $\mathbb{S}$} no \textbf{indeterminado} $x$ é uma expressão da forma \[ a_0 + a_1x + \cdots + a_nx^n \] -where $n \in \mathbb{N}$ and each $a_k \in \mathbb{S}$. The numbers $a_k$ are called the \textbf{coefficients} of the polynomial. If not all coefficients are zero, the largest value of $k$ for which $a_k \ne 0$ is called the \textbf{degree} of the polynomial. By convention, the degree of the polynomial $0$ is $-\infty$. +onde $n \in \mathbb{N}$ e cada $a_k \in \mathbb{S}$. Os números $a_k$ são chamados de \textbf{coeficientes} do polinômio. Se nem todos os coeficientes forem zero, o maior valor de $k$ para o qual $a_k \ne 0$ é chamado de \textbf{grau} do polinômio. Por convenção, o grau do polinômio $0$ é $-\infty$. \end{definition} -Polynomials of degree $1$, $2$, $3$, $4$ and $5$ are respectively called \textit{linear}, \textit{quadratic}, \textit{cubic}, \textit{quartic} and \textit{quintic} polynomials. +Polinômios de grau $1$, $2$, $3$, $4$ e $5$ são respectivamente chamados \textit{lineares}, \textit{quadratic}, \textit{cubic}, \textit{quartic} and \textit{quintic} polynomials. \begin{example} -The following expressions are all polynomials: +As seguintes expressões são todas polinômios: \[ 3 \qquad 2x-1 \qquad (3+i)x^2-x \] -Their degrees are $0$, $1$ and $2$, respectively. The first two are polynomials over $\mathbb{Z}$, and the third is a polynomial over $\mathbb{C}$. +Seus graus são $0$, $1$ e $2$, respectivamente. Os dois primeiros são polinômios sobre $\mathbb{Z}$, e o terceiro é um polinômio sobre $\mathbb{C}$. \end{example} \begin{exercise} -Write down a polynomial of degree $4$ over $\mathbb{R}$ which is not a polynomial over $\mathbb{Q}$. +Escreva um polinômio de grau $4$ sobre $\mathbb{R}$ que não seja um polinômio sobre $\mathbb{Q}$. \end{exercise} \begin{notation} -Instead of writing out the coefficients of a polynomial each time, we may write something like $p(x)$ or $q(x)$. The `$(x)$' indicates that $x$ is the indeterminate of the polynomial. If $\alpha$ is a number\footnote{When dealing with polynomials, we will typically reserve the letter $x$ for the indeterminate variable, and use the Greek letters $\alpha,\beta,\gamma$ \inlatex{alpha, \textbackslash{}beta, \textbackslash{}gamma} for numbers to be substituted into a polynomial.} and $p(x)$ is a polynomial in indeterminate $x$, we write $p(\alpha)$ for the result of \textbf{substituting} $\alpha$ for $x$ in the expression $p(x)$. +Em vez de escrever os coeficientes de um polinômio todas as vezes, podemos escrever algo como $p(x)$ ou $q(x)$. O `$(x)$' indica que $x$ é o indeterminado do polinômio. Se $\alpha$ for um número\footnote{Ao lidar com polinômios, normalmente reservaremos a letra $x$ para a variável indeterminada e usaremos as letras gregas $\alpha,\beta,\gamma$ \inlatex{alpha, \textbackslash{}beta, \textbackslash{}gamma} para números a serem substituídos em um polinômio.} e $p(x)$ é um polinômio em $x$ indeterminado, escrevemos $p(\alpha)$ para o resultado de \textbf{substituir} $\alpha$ por $x$ na expressão $p(x)$. \end{notation} -Note that, if $A$ is any of the sets $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$, and $p(x)$ is a polynomial over $A$, then $p(\alpha) \in A$ for all $\alpha \in A$. +Note que, se $A$ é qualquer um dos conjuntos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, e $p(x)$ é um polinômio sobre $A$, então $p(\alpha) \in A$ para toda $\alpha \in A$. \begin{example} -Let $p(x)=x^3-3x^2+3x-1$. Then $p(x)$ is a polynomial over $\mathbb{Z}$ with indeterminate $x$. For any integer $\alpha$, the value $p(\alpha)$ will also be an integer. For example +Seja $p(x)=x^3-3x^2+3x-1$. então $p(x)$ é um polinômio sobre $\mathbb{Z}$ com indeterminado $x$. Para qualquer número inteiro $\alpha$, o valor $p(\alpha)$ também será um número inteiro. Por exemplo \[ p(0) = 0^3-3 \cdot 0^2 + 3 \cdot 0 - 1 = -1 \quad \text{and} \quad p(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 - 1 = 8 \] \end{example} \begin{definition} \label{defRootOfPolynomial} -\index{root} -Let $p(x)$ be a polynomial. A \textbf{root} of $p(x)$ is a complex number $\alpha$ such that $p(\alpha)=0$. +\index{raiz} +Seja $p(x)$ m polinômio. Uma \textbf{raiz} de $p(x)$ é um número complexo $\alpha$ de tal modo que $p(\alpha)=0$. \end{definition} -The \textit{quadratic formula} (\Cref{thmQuadraticFormula}) tells us that the roots of the polynomial $x^2+ax+b$, where $a,b \in \mathbb{C}$, are precisely the complex numbers -\[ \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} \quad \text{and} \quad \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} \] +A \textit{fórmula quadrática} (\Cref{thmQuadraticFormula}) nos diz que as raízes do polinômio $x^2+ax+b$, onde $a,b \in \mathbb{C}$, são precisamente os números complexos +\[ \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} \quad \text{e} \quad \frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} \] -Note our avoidance of the symbol `$\pm$', which is commonly found in discussions of quadratic polynomials. The symbol `$\pm$' is dangerous because it may suppress the word `and' or the word `or', depending on context---this kind of ambiguity is not something that we will want to deal with when discussing the logical structure of a proposition in \Cref{chLogicalStructure}! +Observe que evitamos o símbolo `$\pm$', que é comumente encontrado em discussões sobre polinômios quadráticos. O símbolo `$\pm$' é perigoso porque pode suprimir a palavra `e' ou a palavra `ou', dependendo do contexto --- este tipo de ambigüidade não é algo com o qual desejaremos lidar ao discutir a estrutura lógica de uma proposição em \Cref{chLogicalStructure}! \begin{example} \label{exApplicationOfQuadraticFormula} -Let $p(x)=x^2-2x+5$. The quadratic formula tells us that the roots of $p$ are +Seja $p(x)=x^2-2x+5$. A fórmula quadrática nos diz que as raízes de $p$ são \begin{center} $\dfrac{2 + \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2} = 1 + \sqrt{-4} = 1+2i$ \quad and \quad $\dfrac{2 - \sqrt{4 - 4 \cdot 5}}{2} = 1-\sqrt{-4} = 1-2i$ \end{center} -The numbers $1+2i$ and $1-2i$ are related in that their real parts are equal and their imaginary parts differ only by a sign. \Cref{exComplexNumberAsRootOfQuadraticOverR} generalises this observation. +Os números $1+2i$ e $1-2i$ estão relacionados porque suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias diferem apenas por um sinal. \Cref{exComplexNumberAsRootOfQuadraticOverR} generaliza esta observação. \end{example} \begin{exercise} \label{exComplexNumberAsRootOfQuadraticOverR} -Let $\alpha = a+bi$ be a complex number, where $a,b \in \mathbb{R}$. Prove that $\alpha$ is the root of a quadratic polynomial over $\mathbb{R}$, and find the other root of this polynomial. +Seja $\alpha = a+bi$ um número complexo, onde $a,b \in \mathbb{R}$. Prove que $\alpha$ é a raiz de um polinômio quadrático sobre $\mathbb{R}$ e encontre a outra raiz desse polinômio. \end{exercise} -The following exercise proves the well-known result which classifies the number of real roots of a polynomial over $\mathbb{R}$ in terms of its coefficients. +O exercício a seguir prova o conhecido resultado que classifica o número de raízes reais de um polinômio sobre $\mathbb{R}$ em termos de seus coeficientes. \begin{exercise} \label{exDiscriminantRealRoots} -\index{discriminant} -Let $a,b \in \mathbb{C}$ and let $p(x)=x^2+ax+b$. The value $\Delta=a^2-4b$ is called the \textbf{discriminant} of $p$. Prove that $p$ has two roots if $\Delta \ne 0$ and one root if $\Delta = 0$. Moreover, if $a,b \in \mathbb{R}$, prove that $p$ has no real roots if $\Delta < 0$, one real root if $\Delta = 0$, and two real roots if $\Delta > 0$. +\index{discriminante} +Seja $a,b \in \mathbb{C}$ e seja $p(x)=x^2+ax+b$. O valor $\Delta=a^2-4b$ é chamado de \textbf{discriminante} de $p$. Prove que $p$ tem duas raízes se $\Delta \ne 0$ e uma raiz se $\Delta = 0$. Além disso, se $a,b \in \mathbb{R}$, prove que $p$ não tem raízes reais se $\Delta < 0$, uma raiz real se $\Delta = 0$, e duas raízes reais se $ \Delta > 0$. \end{exercise} \begin{example} -Consider the polynomial $x^2-2x+5$. Its discriminant is equal to $(-2)^2-4 \cdot 5 = -16$, which is negative. \Cref{exDiscriminantRealRoots} tells us that it has two roots, neither of which are real. This was verified by \Cref{exApplicationOfQuadraticFormula}, where we found that the roots of $x^2-2x+5$ are $1+2i$ and $1-2i$. +Considere o polinômio $x^2-2x+5$. Seu discriminante é igual a $(-2)^2-4 \cdot 5 = -16$, que é negativo. \Cref{exDiscriminantRealRoots} nos diz que tem duas raízes, nenhuma das quais é real. Isto foi verificado por \Cref{exApplicationOfQuadraticFormula}, onde descobrimos que as raízes de $x^2-2x+5$ are $1+2i$ e $1-2i$. -Now consider the polynomial $x^2-2x-3$. Its discriminant is equal to $(-2)^2-4\cdot(-3) = 16$, which is positive. \Cref{exDiscriminantRealRoots} tells us that it has two roots, both of which are real; and indeed +Agora considere o polinômio $x^2-2x-3$. Seu discriminante é igual a $(-2)^2-4\cdot(-3) = 16$, o que é positivo. \Cref{exDiscriminantRealRoots} nos diz que tem duas raízes, ambas reais; e realmente \[ x^2-2x-3 = (x+1)(x-3) \] -so the roots of $x^2-2x-3$ are $-1$ and $3$. -\end{example} \ No newline at end of file +então as raízes de $x^2-2x-3$ são $-1$ e $3$. +\end{example} diff --git a/book/logical-structure/propositional-logic.tex b/book/logical-structure/propositional-logic.tex index daf1c6a..37bccf2 100644 --- a/book/logical-structure/propositional-logic.tex +++ b/book/logical-structure/propositional-logic.tex @@ -2,109 +2,111 @@ \section{Propositional logic} \secbegin{secPropositionalLogic} -Every mathematical proof is written in the context of certain \textit{assumptions} being made, and certain \textit{goals} to be achieved. +Cada prova matemática é escrita no contexto de certas \textit{suposições} sendo feitas e de certos \textit{objetivos} a serem alcançados. \begin{itemize} -\item \textbf{Assumptions} are the propositions which are known to be true, or which we are assuming to be true for the purposes of proving something. They include theorems that have already been proved, prior knowledge which is assumed of the reader, and assumptions which are explicitly made using words like `suppose' or `assume'. -\item \textbf{Goals} are the propositions we are trying to prove in order to complete the proof of a result, or perhaps just a step in the proof. +\item \textbf{Suposições} são as proposições que se sabe serem verdadeiras, ou que assumimos como verdadeiras para fins de provar algo. Eles incluem teoremas que já foram provados, conhecimento prévio que é assumido pelo leitor e suposições que são explicitamente feitas usando palavras como “supor” ou “assumir”. +\item \textbf{Objetivos} são as proposições que estamos tentando provar para completar a prova de um resultado, ou talvez apenas um passo na prova. \end{itemize} -With every phrase we write, our assumptions and goals change. This is perhaps best illustrated by example. In \Cref{exAssumptionsGoals} below, we will examine the proof of \Cref{propDivisibilityIsTransitive} in detail, so that we can see how the words we wrote affected the assumptions and goals at each stage in the proof. We will indicate our assumptions and goals at any given stage using tables---the assumptions listed will only be those assumptions which are made explicitly; prior knowledge and previously proved theorems will be left implicit. +A cada frase que escrevemos, nossas suposições e objetivos mudam. Isto talvez seja melhor ilustrado por um exemplo. Em \Cref{exAssumptionsGoals} abaixo, examinaremos a prova de \Cref{propDivisibilityIsTransitive} em detalhes, para que possamos ver como as palavras que escrevemos afetaram as suposições e objetivos em cada estágio da prova. Indicaremos nossas suposições e objetivos em qualquer estágio usando tabelas – as suposições listadas serão apenas aquelas feitas explicitamente; conhecimentos prévios e teoremas previamente provados ficarão implícitos. \begin{example} \label{exAssumptionsGoals} -The statement of \Cref{propDivisibilityIsTransitive} was as follows: +A declaração de \Cref{propDivisibilityIsTransitive} foi o seguinte: \begin{quote} -Let $a,b,c \in \mathbb{Z}$. If $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$, then $c$ divides $a$. +Seja $a,b,c \in \mathbb{Z}$. Se $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$, então $c$ divide $a$. \end{quote} -The set-up of the proposition instantly gives us our initial assumptions and goals: +A configuração da proposição nos dá instantaneamente nossas suposições e objetivos iniciais: \begin{center} \begin{tabular}{C{150pt}|C{150pt}} -\textbf{Assumptions} & \textbf{Goals} \\ \hline -$a,b,c \in \mathbb{Z}$ & If $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$, then $c$ divides $a$ +\textbf{Suposições} & \textbf{Objetivo} \\ \hline +$a,b,c \in \mathbb{Z}$ & Se $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$, então $c$ divide $a$ \end{tabular} \end{center} -We will now proceed through the proof, line by line, to see what effect the words we wrote had on the assumptions and goals. +Prosseguiremos agora com a prova, linha por linha, para ver que efeito as palavras que escrevemos tiveram nas suposições e objetivos. -Since our goal was an expression of the form `if\dots{}then\dots{}', it made sense to start by assuming the `if' statement, and using that assumption to prove the `then' statement. As such, the first thing we wrote in our proof was: +Como nosso objetivo era uma expressão na forma `if\dots{}then\dots{}', fazia sentido começar assumindo a declaração `se' e usar essa suposição para provar a declaração `então'. Como tal, a primeira coisa que escrevemos em nossa prova foi: \begin{quote} -Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$. +Supponha que $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$. \end{quote} -Our updated assumptions and goals are reflected in the following table. +Nossas premissas e metas atualizadas estão refletidas na tabela a seguir. \begin{center} \begin{tabular}{C{150pt}|C{150pt}} -\textbf{Assumptions} & \textbf{Goals} \\ \hline -$a,b,c \in \mathbb{Z}$ & $c$ divides $a$ \\ -$c$ divides $b$ & \\ -$b$ divides $a$ & +\textbf{Suposições} & \textbf{Obejetivos} \\ \hline +$a,b,c \in \mathbb{Z}$ & $c$ divide $a$ \\ +$c$ divide $b$ & \\ +$b$ divide $a$ & \end{tabular} \end{center} -Our next step in the proof was to unpack the definitions of `$c$ divides $b$' and `$b$ divides $a$', giving us more to work with. +Nosso próximo passo na prova foi descompactar as definições de `$c$ divide $b$' e `$b$ divide $a$', nos dando mais com que trabalhar. \begin{quote} -{\color{gray} Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$.} By \Cref{defDivisionPreliminary}, it follows that +{\color{gray} Suponha que $c$ divide $b$ e $b$ divide $a$.} Por \Cref{defDivisionPreliminary}, segue que \[ -b=qc \quad \text{and} \quad a=rb +b=qc \quad \text{e} \quad a=rb \] -for some integers $q$ and $r$. +para alguns inteiros $q$ e $r$. \end{quote} -This introduces two new variables $q,r$ and allows us to replace the assumptions `$c$ divides $b$' and `$b$ divides $a$' with their definitions. +Isso introduz duas novas variáveis $q,r$ e nos permite substituir as suposições `$c$ divide $b$' e `$b$ divide $a$' por suas definições. \begin{center} \begin{tabular}{C{150pt}|C{150pt}} -\textbf{Assumptions} & \textbf{Goals} \\ \hline -$a,b,c,q,r \in \mathbb{Z}$ & $c$ divides $a$ \\ -$b=qc$ & \\ -$a=rb$ & +\textbf{Suposições} & \textbf{Objetivos} \\ \hline +a,b,c,q,r∈Za,b,c,q,r \in \mathbb{Z} & cc divide aa \\ +b=qcb=qc & \\ +a=rba=rb & \end{tabular} \end{center} -At this point we have pretty much exhausted all of the assumptions we can make, and so our attention turns towards the goal---that is, we must prove that $c$ divides $a$. At this point, it helps to `work backwards' by unpacking the goal: what does it mean for $c$ to divide $a$? Well, by \Cref{defDivisionPreliminary}, we need to prove that $a$ is equal to some integer multiplied by $c$---this will be reflected in the following table of assumptions and goals. +Neste ponto, esgotamos praticamente todas as suposições que podemos fazer e, portanto, nossa atenção se volta para o objetivo – isto é, devemos provar que cc + divide aa. Neste ponto, ajuda “trabalhar de trás para frente”, desvendando o objetivo: o que significa cc dividir 𝗮a? Bem, por \Cref{defDivisionPreliminary}, precisamos provar que é igual a algum número inteiro multiplicado por c --- isso será refletido na tabela de suposições e objetivos a seguir. + divide aa. -Since we are now trying to express $a$ in terms of $c$, it makes sense to use the equations we have relating $a$ with $b$, and $b$ with $c$, to relate $a$ with $c$. +Como agora estamos tentando expressar $a$ em termos de $c$, faz sentido usar as equações que temos relacionando $a$ com $b$, e $b$ com $c$, para relacionar $a$ com $c$. \begin{quote} -{\color{gray} Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$. By \Cref{defDivisionPreliminary}, it follows that +{\color{gray} Suponha que $c$ divida $b$ e $b$ divida $a$. Por \Cref{defDivisionPreliminary}, segue que \[ b=qc \quad \text{and} \quad a=rb \] -for some integers $q$ and $r$.} Using the first equation, we may substitute $qc$ for $b$ in the second equation, to obtain +para alguns inteiros qq e rr.} Usando a primeira equação, podemos substituir qcqc por bb na segunda equação, para obter \[ a=r(qc) \] \end{quote} -We are now very close, as indicated in the following table. +Estamos agora muito próximos, conforme indicado na tabela a seguir. \begin{center} \begin{tabular}{C{150pt}|C{150pt}} -\textbf{Assumptions} & \textbf{Goals} \\ \hline -$a,b,c,q,r \in \mathbb{Z}$ & $a = [\text{some integer}] \cdot c$ \\ +\textbf{Suposições} & \textbf{Objetivos} \\ \hline +$a,b,c,q,r \in \mathbb{Z}$ & $a = [\text{algum número inteiro}] \cdot c$ \\ $b=qc$ & \\ $a=rb$ & \\ $a=r(qc)$ & \end{tabular} \end{center} -Our final step was to observe that the goal has at last been achieved: +Nosso passo final foi observar que o objetivo foi finalmente alcançado: \begin{quote} -{\color{gray} Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$. By \Cref{defDivisionPreliminary}, it follows that +{\color{gray} suponha que $c$ divida $b$ e $b$ divida $a$. Por \Cref{defDivisionPreliminary}, segue que \[ -b=qc \quad \text{and} \quad a=rb +b=qc \quad \text{e} \quad a=rb \] -for some integers $q$ and $r$. Using the first equation, we may substitute $qc$ for $b$ in the second equation, to obtain} +para alguns inteiros $q$ e $r$. Usando a primeira equação, podemos substituir $qc$ por $b$ na segunda equação, para obter} \[ {\color{gray} a=r(qc)} \] -But $r(qc) = (rq)c$, and $rq$ is an integer, +Mas $r(qc) = (rq)c$, e $rq$ é um número inteiro, \end{quote} \begin{center} \begin{tabular}{C{150pt}|C{150pt}} -\textbf{Assumptions} & \textbf{Goals} \\ \hline +\textbf{Premissas} & \textbf{Objetivos} \\ \hline $a,b,c,q,r \in \mathbb{Z}$ & \\ $b=qc$ & \\ $a=rb$ & \\ @@ -114,63 +116,63 @@ \section{Propositional logic} \end{tabular} \end{center} -Now that there is nothing left to prove, it is helpful to reiterate that point so that the reader has some closure on the matter. +Agora que não há mais nada a provar, é útil reiterar esse ponto para que o leitor tenha alguma conclusão sobre o assunto. \begin{quote} -{\color{gray} Suppose that $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$. By \Cref{defDivisionPreliminary}, it follows that +{\color{gray} Suponha que cc divide bb e bb divide aa. Por \Cref{defDivisionPreliminary}, segue que \[ -b=qc \quad \text{and} \quad a=rb +b=qc \quad \text{e} \quad a=rb \] -for some integers $q$ and $r$. Using the first equation, we may substitute $qc$ for $b$ in the second equation, to obtain +para alguns inteiros $q$ e $r$. Usando a primira equação, podemos substituir $qc$ por $b$ na segunda equação, para obter \[ a=r(qc) \] -But $r(qc) = (rq)c$, and $rq$ is an integer,} so it follows from \Cref{defDivisionPreliminary} that $c$ divides $a$. +Mas $r(qc) = (rq)c$, e $rq$ é um inteiro,então segue que \Cref{defDivisionPreliminary} que $c$ divide $a$. \end{quote} \end{example} -\subsection*{Symbolic logic} +\subsection*{Lógica simbólica} -Consider again the proposition that we proved in \Cref{propDivisibilityIsTransitive} (for given integers $a,b,c$): +Considere novamente a proposição que provamos em \Cref{propDivisibilityIsTransitive} (para dados inteiros $a,b,c$): \begin{center} -If $c$ divides $b$ and $b$ divides $a$, then $c$ divides $a$. +Se cc divide bb e bb divide aa, enão cc divide aa. \end{center} -The three statements `$c$ divides $b$', `$b$ divides $a$' and `$c$ divides $a$' are all propositions in their own right, despite the fact that they all appear inside a more complex proposition. We can examine the logical structure of the proposition by replacing these simpler propositions with symbols, called \textit{propositional variables}. Writing $P$ to represent `$c$ divides $b$', $Q$ to represent `$b$ divides $a$' and $R$ to represent `$c$ divides $a$', we obtain: +As três afirmações `$c$ divide $b$', `$b$ divide $a$' e `$c$ divide $a$' são todas proposições por direito próprio, apesar do fato de que todas elas aparecem dentro de uma estrutura mais proposta complexa. Podemos examinar a estrutura lógica da proposição substituindo estas proposições mais simples por símbolos, chamados \textit{variáveis ​​proposicionais}. Escrevendo $P$ para representar `$c$ divide $b$', $Q$ para representar `$b$ divide $a$' e $R$ para representar `$c$ divide $a$', obtemos: \begin{center} -If $P$ and $Q$, then $R$. +Se $P$ e $Q$, então $R$. \end{center} -Breaking down the proposition in this way makes it clear that a feasible way to prove it is to \textit{assume} $P$ and $Q$, and then \textit{derive} $R$ from these assumptions---this is exactly what we did in the proof, which we examined in great detail in \Cref{exAssumptionsGoals}. But importantly, it suggests that the same proof strategy might work for other propositions which are also of the form `if $P$ and $Q$, then $R$', such as the following proposition (for a given integer $n$): +Dividir a proposição desta forma deixa claro que uma maneira viável de prová-la é \textit{assumir} $P$ e $Q$, e então \textit{derivar} $R$ dessas suposições --- isso é exatamente o que fizemos na prova, que examinamos detalhadamente em \Cref{exAssumptionsGoals}. Mas o mais importante é que sugere que a mesma estratégia de prova pode funcionar para outras proposições que também são da forma `se $P$ e $Q$, então $R$', como a seguinte proposição (para um dado inteiro $n$ ): \begin{center} -If $n > 2$ and $n$ is prime, then $n$ is odd. +Se n>2n > 2 e nn é primo, então nn é ímpar. \end{center} -Observe that the simpler propositions are joined together to form a more complex proposition using language, namely the word `and' and the construction `if\dots{} then\dots{}'---we will represent these constructions symbolically using \textit{logical operators}, which will be introduced in \Cref{defLogicalOperator}. +Observe que as proposições mais simples são unidas para formar uma proposição mais complexa usando a linguagem, ou seja, a palavra `e' e a construção `if\dots{} then\dots{}' --- representaremos essas construções simbolicamente usando \textit {operadores lógicos}, que serão introduzidos em \Cref{defLogicalOperator}. -Zooming in even more closely, we can use \Cref{defDivisionPreliminary} to observe that `$c$ divides $b$' really means `$b = qc$ for some $q \in \mathbb{Z}$'. The expression `for some $q \in \mathbb{Z}$' introduces a new variable $q$, which we must deal with appropriately in our proof. Words which we attach to variables in our proofs---such as `any', `exists', `all', `some', `unique' and `only'---will be represented symbolically using \textit{quantifiers}, which we will study in \Cref{secVariablesQuantifiers}. +Aumentando ainda mais o zoom, podemos usar \Cref{defDivisionPreliminary} para observar que `$c$ divide $b$' realmente significa `$b = qc$ para algum $q \in \mathbb{Z}$'. A expressão `for some $q \in \mathbb{Z}$' introduz uma nova variável $q$, com a qual devemos lidar apropriadamente em nossa prova. Palavras que atribuímos às variáveis ​​em nossas provas --- como `qualquer', `existe', `todos', `alguma', `única' e `apenas' ---serão representadas simbolicamente usando \textit{quantificadores} , que estudaremos em \Cref{secVariablesQuantifiers}. -By breaking down a complex proposition into simpler statements which are connected together using logical operators and quantifiers, we can more precisely identify what assumptions we can make at any given stage in a proof of the proposition, and what steps are needed in order to finish the proof. +Ao dividir uma proposição complexa em afirmações mais simples que são conectadas entre si usando operadores lógicos e quantificadores, podemos identificar com mais precisão quais suposições podemos fazer em qualquer estágio de uma prova da proposição, e quais etapas são necessárias para terminar a proposição. prova. -\subsection*{Propositional formulae} +\subsection*{Fórmulas proposicionais} -We begin our development of symbolic logic with some definitions to fix our terminology. +Começamos nosso desenvolvimento da lógica simbólica com algumas definições para fixar nossa terminologia. \begin{definition} \label{defPropositionalVariable} \index{propositional variable} \index{truth value} -A \textbf{propositional variable} is a symbol that represents a proposition. Propositional variables may be assigned \textbf{truth values} (`true' or `false'). +A \textbf{variável proposicional} é um símbolo que representa uma proposição. Variáveis ​​proposicionais podem receber \textbf{valores verdadeiros} (`true' ou `false'). \end{definition} -We will typically use the lower-case letters $p$, $q$, $r$ and $s$ as our propositional variables. +Normalmente usaremos as letras minúsculas $p$, $q$, $r$ e $s$ como nossas variáveis ​​proposicionais. -We will be able to form more complex expressions representing propositions by connecting together simpler ones using \textit{logical operators} such as $\wedge$ (which represents `and'), $\vee$ (which represents `or'), $\Rightarrow$ (which represents `if\dots{}then\dots{}') and $\neg$ (which represents `not'). +Seremos capazes de formar expressões mais complexas representando proposições conectando as mais simples usando \textit{operadores lógicos} como ∧\wedge (que representa `e'), ∨\vee (que representa `ou'), ⇒ \Rightarrow (que representa `if\dots{}then\dots{}') e ¬\neg (que representa `não'). -The definition of the notions of \textit{logical operator} and \textit{propositional formula} given below is a little bit difficult to digest, so it is best understood by considering examples of propositional formulae and instances of logical operators. Fortunately we will see plenty of these, since they are the central objects of study for the rest of this section. +A definição das noções de \textit{operador lógico} e \textit{fórmula proposicional} dada abaixo é um pouco difícil de digerir, por isso é melhor compreendida considerando exemplos de fórmulas proposicionais e instâncias de operadores lógicos. Felizmente veremos muitos deles, já que são os objetos centrais de estudo do restante desta seção. \begin{definition} \label{defPropositionalFormula} @@ -178,86 +180,83 @@ \subsection*{Propositional formulae} \index{logical operator} \index{propositional formula} \index{subformula} -A \textbf{propositional formula} is an expression that is either a propositional variable, or is built up from simpler propositional formulae (`subformulae') using a \textbf{\mbox{logical} \mbox{operator}}. In the latter case, the truth value of the propositional formula is determined by the truth values of the subformulae according to the rules of the logical operator. +Uma \textbf{fórmula roposicional} é uma expressão que é uma variável proposicional ou é construída a partir de fórmulas proposicionais mais simples (`subfórmulas') usando um operador \textbf{\mbox{lógico} \mbox{}}. Neste último caso, o valor verdade da fórmula proposicional é determinado pelos valores verdade das subfórmulas de acordo com as regras do operador lógico. \end{definition} -On first sight, \Cref{defPropositionalFormula} seems circular---it defines the term `propositional formula' in terms of propositional formulae! But in fact it is not circular; it is an example of a \textit{recursive} definition (we avoid circularity with the word `simpler'). To illustrate, consider the following example of a propositional formula: +À primeira vista, \Cref{defPropositionalFormula} parece circular – ele define o termo “fórmula proposicional” em termos de fórmulas proposicionais! Mas na verdade não é circular; é um exemplo de definição \textit{recursiva} (evitamos circularidade com a palavra `mais simples'). Para ilustrar, considere o seguinte exemplo de uma fórmula proposicional: \[ (p \wedge q) \Rightarrow r \] -This expression represents a proposition of the form `if $p$ and $q$, then $r$', where $p,q,r$ are themselves propositions. It is built from the subformulae $p \wedge q$ and $r$ using the logical operator $\Rightarrow$, and $p \wedge q$ is itself built up from the subformulae $p$ and $q$ using the logical operator $\wedge$. +Esta expressão representa uma proposição da forma `se $p$ e $q$, então $r$', onde $p,q,r$ são eles próprios proposições. É construído a partir das subfórmulas $p \wedge q$ e $r$ usando o operador lógico $\Rightarrow$, e $p \wedge q$ é ele próprio construído a partir das subfórmulas $p$ e $q$ usando o operador lógico $\wedge$. -The truth value of $(p \wedge q) \Rightarrow r$ is then determined by the truth values of the constituent propositional variables ($p$, $q$ and $r$) according to the rules for the logical operators $\wedge$ and $\Rightarrow$. +O valor verdadeiro de $(p \wedge q) \Rightarrow r$ é então determinado pelos valores de verdade das variáveis ​​proposicionais constituintes ($p$, $q$ e $r$) de acordo com as regras para os operadores lógicos $\wedge$ e $\Rightarrow$. -If this all seems a bit abstract, that is because it \textit{is} abstract, and you are forgiven if it makes no sense to you yet. From this point onwards, we will only study particular instances of logical operators, which will make it all much easier to understand. +Se tudo isso parece um pouco abstrato, é porque \textit{é} abstrato, e você está perdoado se ainda não faz sentido para você. A partir deste ponto, estudaremos apenas instâncias particulares de operadores lógicos, o que tornará tudo muito mais fácil de entender. \subsubsection*{Conjunction (`and', $\wedge$)} -Conjunction is the logical operator which makes precise what we mean when we say `and'. - +A conjunção é o operador lógico que torna preciso o que queremos dizer quando dizemos “e”. \begin{idefinition} \label{defConjunction} \index{conjunction} \nindex{conjunction}{$\wedge$}{conjunction} -The \textbf{conjunction} operator is the logical operator $\wedge$ \inlatex{wedge}\lindexmmc{wedge}{$\wedge$}, defined according to the following rules: +O operador \textbf{conjunção} é o operador lógico $\wedge$ \inlatex{wedge}\lindexmmc{wedge}{$\wedge$}, definido de acordo com as seguintes regras: \begin{itemize} -\item \introrule{\wedge} If $p$ is true and $q$ is true, then $p \wedge q$ is true; -\item \elimrulesub{\wedge}{1} If $p \wedge q$ is true, then $p$ is true; -\item \elimrulesub{\wedge}{2} If $p \wedge q$ is true, then $q$ is true. +\item \introrule{\wedge} Se $p$ é verdadeiro,então $q$ é verdade, então $p \wedge q$ é verdade; +\item \elimrulesub{\wedge}{1} If $p \wedge q$ é verdadeiro, então $p$ é verdade; +\item \elimrulesub{\wedge}{2} If $p \wedge q$ é verdadeiro, então $q$ é verdade. \end{itemize} -The expression $p \wedge q$ represents `$p$ and $q$'. +A expressão $p \wedge q$ representa `$p$ e $q$'. \end{idefinition} -It is not always obvious when conjunction is being used; sometimes it sneaks in without the word `and' ever being mentioned! Be on the look-out for occasions like this, such as in the following exercise. +Nem sempre é óbvio quando a conjunção está sendo usada; às vezes ele aparece sem que a palavra “e” seja mencionada! Esteja atento a ocasiões como esta, como no exercício a seguir. \begin{example} \label{exSevenDividesTwentyEightConjunction} -We can express the proposition `$7$ is a prime factor of $28$' in the form $p \wedge q$, by letting $p$ represent the proposition `$7$ is prime' and letting $q$ represent the proposition `$7$ divides $28$'. +Podemos expressar a proposição `$7$ é um fator primordial de $28$' na forma $p \wedge q$, deixando $p$ representar a proposição `$7$ é primo' e deixando $q$ representar a proposição `$7$ divide $28$'. \end{example} \begin{exercise} \label{exJohnMathematicianPittsburgh} -Express the proposition `John is a mathematician who lives in Pittsburgh' in the form $p \wedge q$, for propositions $p$ and $q$. -\end{exercise} -The rules in \Cref{defConjunction} are examples of \textit{rules of inference}---they tell us how to deduce (or `infer') the truth of one propositional formula from the truth of other propositional formulae. In particular, rules of inference never directly tell us when a proposition is \textit{false}---in order to prove something is false, we will prove its \textit{negation} is true (see \Cref{defNegation}). +Expresse a proposição `John é um matemático que mora em Pittsburgh' na forma $p \wedge q$, para as proposições $p$ e $q$.\end{exercise} -Rules of inference tell us how to use the logical structure of propositions in proofs: +As regras em \Cref{defConjunction} são exemplos de \textit{regras de inferência}---eles nos dizem como deduzir (ou “inferir”) a verdade de uma fórmula proposicional a partir da verdade de outras fórmulas proposicionais. Em particular, as regras de inferência nunca nos dizem diretamente quando uma proposição é \textit{falso}---para provar que algo é falso, provaremos que sua \textit{negação} é verdadeira (see \Cref{defNegation}). + +As regras de inferência nos dizem como usar a estrutura lógica das proposições nas provas: \begin{itemize} -\item The rule \introrule{\wedge} is an \textit{introduction rule}, meaning that it tells us how to \textit{prove a goal} of the form $p \wedge q$---indeed, if we want to prove that $p \wedge q$ is true, \introrule{\wedge} tells us that it suffices to prove that $p$ is true and prove that $q$ is true. +\item A regra \introrule{\wedge} é uma \textit{regra de introdução}, o que significa que nos diz como \textit{provar um objetivo} da forma $p \wedge q$---de fato, if we want to prove that $p \wedge q$ é verdade, \introrule{\wedge} tells us that it suffices to prove that $p$ is true and prove that $q$ is true. -\item The rules \elimrulesub{\wedge}{1} and \elimrulesub{\wedge}{2} are \textit{elimination rules}, meaning that they tell us how to \textit{use an assumption} of the form $p \wedge q$---indeed, if we are assuming that $p \wedge q$ is true, we are then free to use the fact that $p$ is true and the fact that $q$ is true. +\item As regras \elimrulesub{\wedge}{1} e \elimrulesub{\wedge}{2} são \textit{regras de eliminação}, o que significa que eles nos dizem como \textit{usar uma suposição} da forma $p \wedge q$ --- na verdade, se estivermos assumindo que $p \wedge q$ é verdade, somos então livres para usar o fato de que $p$ é verdadeiro e o fato de que $q$ é verdadeiro. \end{itemize} -Each logical operator will come equipped with some introduction and/or elimination rules, which tell us how to prove goals or use assumptions which include the logical operator in question. It is in this way that the logical structure of a proposition informs \textit{proof strategies}, like the following: +Cada operador lógico virá equipado com algumas regras de introdução e/ou eliminação, que nos dizem como provar objetivos ou usar suposições que incluam o operador lógico em questão. É desta forma que a estrutura lógica de uma proposição informa \textit{estratégias de prova}, como a seguir: \begin{strategy}[Proving conjunctions] \label{strProvingConjunctionsDirect} -A proof of the proposition $p \wedge q$ can be obtained by tying together two proofs, one being a proof that $p$ is true and one being a proof that $q$ is true. +Uma prova da proposição $p \wedge q$ pode ser obtida juntando duas provas, uma sendo uma prova de que $p$ é verdadeira e a outra sendo uma prova de que $q$ é verdadeira. \end{strategy} \begin{example} \label{exSevenDividesTwentyEightConjunctionProof} -Suppose we are required to prove that $7$ is a prime factor of $28$. In \Cref{exSevenDividesTwentyEightConjunction} we expressed `$7$ is a prime factor of $28$' as the conjunction of the propositions `$7$ is prime' and `$7$ divides $28$', and so \Cref{strProvingConjunctionsDirect} breaks down the proof into two steps: first prove that $7$ is prime, and then prove that $7$ divides $28$. +Suponha que sejamos obrigados a provar que $7$ é um fator primo de $28$. Em \Cref{exSevenDividesTwentyEightConjunction} expressamos `$7$ é um fator primo de $28$' como a conjunção das proposições `$7$ é primo' e `$7$ divide $28$', e assim \Cref{strProvingConjunctionsDirect} divide a prova em duas etapas: primeiro prove que $7$ é primo e depois prove que $7$ divide $28$. \end{example} -Much like \Cref{strProvingConjunctionsDirect} was informed by the introduction rule for $\wedge$, the elimination rules inform how we may make use of an assumption involving a conjunction. - +Muito parecido \Cref{strProvingConjunctionsDirect} foi informado pela regra de introdução para $\wedge$, as regras de eliminação informam como podemos fazer uso de uma suposição que envolve uma conjunção. \begin{strategy}[Assuming conjunctions] \label{strAssumingConjunctionsDirect} -If an assumption in a proof has the form $p \wedge q$, then we may assume $p$ and assume $q$ in the proof. +Se uma suposição em uma prova tiver a forma $p \wedge q$, então podemos assumir $p$ e $q$ na prova. \end{strategy} \begin{example} \label{exSevenDividesTwentyEightConjunctionAssumption} -Suppose that, somewhere in the process of proving a proposition, we arrive at the fact that $7$ is a prime factor of $28$. \Cref{strAssumingConjunctionsDirect} then allows us to use the separate facts that $7$ is prime and that $7$ divides $28$. +Suponha que, em algum momento do processo de prova de uma proposição, cheguemos ao fato de que $7$ é um fator primo de $28$. \Cref{strAssumingConjunctionsDirect} então nos permite usar os fatos separados de que $7$ é primo e que $7$ divide $28$. \end{example} -\Cref{strProvingConjunctionsDirect,strAssumingConjunctionsDirect} seem almost \textit{obvious}. To an extent they are obvious, and that is why we are stating them first. But the real reason we are going through the process of precisely defining logical operators, their introduction and elimination rules, and the corresponding proof strategies, is that when you are in the middle of the proof of a complicated result, it is all too easy to lose track of what you have already proved and what remains to be proved. Keeping track of the assumptions and goals in a proof, and understanding what must be done in order to complete the proof, is a difficult task. - -To avoid drawing this process out too long, we need a compact way of expressing rules of inference that allows us to simply read off corresponding proof strategies. We \textit{could} use tables of assumptions and goals like in \Cref{exAssumptionsGoals}, but this quickly becomes clunky---indeed, even the very simple conjunction introduction rule \introrule{\wedge} doesn't look very nice in this format: +\Cref{strProvingConjunctionsDirect,strAssumingConjunctionsDirect} parece quase \textit{óbvio}. Até certo ponto eles são óbvios, e é por isso que os declaramos primeiro. Mas a verdadeira razão pela qual estamos a passar pelo processo de definir com precisão os operadores lógicos, as suas regras de introdução e eliminação, e as estratégias de prova correspondentes, é que quando estamos no meio da prova de um resultado complicado, é muito fácil perder de vista o que você já provou e o que ainda precisa ser provado. Acompanhar as suposições e objetivos de uma prova e compreender o que deve ser feito para completá-la é uma tarefa difícil. +Para evitar prolongar demasiado este processo, precisamos de uma forma compacta de expressar regras de inferência que nos permita simplesmente ler as estratégias de prova correspondentes. Nós \textit{poderíamos} usar tabelas de suposições e objetivos como em \Cref{exAssumptionsGoals}, mas isso rapidamente se torna desajeitado --- na verdade, mesmo a regra de introdução de conjunção muito simples \introrule{\wedge} não parece muito boa neste formato: \begin{center} \begin{tabular}{C{60pt}|C{60pt}} {\small \textbf{Assumptions}} & {\small \textbf{Goals}} \\ \hline @@ -272,19 +271,19 @@ \subsubsection*{Conjunction (`and', $\wedge$)} \end{tabular} \end{center} -Instead, we will represent rules of inference in the style of \textit{natural deduction}. In this style, we write the \textit{premises} $p_1,p_2,\dots,p_k$ of a rule above a line, with a single \textit{conclusion} $q$ below the line, representing the assertion that the truth of a proposition $q$ follows from the truth of (all of) the premises $p_1,p_2,\dots,p_k$. +Em vez disso, representaremos regras de inferência no estilo da \textit{dedução natural}. Neste estilo, escrevemos as \textit{premissas} $p_1,p_2,\dots,p_k$ de uma regra acima de uma linha, com uma única \textit{conclusão} $q$ abaixo da linha, representando a afirmação de que a verdade de uma proposição $q$ segue da verdade de (todas) as premissas $p_1,p_2,\dots,p_k$. \begin{center} \begin{prooftree} \AxiomC{$p_1$} \AxiomC{$p_2$} - \AxiomC{$\cdots$} + \AxiomC{⋯\cdots} \AxiomC{$p_k$} \QuaternaryInfC{$q$} \end{prooftree} \end{center} -For instance, the introduction and elimination rules for conjunction can be expressed concisely follows: +Por exemplo, as regras de introdução e eliminação para conjunção podem ser expressas de forma concisa da seguinte forma: \begin{center} \begin{minipage}{0.15\textwidth} @@ -320,40 +319,40 @@ \subsubsection*{Conjunction (`and', $\wedge$)} \end{minipage} \end{center} -In addition to its clean and compact nature, this way of writing rules of inference is useful because we can combine them into \textit{proof trees} in order to see how to prove more complicated propositions. For example, consider the following proof tree, which combines two instances of the conjunction introduction rule. +Além da sua natureza limpa e compacta, esta forma de escrever regras de inferência é útil porque podemos combiná-las em \textit{árvores de prova} para ver como provar proposições mais complicadas. Por exemplo, considere a seguinte árvore de prova, que combina duas instâncias da regra de introdução de conjunção. \begin{center} \begin{prooftree} - \AxiomC{$p$} - \AxiomC{$q$} - \BinaryInfC{$p \wedge q$} - \AxiomC{$r$} -\BinaryInfC{$(p \wedge q) \wedge r$} + \AxiomC{pp} + \AxiomC{qq} + \BinaryInfC{p∧qp \wedge q} + \AxiomC{rr} +\BinaryInfC{(p∧q)∧r(p \wedge q) \wedge r} \end{prooftree} \end{center} -From this proof tree, we obtain a strategy for proving a proposition of the form $(p \wedge q) \wedge r$. Namely, first prove $p$ and prove $q$, to conclude $p \wedge q$; and then prove $r$, to conclude $(p \wedge q) \wedge r$. This illustrates that the logical structure of a proposition informs how we may structure a proof of the proposition. +A partir desta árvore de prova, obtemos uma estratégia para provar uma proposição da forma (p∧q)∧r(p \wedge q) \wedge r. Ou seja, primeiro prove pp e prove qq, para concluir p∧qp \wedge q; e então prove rr, para concluir (p∧q)∧r(p \wedge q) \wedge r. Isto ilustra que a estrutura lógica de uma proposição informa como podemos estruturar uma prova da proposição. \begin{exercise} -Write a proof tree whose conclusion is the propositional formula $(p \wedge q) \wedge (r \wedge s)$, where $p,q,r,s$ are propositional variables. Express `$2$ is an even prime number and $3$ is an odd prime number' in the form $(p \wedge q) \wedge (r \wedge s)$, for appropriate propositions $p$, $q$, $r$ and $s$, and describe how your proof tree suggests what a proof might look like. +Escreva uma árvore de prova cuja conclusão seja a fórmula proposicional (p∧q)∧(r∧s)(p \wedge q) \wedge (r \wedge s), onde p,q,r,sp,q,r,s são variáveis ​​proposicionais. Expresse '22 é um número primo par e 33 é um número primo ímpar' na forma (p∧q)∧(r∧s)(p \wedge q) \wedge (r \wedge s), para proposições apropriadas pp, qq, rr e ss, e descreva como sua árvore de provas sugere a aparência de uma prova. \end{exercise} -\subsubsection*{Disjunction (`or', $\vee$)} +\subsubsection*{Disjunction (`or', ∨\vee)} \begin{idefinition} \label{defDisjunction} \index{disjunction} -\nindex{disjunction}{$\vee$}{disjunction} +\nindex{disjunction}{∨\vee}{disjunction} The \textbf{disjunction} operator is the logical operator $\vee$ \inlatex{vee}\lindexmmc{vee}{$\vee$}, defined according to the following rules: \begin{itemize} -\item \introrulesub{\vee}{1} If $p$ is true, then $p \vee q$ is true; -\item \introrulesub{\vee}{2} If $q$ is true, then $p \vee q$ is true; -\item \elimrule{\vee} If $p \vee q$ is true, and if $r$ can be derived from $p$ and from $q$, then $r$ is true. +\item \introrulesub{\vee}{1} If $p$ é verdadeiro, então $p \vee q$ é verdade; +\item \introrulesub{\vee}{2} If $q$ é verdadeiro, então $p \vee q$ é verdade; +\item \elimrule{\vee} Se $p \vee q$ for verdadeiro, e se $r$ puder ser derivado de $p$ e de $q$, então $r$ é verdadeiro \end{itemize} -The expression $p \vee q$ represents `$p$ or $q$'. +The expression $p \vee q$ representa `$p$ que $q$'. \end{idefinition} -The introduction and elimination rules for disjunction are represented diagrammatically as follows. +As regras de introdução e eliminação para disjunção são representadas diagramaticamente a seguir. \begin{center} \begin{minipage}[b]{0.15\textwidth} @@ -397,26 +396,26 @@ \subsubsection*{Disjunction (`or', $\vee$)} \end{minipage} \end{center} -We will discuss what the notation $[p] \leadsto r$ and $[q] \leadsto r$ means momentarily. First, we zoom in on how the disjunction introduction rules inform proofs of propositions of the form `$p$ or $q$'. +Discutiremos o que as notações $[p] \leadsto r$ e $[q] \leadsto r$ significam momentaneamente. Primeiro, examinamos como as regras de introdução de disjunção informam provas de proposições da forma `$p$ ou $q$'. \begin{strategy}[Proving disjunctions] \label{strProvingDisjunctionsDirect} -In order to prove a proposition of the form $p \vee q$, it suffices to prove just one of $p$ or $q$. +Para provar uma proposição da forma $p \vee q$, basta provar apenas uma de $p$ ou $q$. \end{strategy} \begin{example} -Suppose we want prove that $8192$ is not divisible by $3$. We know by the division theorem (\Cref{thmDivisionPreliminary}) that an integer is not divisible by $3$ if and only if it leaves a remainder of $1$ or $2$ when divided by $3$, and so it suffices to prove the following: +Suponha que queiramos provar que $8192$ não é divisível por $3$. Sabemos pelo teorema da divisão (\Cref{thmDivisionPreliminary}) que um inteiro não é divisível por $3$ se e somente se deixar um resto de $1$ ou $2$ quando dividido por $3$, e portanto é suficiente provar o seguinte : \[ -\begin{matrix} 8192 \text{ leaves a remainder of } 1 \\ \text{when divided by } 3 \end{matrix} +\begin{matrix} 8192 \text{ deixa um resto de } 1 \\ \text{quando dividido por } 3 \end{matrix} \quad \vee \quad -\begin{matrix} 8192 \text{ leaves a remainder of } 2 \\ -\text{when divided by } 3 \end{matrix} +\begin{matrix} 8192 \text{ deixa um resto de } 2 \\ +\text{quando dividido por } 3 \end{matrix} \] -A quick computation reveals that $8192 = 2730 \times 3 + 2$, so that $8192$ leaves a remainder of $2$ when divided by $3$. By \Cref{strProvingDisjunctionsDirect}, the proof is now complete, since the full disjunction follows by \introrulesub{\vee}{2}. +Um cálculo rápido revela que $8192 = 2730 \times 3 + 2$, de modo que $8192$ deixa um resto de $2$ quando dividido por $3$. Por \Cref{strProvingDisjunctionsDirect}, a prova agora está completa, já que a disjunção completa segue por \introrulesub{\vee}{2}. \end{example} \begin{example} -Let $p,q,r,s$ be propositional variables. The propositional formula $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ represents `$p$ or $q$, and $r$ or $s$'. What follows are two examples of truth trees for this propositional formula. +Sejam $p,q,r,s$ variáveis ​​proposicionais. A fórmula proposicional $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ representa `$p$ ou $q$, e $r$ ou $s$'. A seguir estão dois exemplos de árvores da verdade para esta fórmula proposicional. \begin{center} \begin{minipage}{0.3\textwidth} @@ -450,20 +449,21 @@ \subsubsection*{Disjunction (`or', $\vee$)} \end{minipage} \end{center} -The proof tree on the left suggests the following proof strategy for $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$. First prove $p$, and deduce $p \vee q$; then prove $r$, and deduce $r \vee s$; and finally deduce $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$. The proof tree on the right suggests a different strategy, where $p \vee q$ is deduced by proving $q$ instead of $p$, and $r \vee s$ is deduced by proving $s$ instead of $r$. +A árvore de prova à esquerda sugere a seguinte estratégia de prova para $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$. Primeiro prove $p$ e deduza $p \vee q$; então prove $r$ e deduza $r \vee s$; e finalmente deduza $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$. A árvore de prova à direita sugere uma estratégia diferente, onde $p \vee q$ é deduzido provando $q$ em vez de $p$, e $r \vee s$ é deduzido provando $s$ em vez de $r$ . + +A seleção de quais (se houver) usar em uma prova pode depender do que estamos tentando provar. Por exemplo, para um número natural fixo $n$, deixe $p$ representar `$n$ é par', deixe $q$ representar `$n$ é ímpar', deixe $r$ representar `$n \ge 2$ ' e deixe $s$ representar `$n$ é um quadrado perfeito'. Provar $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ quando $n=2$ seria feito mais facilmente usando a árvore de prova à esquerda acima, uma vez que $p$ e $r$ são evidentemente verdadeiros quando $ n=2$. No entanto, a segunda árvore de prova seria mais apropriada para provar $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ quando $n=1$. -Selecting which (if any) of these to use in a proof might depend on what we are trying to prove. For example, for a fixed natural number $n$, let $p$ represent `$n$ is even', let $q$ represent `$n$ is odd', let $r$ represent `$n \ge 2$' and let $s$ represent `$n$ is a perfect square'. Proving $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ when $n=2$ would be most easily done using the left-hand proof tree above, since $p$ and $r$ are evidently true when $n=2$. However, the second proof tree would be more appropriate for proving $(p \vee q) \wedge (r \vee s)$ when $n=1$. \end{example} \begin{aside} -If you haven't already mixed up $\wedge$ and $\vee$, you probably will soon, so here's a way of remembering which is which: -\begin{center} \vspace{-10pt} \large \textbf{fish n chips} \end{center} -\vspace{-10pt} If you forget whether it's $\wedge$ or $\vee$ that means `and', just write it in place of the `n' in `fish n chips': -\begin{center} \vspace{-10pt} fish $\wedge$ chips \qquad \qquad fish $\vee$ chips \end{center} -\vspace{-10pt} Clearly the first looks more correct, so $\wedge$ means `and'. If you don't eat fish (or chips), then worry not, as this mnemonic can be modified to accommodate a wide variety of dietary restrictions; for instance `mac n cheese' or `quinoa n kale' or, for the meat lovers, `ribs n brisket'. +Se você ainda não misturou $\wedge$ e $\vee$, provavelmente o fará em breve, então aqui está uma maneira de lembrar qual é qual: +\begin{center} \vspace{-10pt} \large \textbf{peixe com batatas fritas} \end{center} +\vspace{-10pt} Se você esquecer se $\wedge$ ou $\vee$ significa `e', basta escrever no lugar do `n' em `fish n chips': +\begin{center} \vspace{-10pt} peixe $\wedge$ chips \qquad \qquad fish $\vee$ chips \end{center} +\vspace{-10pt} Claramente o primeiro parece mais correto, então $\wedge$ significa `e'. Se você não come peixe (ou batatas fritas), não se preocupe, pois esse mnemônico pode ser modificado para acomodar uma ampla variedade de restrições alimentares; por exemplo, “mac n cheese” ou “quinoa n kale” ou, para os amantes de carne, “costelas e peito”. \end{aside} -Recall the diagrammatic statement of the disjunction elimination rule: +Lembre-se da declaração diagramática da regra de eliminação de disjunção: \begin{center} \begin{prooftree} @@ -483,99 +483,99 @@ \subsubsection*{Disjunction (`or', $\vee$)} \end{prooftree} \end{center} -The curious notation $[p] \leadsto r$ indicates that $p$ is a \textit{temporary assumption}. In the part of the proof corresponding to $[p] \leadsto r$, we would assume that $p$ is true and derive $r$ from that assumption, and remove the assumption that $p$ is true from that point onwards. Likewise for $[q] \leadsto r$. +A curiosa notação $[p] \leadsto r$ indica que $p$ é uma \textit{suposição temporária}. Na parte da prova correspondente a $[p] \leadsto r$, assumiríamos que $p$ é verdadeiro e derivaríamos $r$ dessa suposição, e removeríamos a suposição de que $p$ é verdadeiro desse ponto em diante. Da mesma forma para $[q] \leadsto r$. -The proof strategy obtained from the disjunction elimination rule is called \textit{proof by cases}. +A estratégia de prova obtida a partir da regra de eliminação de disjunções é chamada de \textit{prova por casos}. -\begin{strategy}[Assuming disjunctions---proof by cases] +\begin{estratégia}[Assumindo disjunções --- prova por casos] \label{strAssumingDisjunctionsDirect} -\index{proof!by cases} -If an assumption in a proof has the form $p \vee q$, then we may derive a proposition $r$ by splitting into two cases: first, derive $r$ from the temporary assumption that $p$ is true, and then derive $r$ from the assumption that $q$ is true. +\index{prova!por casos} +Se uma suposição em uma prova tem a forma $p \vee q$, então podemos derivar uma proposição $r$ dividindo-a em dois casos: primeiro, derivar $r$ da suposição temporária de que $p$ é verdadeiro, e então deriva $r$ da suposição de que $q$ é verdadeiro. \end{strategy} -The following example illustrates how \Cref{strProvingDisjunctionsDirect,strAssumingDisjunctionsDirect} can be used together in a proof. +O exemplo a seguir ilustra como \Cref{strProvingDisjunctionsDirect,strAssumingDisjunctionsDirect} podem ser usados ​​juntos em uma prova. \begin{example} \label{exPositiveProperFactorOfFourEvenOrPerfectSquare} -Let $n$ be a positive proper factor of $4$, and suppose we want to prove that $n$ is either even or a perfect square. -\begin{itemize} -\item Our assumption that $n$ is a positive proper factor of $4$ can be expressed as the disjunction $n = 1 \vee n = 2$. -\item Our goal is to prove the disjunction `$n \text{ is even} \vee n \text{ is a perfect square}$'. +Seja $n$ um fator próprio positivo de $4$ e suponha que queremos provar que $n$ é par ou um quadrado perfeito. +\begin{itemizar} +\item Nossa suposição de que $n$ é um fator próprio positivo de $4$ pode ser expressa como a disjunção $n = 1 \vee n = 2$. +\item Nosso objetivo é provar que a disjunção `$n \text{ é par} \vee n \text{ é um quadrado perfeito}$'. \end{itemize} -According to \Cref{strAssumingDisjunctionsDirect}, we split into two cases, one in which $n=1$ and one in which $n=2$. In each case, we must derive `$n \text{ is even} \vee n \text{ is a perfect square}$', for which it suffices by \Cref{strProvingDisjunctionsDirect} to derive either that $n$ is even or that $n$ is a perfect square. Thus a proof might look something like this: +According to \Cref{strAssumingDisjunctionsDirect}, dividimos em dois casos, um em que $n=1$ e outro em que $n=2$. Em cada caso, devemos derivar `$n \text{ é par} \vee n \text{ é um quadrado perfeito}$', para o qual basta por \Cref{strProvingDisjunctionsDirect} derivar que $n$ é par ou que $n$ é um quadrado perfeito. Assim, uma prova pode ser mais ou menos assim: \begin{quote} -Since $n$ is a positive proper factor of $4$, either $n=1$ or $n=2$. -\begin{itemize} -\item \textbf{Case 1.} Suppose $n=1$. Then since $1^2=1$ we have $n = 1^2$, so that $n$ is a perfect square. -\item \textbf{Case 2.} Suppose $n=2$. Then since $2 = 2 \times 1$, we have that $n$ is even. -\end{itemize} -Hence $n$ is either even or a perfect square. \qed +Como $n$ é um fator próprio positivo de $4$, $n=1$ ou $n=2$. +\begin{itemizar} +\item \textbf{Caso 1.} Suponha $n=1$. Então, como $1^2=1$ temos $n = 1^2$, então $n$ é um quadrado perfeito. +\item \textbf{Caso 2.} Suponha $n=2$. Então, como $2 = 2 \times 1$, temos que $n$ é par. +\end{itemizar} +Portanto, $n$ é par ou um quadrado perfeito. \qed \end{quote} -Notice that in both Case 1 and Case 2, we did not explicitly mention that we had proved that `$n \text{ is even} \vee n \text{ is a perfect square}$', leaving that deduction to the reader---we only mentioned it after the proofs in each case were complete. +Observe que tanto no Caso 1 quanto no Caso 2, não mencionamos explicitamente que havíamos provado que `$n \text{ é par} \vee n \text{ é um quadrado perfeito}$', deixando essa dedução para o leitor- - só mencionamos isso depois que as provas de cada caso foram concluídas. \end{example} -The proof of \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3} below splits into \textit{three} cases, rather than just two. +A prova de \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3} abaixo se divide em \textit{três} casos, em vez de apenas dois. \begin{proposition} \label{propRemainderOfSquaresModulo3} -Let $n \in \mathbb{Z}$. Then $n^2$ leaves a remainder of $0$ or $1$ when divided by $3$. +Seja $n \in \mathbb{Z}$. Então $n^2$ deixa um resto de $0$ ou $1$ quando dividido por $3$. \end{proposition} \begin{cproof} -Let $n \in \mathbb{Z}$. By the division theorem (\Cref{thmDivisionPreliminary}), one of the following must be true for some $k \in \mathbb{Z}$: +Seja $n \in \mathbb{Z}$. Pelo teorema da divisão (\Cref{thmDivisionPreliminary}), uma das seguintes afirmações deve ser verdadeira para alguns $k \in \mathbb{Z}$: \[ n=3k \quad \text{or} \quad n=3k+1 \quad \text{or} \quad n=3k+2 \] \begin{itemize} -\item Suppose $n=3k$. Then +\item Suponha que $n=3k$. então \[ n^2 = (3k)^2 = 9k^2 = 3 \cdot (3k^2) \] -So $n^2$ leaves a remainder of $0$ when divided by $3$. -\item Suppose $n=3k+1$. Then +Então $n^2$ deixa um resto de $0$ quando divide $3$. +\item Suponha que $n=3k+1$. Então \[ n^2 = (3k+1)^2 = 9k^2+6k+1 = 3(3k^2+2k)+1 \] -So $n^2$ leaves a remainder of $1$ when divided by $3$. -\item Suppose $n=3k+2$. Then +Então $n^2$ deixa um resto de $1$ quando dividio por $3$. +\item Suppose $n=3k+2$. Então \[ n^2 = (3k+2)^2 = 9k^2+12k+4 = 3(3k^2+4k+1)+1 \] -So $n^2$ leaves a remainder of $1$ when divided by $3$. +Então $n^2$ deixa um resto de $1$ quando dividido por $3$. \end{itemize} -In all cases, $n^2$ leaves a remainder of $0$ or $1$ when divided by $3$. +Em todos os casos, $n^2$ deixa um resto de $0$ ou $1$ quando dividido por $3$. \end{cproof} -Note that in the proof of \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3}, unlike in \Cref{exPositiveProperFactorOfFourEvenOrPerfectSquare}, we did not explicitly use the word `case', even though we were using proof by cases. Whether or not to make your proof strategies explicit is up to you---discussion of this kind of matter can be found in \Cref{secVocabulary}. +Observe que na prova de \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3}, diferentemente de \Cref{exPositiveProperFactorOfFourEvenOrPerfectSquare}, não usamos explicitamente a palavra `case', embora estivéssemos usando prova por casos. Depende de você tornar ou não suas estratégias de prova explícitas --- discussões sobre esse tipo de assunto podem ser encontradas em \Cref{secVocabulary}. -When completing the following exercises, try to keep track of exactly where you use the introduction and elimination rules that we have seen so far. +Ao completar os exercícios a seguir, tente controlar exatamente onde você usa as regras de introdução e eliminação que vimos até agora. \begin{exercise} -Let $n$ be an integer. Prove that $n^2$ leaves a remainder of $0$, $1$ or $4$ when divided by $5$. +Seja $n$ um número inteiro. Prove que $n^2$ deixa um resto de $0$, $1$ ou $4$ quando dividido por $5$. \hintlabel{exSquareRemainderModuloFive}{f -Mimic the proof of \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3}. +Imite a prova de \Cref{propRemainderOfSquaresModulo3}. } \end{exercise} \begin{exercise} -Let $a,b \in \mathbb{R}$ and suppose $a^2-4b \ne 0$. Let $\alpha$ and $\beta$ be the (distinct) roots of the polynomial $x^2+ax+b$. Prove that there is a real number $c$ such that either $\alpha-\beta = c$ or $\alpha - \beta = ci$. +Seja $a,b \in \mathbb{R}$ e suponha $a^2-4b \ne 0$. Sejam $\alpha$ e $\beta$ as raízes (distintas) do polinômio $x^2+ax+b$. Prove que existe um número real $c$ tal que $\alpha-\beta = c$ ou $\alpha - \beta = ci$. \end{exercise} -\subsubsection*{Implication (`if\dots{}then\dots{}', $\Rightarrow$)} +\subsubsection*{Implicações (`se\dots{}então\dots{}', $\Rightarrow$)} \begin{definition} \label{defImplication} \index{implication} \nindex{implies}{$\Rightarrow$}{implication} -The \textbf{implication} operator is the logical operator $\Rightarrow$ \inlatex{Rightarrow}\lindexmmc{Rightarrow}{$\Rightarrow$}, defined according to the following rules: +O operador \textbf{implicação} é o operador lógico $\Rightarrow$ \inlatex{Rightarrow}\lindexmmc{Rightarrow}{$\Rightarrow$}, definido de acordo com as seguintes regras: \begin{itemize} -\item \introrule{\Rightarrow} If $q$ can be derived from the assumption that $p$ is true, then $p \Rightarrow q$ is true; -\item \elimrule{\Rightarrow} If $p \Rightarrow q$ is true and $p$ is true, then $q$ is true. +\item \introrule{\Rightarrow} Se $q$ pode ser derivado da suposição de que $p$ é verdadeiro, então $p \Rightarrow q$ é verdadeiro; +\item \elimrule{\Rightarrow} Se $p \Rightarrow q$ for verdadeiro e $p$ for verdadeiro, então $q$ é verdadeiro. \end{itemize} -The expression $p \Rightarrow q$ represents `if $p$, then $q$'. +A expressão $p \Rightarrow q$ representa `se $p$, então $q$. \end{definition} \begin{center} @@ -605,94 +605,94 @@ \subsubsection*{Implication (`if\dots{}then\dots{}', $\Rightarrow$)} \begin{strategy}[Proving implications] \label{strProvingImplicationsDirect} -In order to prove a proposition of the form $p \Rightarrow q$, it suffices to assume that $p$ is true, and then derive $q$ from that assumption. +Para provar uma proposição da forma $p \Rightarrow q$, basta assumir que $p$ é verdadeiro e então derivar $q$ dessa suposição. \end{strategy} -The following proposition illustrates how \Cref{strProvingImplicationsDirect} can be used in a proof. +A proposição a seguir ilustra como \Cref{strProvingImplicationsDirect} pode ser usado em uma prova. \begin{proposition} \label{propRationalTwoOfThree} -Let $x$ and $y$ be real numbers. If $x$ and $x+y$ are rational, then $y$ is rational. +Sejam $x$ e $y$ números reais. Se $x$ e $x+y$ são racionais, então $y$ é racional. \end{proposition} \begin{cproof} -Suppose $x$ and $x+y$ are rational. Then there exist integers $a,b,c,d$ with $b,d \ne 0$ such that +Suponha que $x$ e $x+y$ sejam racionais. Então existem inteiros $a,b,c,d$ com $b,d \ne 0$ tais que \[ x = \frac{a}{b} \quad \text{and} \quad x+y = \frac{c}{d} \] -It then follows that +Segue-se então que \[ y = (x+y)-x = \frac{c}{d}-\frac{a}{b} = \frac{bc-ad}{bd} \] -Since $bc-ad$ and $bd$ are integers, and $bd \ne 0$, it follows that $y$ is rational. +Como $bc-ad$ e $bd$ são inteiros e $bd \ne 0$, segue-se que $y$ é racional. \end{cproof} -The key phrase in the above proof was `Suppose $x$ and $x+y$ are rational.' This introduced the assumptions $x \in \mathbb{Q}$ and $x+y \in \mathbb{Q}$, and reduced our goal to that of deriving a proof that $y$ is rational---this was the content of the rest of the proof. +A frase-chave na prova acima foi `Suponha que $x$ e $x+y$ sejam racionais.' Isso introduziu as suposições $x \in \mathbb{Q}$ e $x+y \in \mathbb{Q}$, e reduziu nosso objetivo ao de derivar uma prova de que $y$ é racional --- este foi o conteúdo do resto da prova. \begin{exercise} -Let $p(x)$ be a polynomial over $\mathbb{C}$. Prove that if $\alpha$ is a root of $p(x)$, and $a \in \mathbb{C}$, then $\alpha$ is a root of $(x-a)p(x)$. +Seja $p(x)$ um polinômio sobre $\mathbb{C}$. Prove que se $\alpha$ é uma raiz de $p(x)$, e $a \in \mathbb{C}$, então $\alpha$ é uma raiz de $(x-a)p(x)$. \end{exercise} -The elimination rule for implication \elimrule{\Rightarrow} is more commonly known by the Latin name \textit{modus ponens}. +A regra de eliminação para implicação \elimrule{\Rightarrow} é mais comumente conhecida pelo nome latino \textit{modus ponens}. -\begin{strategy}[Assuming implications---modus ponens] +\begin{strategy}[Assumindo implicações --- modus ponens] \label{strAssumingImplicationsDirect} \index{modus ponens} -If an assumption in a proof has the form $p \Rightarrow q$, and $p$ is also assumed to be true, then we may deduce that $q$ is true. +Se uma suposição em uma prova tem a forma $p \Rightarrow q$, e $p$ também é assumido como verdadeiro, então podemos deduzir que $q$ é verdadeiro. \end{strategy} -\Cref{strAssumingDisjunctionsDirect} is frequently used to reduce a more complicated goal to a simpler one. Indeed, if we know that $p \Rightarrow q$ is true, and if $p$ is easy to verify, then it allows us to prove $q$ by proving $p$ instead. +\Cref{strAssumingDisjunctionsDirect} é freqüentemente usado para reduzir uma meta mais complicada a uma mais simples. Na verdade, se sabemos que $p \Rightarrow q$ é verdadeiro, e se $p$ é fácil de verificar, então isso nos permite provar $q$ provando $p$. \begin{example} -Let $f(x) = x^2+ax+b$ be a polynomial with $a,b \in \mathbb{R}$, and let $\Delta = a^2-4b$ be its discriminant. Part of \Cref{exDiscriminantRealRoots} was to prove that: +Seja $f(x) = x^2+ax+b$ um polinômio com $a,b \in \mathbb{R}$, e seja $\Delta = a^2-4b$ seu discriminante. Parte do \Cref{exDiscriminantRealRoots} era provar que: \begin{enumerate}[(i)] -\item If $\Delta > 0$, then $f$ has two real roots; -\item If $\Delta = 0$, then $f$ has one real root; -\item If $\Delta < 0$, then $f$ has no real roots. +\item If $\Delta > 0$, então $f$ tem duas raízes reais; +\item If $\Delta = 0$, então $f$ tem uma raíze real; +\item If $\Delta < 0$,então $f$ não tem raízes reais. \end{enumerate} -Given the polynomial $f(x) = x^2-68x+1156$, it would be a pain to go through the process of solving the equation $f(x)=0$ in order to determine how many real roots $f$ has. However, each of the propositions (i), (ii) and (iii) take the form $p \Rightarrow q$, so \Cref{strAssumingImplicationsDirect} reduces the problem of finding how many real roots $f$ has to that of evaluating $\Delta$ and comparing it with $0$. And indeed, $(-68)^2 - 4 \times 1156 = 0$, so the implication (ii) together with \elimrule{\Rightarrow} tell us that $f$ has one real root. +Dado o polinômio $f(x) = x^2-68x+1156$, seria difícil passar pelo processo de resolução da equação $f(x)=0$ para determinar quantas raízes reais $f $ tem. No entanto, cada uma das proposições (i), (ii) e (iii) assume a forma $p \Rightarrow q$, então \Cref{strAssumingImplicationsDirect} reduz o problema de encontrar quantas raízes reais $f$ tem ao de avaliar $\Delta$ e comparando com $0$. E de fato, $(-68)^2 - 4 \times 1156 = 0$, então a implicação (ii) junto com \elimrule{\Rightarrow} nos diz que $f$ tem uma raiz real. \end{example} -A common task faced by mathematicians is to prove that two conditions are equivalent. For example, given a polynomial $f(x) = x^2+ax+b$ with $a,b \in \mathbb{R}$, we know that \textit{if} $a^2-4b>0$ \textit{then} $f$ has two real roots, but is it also true that if $f$ has two real roots then $a^2-4b>0$? (The answer is `yes'.) The relationship between these two implications is that each is the \textit{converse} of the other. +Uma tarefa comum enfrentada pelos matemáticos é provar que duas condições são equivalentes. Por exemplo, dado um polinômio $f(x) = x^2+ax+b$ com $a,b \in \mathbb{R}$, sabemos que \textit{if} $a^2-4b>0 $\textit{then} $f$ tem duas raízes reais, mas também é verdade que se $f$ tem duas raízes reais então $a^2-4b>0$? (A resposta é “sim”.) A relação entre estas duas implicações é que cada uma é a \textit{converse} da outra. \begin{definition} \label{defConverse} \index{converse} -The \textbf{converse} of a proposition of the form $p \Rightarrow q$ is the proposition $q \Rightarrow p$. +O \textbf{converse} de uma proposição da forma $p \Rightarrow q$ é a proposição $q \Rightarrow p$. \end{definition} -A quick remark on terminology is pertinent. The following table summarises some common ways of referring to the propositions `$p \Rightarrow q$' and `$q \Rightarrow p$'. +Uma rápida observação sobre a terminologia é pertinente. A tabela a seguir resume algumas maneiras comuns de se referir às proposições `$p \Rightarrow q$' e `$q \Rightarrow p$'. \begin{center} \begin{tabular}{c|c} $p \Rightarrow q$ & $q \Rightarrow p$ \\ \hline -if $p$, then $q$ & if $q$, then $p$ \\ -$p$ only if $q$ & $p$ if $q$ \\ -$p$ is sufficient for $q$ & $p$ is necessary for $q$ +Se $p$, então $q$ & se $q$, então $p$ \\ +$p$ apenas se $q$ & $p$ se $q$ \\ +$p$ é suficiente para $q$ & $p$ é necessário para $q$ \end{tabular} \end{center} -We so often encounter the problem of proving both an implication and its converse that we introduce a new logical operator that represents the conjunction of both. +Deparamo-nos tantas vezes com o problema de provar tanto uma implicação como a sua recíproca que introduzimos um novo operador lógico que representa a conjunção de ambas. \begin{definition} \label{defBiconditional} \index{biconditional} \nindex{biconditional}{$\Leftrightarrow$}{biconditional} -The \textbf{biconditional} operator is the logical operator $\Leftrightarrow$ \inlatex{Leftrightarrow}\lindexmmc{Leftrightarrow}{$\Leftrightarrow$}, defined by declaring $p \Leftrightarrow q$ to mean $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$. The expression $p \Leftrightarrow q$ represents `$p$ if and only if $q$'. +The \textbf{biconditional} operator is the logical operator $\Leftrightarrow$ \inlatex{Leftrightarrow}\lindexmmc{Leftrightarrow}{$\Leftrightarrow$}, defined by declaring $p \Leftrightarrow q$ to mean $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$. A expressão $p \Leftrightarrow q$ representa `$p$ se e apenas se $q$'. \end{definition} -Many examples of biconditional statements come from solving equations; indeed, to say that the values $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ are the solutions to a particular equation is precisely to say that +Muitos exemplos de declarações bicondicionais vêm da resolução de equações; na verdade, dizer que os valores $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ são as soluções para uma equação particular é precisamente dizer que \[ x \text{ is a solution} \quad \Leftrightarrow \quad x = \alpha_1 \text{ or } x = \alpha_2 \text{ or } \cdots \text{ or } x = \alpha_n \] \begin{example} \label{exSolveSqrtFirstExample} -We find all real solutions $x$ to the equation +Encontramos todas as soluções reais $x$ para a equação \[ \sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = 7 \] -Let's rearrange the equation to find out what the possible solutions may be. +Vamos reorganizar a equação para descobrir quais podem ser as possíveis soluções. \begin{align*} &\phantom{\Rightarrow\;\;} \sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = 7 && \\ &\Rightarrow (x-3) + 2\sqrt{(x-3)(x+4)} + (x+4) = 49 && \text{squaring} \\ @@ -702,24 +702,23 @@ \subsubsection*{Implication (`if\dots{}then\dots{}', $\Rightarrow$)} &\Rightarrow 196x = 2352 && \text{rearranging} \\ &\Rightarrow x=12 && \text{dividing by $196$} \end{align*} -You might be inclined to stop here. Unfortunately, all we have proved is that, given a real number $x$, \textit{if} $x$ solves the equation $\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = 7$, \textit{then} $x=12$. This narrows down the set of possible solutions to just one candidate---but we still need to check the converse, namely that \textit{if} $x=12$, \textit{then} $x$ is a solution to the equation. - +Você pode estar inclinado a parar por aqui. Infelizmente, tudo o que provamos é que, dado um número real $x$, \textit{if} $x$ resolve a equação $\sqrt{x-3} + \sqrt{x+4} = 7$, \textit {então} $x=12$. Isso restringe o conjunto de soluções possíveis a apenas um candidato --- mas ainda precisamos verificar o inverso, ou seja, que \textit{if} $x=12$, \textit{then} $x$ é uma solução para o equação. As such, to finish off the proof, note that \[ \sqrt{12-3} + \sqrt{12+4} = \sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 \] -and so the value $x=12$ is indeed a solution to the equation. +e então o valor $x=12$ é de fato uma solução para a equação. \end{example} -The last step in \Cref{exSolveSqrtFirstExample} may have seemed a little bit silly; but \Cref{exSolveSqrtSecondExample} demonstrates that proving the converse when solving equations truly is necessary. +O último passo em \Cref{exSolveSqrtFirstExample} pode ter parecido um pouco bobo; mas \Cref{exSolveSqrtSecondExample} demonstra que é realmente necessário provar o inverso ao resolver equações. \begin{example} \label{exSolveSqrtSecondExample} -We find all real solutions $x$ to the equation +Encontramos todas as soluções reais $x$ para a equação \[ x+\sqrt{x}=0 \] -We proceed as before, rearranging the equation to find all possible solutions. +Procedemos como antes, reorganizando a equação para encontrar todas as soluções possíveis. \begin{align*} &\phantom{\Rightarrow\;\;} x+\sqrt{x} = 0 && \\ &\Rightarrow x=-\sqrt{x} && \text{rearranging} \\ @@ -727,132 +726,132 @@ \subsubsection*{Implication (`if\dots{}then\dots{}', $\Rightarrow$)} &\Rightarrow x(x-1)=0 && \text{rearranging} \\ &\Rightarrow x=0 \text{ or } x=1 && \end{align*} -Now certainly $0$ is a solution to the equation, since +Agora certamente $0$ é uma solução para a equação, já que \[ 0+\sqrt{0} = 0+0 = 0 \] -However, $1$ is \textit{not} a solution, since +No entanto, $1$ \textit{não} é uma solução, já que \[ 1+\sqrt{1} = 1+1 = 2 \] -Hence it is actually the case that, given a real number $x$, we have +Portanto, é realmente o caso que, dado um número real $x$, temos \[ x+\sqrt{x} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x=0 \] -Checking the converse here was vital to our success in solving the equation! +Verificar o inverso aqui foi vital para o nosso sucesso na resolução da equação! \end{example} -A slightly more involved example of a biconditional statement arising from the solution to an equation---in fact, a class of equations---is the proof of the quadratic formula. +Um exemplo um pouco mais complicado de uma afirmação bicondicional que surge da solução de uma equação – na verdade, uma classe de equações – é a prova da fórmula quadrática. -\begin{itheorem}[Quadratic formula] +\begin{itheorem}[Fórmula quadrática] \label{thmQuadraticFormula} -Let $a,b \in \mathbb{C}$. A complex number $\alpha$ is a root of the polynomial $x^2+ax+b$ if and only if +Seja $a,b \in \mathbb{C}$. Um número complexo $\alpha$ é uma raiz do polinômio $x^2+ax+b$ se e somente se \[ \alpha = \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} \quad \text{or} \quad \alpha =\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} \] \end{itheorem} \begin{cproof} -First we prove that \textit{if} $\alpha$ is a root, \textit{then} $\alpha$ is one of the values given in the statement of the proposition. So suppose $\alpha$ be a root of the polynomial $x^2+ax+b$. Then +Primeiro provamos que \textit{se} $\alpha$ é uma raiz, \textit{então} $\alpha$ é um dos valores dados no enunciado da proposição. Então suponha que $\alpha$ seja uma raiz do polinômio $x^2+ax+b$. Então \[ \alpha^2 + a\alpha + b = 0 \] -The algebraic technique of `completing the square' tells us that +A técnica algébrica de “completar o quadrado” nos diz que \[ \alpha^2 + a\alpha = \left( \alpha + \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} \] -and hence +e, portanto \[ \left( \alpha + \frac{a}{2} \right)^2 - \frac{a^2}{4} + b = 0 \] -Rearranging yields +Reorganizando rendimentos \[ \left( \alpha + \frac{a}{2} \right)^2 = \frac{a^2}{4} - b = \frac{a^2-4b}{4} \] -Taking square roots gives +Tirar raízes quadradas dá \[ \alpha + \frac{a}{2} = \frac{\sqrt{a^2-4b}}{2} \quad \text{or} \quad \alpha + \frac{a}{2} = \frac{-\sqrt{a^2-4b}}{2} \] -and, finally, subtracting $\frac{a}{2}$ from both sides gives the desired result. +e, finalmente, subtrair $\frac{a}{2}$ de ambos os lados dá o resultado desejado. -The proof of the converse is \Cref{exQuadraticFormulaConverse}. +A prova da recíproca é \Cref{exQuadraticFormulaConverse}. \end{cproof} \begin{exercise} \label{exQuadraticFormulaConverse} -Complete the proof of the quadratic formula. That is, for fixed $a,b \in \mathbb{C}$, prove that if +Complete a prova da fórmula quadrática. Isto é, para $a,b \in \mathbb{C}$ fixos, prove que se \[ \alpha = \frac{-a+\sqrt{a^2-4b}}{2} \quad \text{or} \quad \alpha =\frac{-a-\sqrt{a^2-4b}}{2} \] -then $\alpha$ is a root of the polynomial $x^2+ax+b$. +então $\alpha$ é uma raiz do polinômio $x^2+ax+b$. \end{exercise} -Another class of examples of biconditional propositions arise in finding necessary and sufficient criteria for an integer $n$ to be divisible by some number---for example, that an integer is divisible by $10$ if and only if its base-$10$ expansion ends with the digit $0$. +Outra classe de exemplos de proposições bicondicionais surge ao encontrar critérios necessários e suficientes para que um inteiro $n$ seja divisível por algum número - por exemplo, que um inteiro é divisível por $10$ se e somente se sua expansão de base $10$ termina com o dígito $0$. \begin{example} \label{exTestForDivisibilityByEight} -Let $n \in \mathbb{N}$. We will prove that $n$ is divisible by $8$ if and only if the number formed of the last three digits of the base-$10$ expansion of $n$ is divisible by $8$. +Seja $n \in \mathbb{N}$. Provaremos que $n$ é divisível por $8$ se e somente se o número formado pelos três últimos dígitos da expansão de base $10$ de $n$ for divisível por $8$. -First, we will do some `scratch work'. Let $d_rd_{r-1}\dots{}d_1d_0$ be the base-$10$ expansion of $n$. Then +Primeiro, faremos alguns “trabalhos de rascunho”. Seja $d_rd_{r-1}\dots{}d_1d_0$ a expansão de base $10$ de $n$. Então \[ n = d_r \cdot 10^r + d_{r-1} \cdot 10^{r-1} + \cdots + d_1 \cdot 10 + d_0 \] Define \[ -n' = d_2d_1d_0 \quad \text{and} \quad n'' = n-n' = d_rd_{r-1}\dots{}d_4d_3000 +n' = d_2d_1d_0 \quad \text{e} \quad n'' = n-n' = d_rd_{r-1}\dots{}d_4d_3000 \] -Now $n-n' = 1000 \cdot d_rd_{r-1} \dots d_4d_3$ and $1000 = 8 \cdot 125$, so it follows that $8$ divides $n''$. +Agora $n-n' = 1000 \cdot d_rd_{r-1} \dots d_4d_3$ e $1000 = 8 \cdot 125$, então segue que $8$ divide $n''$. %% BEGIN EXTRACT (xtrStepsExample) %% -Our goal is now to prove that $8$ divides $n$ if and only if $8$ divides $n'$. +Nosso objetivo agora é provar que $8$ divide $n$ se e somente se $8$ divide $n'$. -\begin{itemize} -\item ($\Rightarrow$) Suppose $8$ divides $n$. Since $8$ divides $n''$, it follows from \Cref{exDivisibilityIsLinear} that $8$ divides $an+bn''$ for all $a,b \in \mathbb{Z}$. But +\begin{itemizar} +\item ($\Rightarrow$) Suponha que $8$ divida $n$. Como $8$ divide $n''$, segue de \Cref{exDivisibilityIsLinear} que $8$ divide $an+bn''$ para todos $a,b \in \mathbb{Z}$. Mas \[ -n' = n-(n-n') = n-n'' = 1 \cdot n + (-1) \cdot n'' +n' = n-(nn') = nn'' = 1 \cdot n + (-1) \cdot n'' \] -so indeed $8$ divides $n'$, as required. -\item ($\Leftarrow$) Suppose $8$ divides $n'$. Since $8$ divides $n''$, it follows from \Cref{exDivisibilityIsLinear} that $8$ divides $an'+bn''$ for all $a,b \in \mathbb{Z}$. But +então, de fato, $8$ divide $n'$, conforme necessário. +\item ($\Leftarrow$) Suponha que $8$ divida $n'$. Como $8$ divide $n''$, segue de \Cref{exDivisibilityIsLinear} que $8$ divide $an'+bn''$ para todos $a,b \in \mathbb{Z}$. Mas \[ n = n'+(n-n') = n'+n'' = 1 \cdot n' + 1 \cdot n'' \] -so indeed $8$ divides $n$, as required. +então, de fato, $8$ divide $n$, conforme necessário. \end{itemize} %% END EXTRACT \end{example} \begin{exercise} -Prove that a natural number $n$ is divisible by $3$ if and only if the sum of its base-$10$ digits is divisible by $3$. +Prove que um número natural $n$ é divisível por $3$ se e somente se a soma de seus dígitos de base $10$ for divisível por $3$. \hintlabel{exSumOfDigitsDivisibleByThree}{% -Suppose $n = d_r \cdot 10^r + \cdots + d_1 \cdot 10 + d_0$ and let $s = d_r + \cdots + d_1 + d_0$. Start by proving that $3 \mid n-s$. +Suponha que $n = d_r \cdot 10^r + \cdots + d_1 \cdot 10 + d_0$ e seja $s = d_r + \cdots + d_1 + d_0$. Comece provando que $3 \mid n-s$. } \end{exercise} -\subsubsection*{Negation (`not', $\neg$)} +\subsubsection*{Negação (`não', $\neg$)} -So far we only officially know how to prove that true propositions are \textit{true}. The negation operator makes precise what we mean by `not', which allows us to prove that false propositions are \textit{false}. +Até agora só sabemos oficialmente como provar que proposições verdadeiras são \textit{verdadeiras}. O operador de negação esclarece o que queremos dizer com `não', o que nos permite provar que proposições falsas são \textit{falsas}. \begin{definition} \label{defContradiction} \index{contradiction} \nindex{contradiction}{$\bot$}{contradiction} -A \textbf{contradiction} is a proposition that is known or assumed to be false. We will use the symbol $\bot$ \inlatex{bot}\lindexmmc{bot}{$\bot$} to represent an arbitrary contradiction. +Uma \textbf{contradição} é uma proposição que é conhecida ou considerada falsa. Usaremos o símbolo $\bot$ \inlatex{bot}\lindexmmc{bot}{$\bot$} para representar uma contradição arbitrária. \end{definition} \begin{example} -Some examples of contradictions include the assertion that $0=1$, or that $\sqrt{2}$ is rational, or that the equation $x^2=-1$ has a solution $x \in \mathbb{R}$. +Alguns exemplos de contradições incluem a afirmação de que $0=1$, ou que $\sqrt{2}$ é racional, ou que a equação $x^2=-1$ tem uma solução $x \in \mathbb{R}$ . \end{example} \begin{definition} \label{defNegation} \index{negation} \nindex{negation}{$\neg$}{negation} -The \textbf{negation} operator is the logical operator $\neg$ \inlatex{neg}\lindexmmc{neg}{$\neg$}, defined according to the following rules: -\begin{itemize} -\item \introrule{\neg} If a contradiction can be derived from the assumption that $p$ is true, then $\neg p$ is true; -\item \elimrule{\neg} If $\neg p$ and $p$ are both true, then a contradiction may be derived. +O operador \textbf{negation} é o operador lógico $\neg$ \inlatex{neg}\lindexmmc{neg}{$\neg$}, definido de acordo com as seguintes regras: +\begin{itemizar} +\item \introrule{\neg} Se uma contradição pode ser derivada da suposição de que $p$ é verdadeiro, então $\neg p$ é verdadeiro; +\item \elimrule{\neg} Se $\neg p$ e $p$ forem ambos verdadeiros, então uma contradição pode ser derivada. \end{itemize} -The expression $\neg p$ represents `not $p$' (or `$p$ is false'). +A expressão $\neg p$ representa `não $p$' (ou `$p$ é falso'). \end{definition} \begin{center} @@ -881,81 +880,82 @@ \subsubsection*{Negation (`not', $\neg$)} \end{center} \begin{aside} -The rules \introrule{\neg} and \elimrule{\neg} closely resemble \introrule{\Rightarrow} and \elimrule{\Rightarrow}---indeed, we could simply define $\neg p$ to mean `$p \Rightarrow \bot$', where $\bot$ represents an arbitrary contradiction, but it will be easier later on to have a primitive notion of negation. +As regras \introrule{\neg} e \elimrule{\neg} se assemelham muito a \introrule{\Rightarrow} e \elimrule{\Rightarrow}---na verdade, poderíamos simplesmente definir $\neg p$ para significar `$p \ Rightarrow \bot$', onde $\bot$ representa uma contradição arbitrária, mas será mais fácil mais tarde ter uma noção primitiva de negação. \end{aside} -The introduction rule for negation \introrule{\neg} gives rise to a proof strategy called \textit{proof by contradiction}, which turns out to be extremely useful. +A regra de introdução para negação \introrule{\neg} dá origem a uma estratégia de prova chamada \textit{prova por contradição}, que se revela extremamente útil. \begin{strategy}[Proving negations---proof by contradiction] \label{strProvingNegationsDirect} \label{strProofByContradictionDirect} \index{proof!by contradiction (direct)} \index{contradiction!(direct) proof by} -In order to prove a proposition $p$ is false (that is, that $\neg p$ is true), it suffices to assume that $p$ is true and derive a contradiction. +Para provar que uma proposição $p$ é falsa (ou seja, que $\neg p$ é verdadeira), basta assumir que $p$ é verdadeira e derivar uma contradição. \end{strategy} -The following proposition has a classic proof by contradiction. +A seguinte proposição tem uma prova clássica por contradição. \begin{proposition} -Let $r$ be a rational number and let $a$ be an irrational number. Then $r+a$ is irrational. +Seja $r$ um número racional e $a$ um número irracional. Então $r+a$ é irracional. \end{proposition} \begin{cproof} -By \Cref{defIrrationalNumber}, we need to prove that $r+a$ is real and not rational. It is certainly real, since $r$ and $a$ are real, so it remains to prove that $r+a$ is not rational. +Por \Cref{defIrrationalNumber}, precisamos provar que $r+a$ é real e não racional. É certamente real, uma vez que $r$ e $a$ são reais, então resta provar que $r+a$ não é racional. -Suppose $r+a$ is rational. Since $r$ is rational, it follows from \Cref{propRationalTwoOfThree} that $a$ is rational, since +Suponha que $r+a$ seja racional. Como $r$ é racional, segue de \Cref{propRationalTwoOfThree} que $a$ é racional, já que \[ a = (r+a) - r \] -This contradicts the assumption that $a$ is irrational. It follows that $r+a$ is not rational, and is therefore irrational. +Isso contradiz a suposição de que $a$ é irracional. Segue-se que $r+a$ não é racional e, portanto, é irracional. \end{cproof} -Now you can try proving some elementary facts by contradiction. +Agora você pode tentar provar alguns fatos elementares por contradição. \begin{exercise} \label{exNegationAndReciprocalOfIrrationalNumbers} -Let $x \in \mathbb{R}$. Prove by contradiction that if $x$ is irrational then $-x$ and $\frac{1}{x}$ are irrational. +Let $x \in \mathbb{R}$. Prove por contradição que se $x$ é irracional então $-x$ e $\frac{1}{x}$ são irracionais. \end{exercise} \begin{exercise} \label{exNoLeastPositiveReal} -Prove by contradiction that there is no least positive real number. That is, prove that there is not a positive real number $a$ such that $a \le b$ for all positive real numbers $b$. +Prove por contradição que não existe nenhum número real menos positivo. Ou seja, prove que não existe um número real positivo $a$ tal que $a \le b$ para todos os números reais positivos $b$. \end{exercise} -A proof need not be a `proof by contradiction' in its entirety---indeed, it may be that only a small portion of the proof uses contradiction. This is exhibited in the proof of the following proposition. +Uma prova não precisa ser uma “prova por contradição” na sua totalidade – na verdade, pode acontecer que apenas uma pequena parte da prova utilize contradição. Isso é exibido na prova da seguinte proposição. \begin{proposition} \label{propOddIffRemainderOfOne} -Let $a$ be an integer. Then $a$ is odd if and only if $a=2b+1$ for some integer $b$. +Seja $a$ um número inteiro. Então $a$ é ímpar se e somente se $a=2b+1$ para algum número inteiro $b$. \end{proposition} \begin{cproof} -Suppose $a$ is odd. By the division theorem (\Cref{thmDivisionPreliminary}), either $a=2b$ or $a=2b+1$, for some $b \in \mathbb{Z}$. If $a=2b$, then $2$ divides $a$, contradicting the assumption that $a$ is odd; so it must be the case that $a=2b+1$. -Conversely, suppose $a=2b+1$. Then $a$ leaves a remainder of $1$ when divided by $2$. However, by the division theorem, the even numbers are precisely those that leave a remainder of $0$ when divided by $2$. It follows that $a$ is not even, so is odd. +Suponha que $a$ seja ímpar. Pelo teorema da divisão (\Cref{thmDivisionPreliminary}), ou $a=2b$ ou $a=2b+1$, para algum $b \in \mathbb{Z}$. Se $a=2b$, então $2$ divide $a$, contradizendo a suposição de que $a$ é ímpar; então deve ser o caso de $a=2b+1$. + +Por outro lado, suponha $a=2b+1$. Então $a$ deixa um resto de $1$ quando dividido por $2$. Porém, pelo teorema da divisão, os números pares são justamente aqueles que deixam resto $0$ quando divididos por $2$. Segue-se que $a$ não é par, então é ímpar. \end{cproof} -The elimination rule for the negation operator \elimrule{\neg} simply says that a proposition can't be true and false at the same time. + +A regra de eliminação para o operador de negação \elimrule{\neg} simplesmente diz que uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. \begin{strategy}[Assuming negations] \label{strAssumingNegations} -If an assumption in a proof has the form $\neg p$, then any derivation of $p$ leads to a contradiction. +Se uma suposição em uma prova tem a forma $\neg p$, então qualquer derivação de $p$ leva a uma contradição. \end{strategy} -The main use of \Cref{strAssumingNegations} is for obtaining the contradiction in a proof by contradiction---in fact, we have already used it in our examples of proof by contradiction! As such, we will not dwell on it further. - -\subsection*{Logical axioms} +O principal uso de \Cref{strAssumingNegations} é para obter a contradição em uma prova por contradição — na verdade, já a usamos em nossos exemplos de prova por contradição! Como tal, não nos deteremos mais no assunto. -We wrap up this section by introducing a couple of additional logical rules (\textit{axioms}) that we will use in our proofs. +\subsection*{Axiomas lógicos} -The first is the so-called \textit{law of excluded middle}, which appears so obvious that it is not even worth stating (let alone naming)---what it says is that every proposition is either true or false. But beware, as looks can be deceiving; the law of excluded middle is a non-constructive axiom, meaning that it should not be accepted in settings it is important to keep track of how a proposition is proved---simply knowing that a proposition is either true or false tells us nothing about how it might be proved or refuted. In most mathematical contexts, though, it is accepted without a second's thought. +Encerramos esta seção introduzindo algumas regras lógicas adicionais (\textit{axiomas}) que usaremos em nossas provas. +A primeira é a chamada \textit{lei do terceiro excluído}, que parece tão óbvia que nem vale a pena afirmar (muito menos nomear) --- o que ela diz é que toda proposição é verdadeira ou falsa. Mas cuidado, pois as aparências enganam; a lei do terceiro excluído é um axioma não construtivo, o que significa que não deve ser aceito em ambientes onde é importante acompanhar como uma proposição é provada - o simples fato de saber que uma proposição é verdadeira ou falsa não nos diz nada sobre como isso pode ser provado ou refutado. Na maioria dos contextos matemáticos, porém, isso é aceito sem pensar duas vezes. \begin{axiom}[Law of excluded middle] \label{axLEM} \index{law of excluded middle} -Let $p$ be a propositional formula. Then $p \vee (\neg p)$ is true. +Seja $p$ uma formula proposicional. Então $p \vee (\neg p)$ é verdadeiro. \end{axiom} -The law of excluded middle can be represented diagrammatically as follows; there are no premises above the line, since we are simply asserting that it is true. +A lei do terceiro excluído pode ser representada esquematicamente como segue; não há premissas acima da linha, pois estamos simplesmente afirmando que ela é verdadeira. \begin{center} \begin{prooftree} @@ -965,49 +965,49 @@ \subsection*{Logical axioms} \end{prooftree} \end{center} -\begin{strategy}[Using the law of excluded middle] +\begin{strategy}[Usando a lei do meio excluído] \label{strLEM} -In order to prove a proposition $q$ is true, it suffices to split into cases based on whether some other proposition $p$ is true or false, and prove that $q$ is true in each case. +Para provar que uma proposição $q$ é verdadeira, basta dividir em casos com base no fato de alguma outra proposição $p$ ser verdadeira ou falsa, e provar que $q$ é verdadeira em cada caso. \end{strategy} -The proof of \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven} below makes use of the law of excluded middle---note that we defined `odd' to mean `not even' (\Cref{defEvenOdd}). +A prova de \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven} abaixo faz uso da lei do terceiro excluído --- observe que definimos `ímpar' como significando `não par' (\Cref{defEvenOdd}). \begin{proposition} \label{propIfProductEvenThenSomeFactorEven} -Let $a,b \in \mathbb{Z}$. If $ab$ is even, then either $a$ is even or $b$ is even (or both). -\end{proposition} -\begin{cproof} -Suppose $a,b \in \mathbb{Z}$ with $ab$ even. +Seja $a,b \in \mathbb{Z}$. Se $ab$ for par, então $a$ é par ou $b$ é par (ou ambos). +\end{proposição} +\begin{cprova} +Suponha $a,b \in \mathbb{Z}$ com $ab$ par. \begin{itemize} -\item Suppose $a$ is even---then we're done. -\item Suppose $a$ is odd. If $b$ is also odd, then by \Cref{propOddIffRemainderOfOne} can write +\item Suponha que $a$ seja par --- então terminamos. +\item Suponha que $a$ seja ímpar. Se $b$ também for ímpar, então por \Cref{propOddIffRemainderOfOne} podemos escrever \[ a = 2k+1 \quad \text{and} \quad b=2\ell+1 \] -for some integers $k,\ell$. This implies that +para alguns inteiros $k,\ell$. Isso implica que \[ ab = (2k+1)(2\ell+1) = 4k\ell + 2k + 2\ell + 1 = 2(\underbrace{2k\ell + k + \ell}_{\in \mathbb{Z}}) + 1 \] -so that $ab$ is odd. This contradicts the assumption that $ab$ is even, and so $b$ must in fact be even. +então $ab$ é estranho. Isto contradiz a suposição de que $ab$ é par e, portanto, $b$ deve de fato ser par. \end{itemize} -In both cases, either $a$ or $b$ is even. +Em ambos os casos, $a$ ou $b$ são pares. \end{cproof} \begin{exercise} -Reflect on the proof of \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven}. Where in the proof did we use the law of excluded middle? Where in the proof did we use proof by contradiction? What was the contradiction in this case? Prove \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven} twice more, once using contradiction and not using the law of excluded middle, and once using the law of excluded middle and not using contradiction. +Reflita sobre a prova de \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven}. Onde na prova usamos a lei do terceiro excluído? Onde na prova usamos a prova por contradição? Qual foi a contradição neste caso? Prove \Cref{propIfProductEvenThenSomeFactorEven} mais duas vezes, uma vez usando a contradição e não usando a lei do meio excluído, e uma vez usando a lei do meio excluído e não usando a contradição. \end{exercise} \begin{exercise} -Let $a$ and $b$ be irrational numbers. By considering the number $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, prove that it is possible that $a^b$ be rational. +Sejam $a$ e $b$ números irracionais. Considerando o número $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$, prove que é possível que $a^b$ seja racional. \hintlabel{exIrrationalExpIrrationalCanBeRational}{% -Use the law of excluded middle according to whether the proposition `$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ is rational' is true or false.} +Use a lei do meio excluído de acordo com se a proposição `$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ é racional' é verdadeira ou falsa.} \end{exercise} -Another logical rule that we will use is the \textit{principle of explosion}, which is also known by its Latin name, \textit{ex falso sequitur quodlibet}, which approximately translates to `\textit{from falsity follows whatever you like}'. +Outra regra lógica que usaremos é o \textit{princípio da explosão}, que também é conhecido pelo seu nome latino, \textit{ex falso sequitur quodlibet}, que se traduz aproximadamente como `\textit{da falsidade segue o que você quiser} '. -\begin{axiom}[Principle of explosion] +\begin{axiom}[Princípio da explosão] \label{axPrincipleOfExplosion} -If a contradiction is assumed, any consequence may be derived. +Se uma contradição for assumida, qualquer consequência pode ser derivada. \end{axiom} \begin{center} @@ -1018,48 +1018,48 @@ \subsection*{Logical axioms} \end{prooftree} \end{center} -The principle of explosion is a bit confusing on first sight. To shed a tiny bit of intuition on it, think of it as saying that both true and false propositions are consequences of a contradictory assumption. For instance, suppose that $-1 = 1$. From this we can obtain consequences that are false, such as $0=2$ by adding $1$ to both sides of the equation, and consequences that are true, such as $1=1$ by squaring both sides of the equation. +O princípio da explosão é um pouco confuso à primeira vista. Para lançar um pouco de intuição sobre isso, pense nisso como se dissesse que tanto as proposições verdadeiras quanto as falsas são consequências de uma suposição contraditória. Por exemplo, suponha que $-1 = 1$. A partir disso podemos obter consequências que são falsas, como $0=2$ adicionando $1$ a ambos os lados da equação, e consequências que são verdadeiras, como $1=1$ ao elevar ao quadrado ambos os lados da equação. -We will rarely use the principle of explosion directly in our mathematical proofs, but we will use it in \Cref{secLogicalEquivalence} for proving logical formulae are equivalent. +Raramente usaremos o princípio da explosão diretamente em nossas provas matemáticas, mas o usaremos em \Cref{secLogicalEquivalence} para provar que fórmulas lógicas são equivalentes. \begin{tldr}{secPropositionalLogic} -\subsubsection*{Propositional formulae} +\subsubsection*{Fórmulas proposicionais} \begin{tldrlist} \tldritem{defPropositionalVariable} -Propositional variables $p,q,r,\dots$ are used to express simple propositions. +Variáveis ​​proposicionais $p,q,r,\dots$ são usadas para expressar proposições simples. \tldritem{defPropositionalFormula} -Propositional formulae are more complicated expressions built from propositional variables using logical operators, which represent phrases like `and', `or' and `if\dots{} then\dots{}'. +As fórmulas proposicionais são expressões mais complicadas construídas a partir de variáveis ​​proposicionais usando operadores lógicos, que representam frases como `e', `ou' e `se\dots{} então\dots{}'. \end{tldrlist} -\subsubsection*{Logical operators} +\subsubsection*{Operadores lógicos} \begin{tldrlist} \tldritem{defConjunction} -The \textit{conjunction} operator ($\wedge$) represents `and'. We prove $p \wedge q$ by proving both $p$ and $q$ separately; we can use an assumption of the form $p \wedge q$ by assuming both $p$ and $q$ separately. +O operador \textit{conjunção} ($\wedge$) representa 'e'. Provamos $p \wedge q$ provando $p$ e $q$ separadamente; podemos usar uma suposição da forma $p \wedge q$ assumindo $p$ e $q$ separadamente. \tldritem{defDisjunction} -The \textit{disjunction} operator ($\vee$) represents `or'. We prove $p \vee q$ by proving at least one of $p$ or $q$; we can use an assumption of the form $p \vee q$ by splitting into cases, assuming that $p$ is true in one case, and assuming that $q$ is true in the other. +O operador \textit{disjunção} ($\vee$) representa 'ou'. Provamos $p \vee q$ provando pelo menos um de $p$ ou $q$; podemos usar uma suposição da forma $p \vee q$ dividindo em casos, assumindo que $p$ é verdadeiro em um caso, e assumindo que $q$ é verdadeiro no outro. \tldritem{defImplication} -The \textit{implication} operator ($\Rightarrow$) represents `if\dots{} then\dots{}'. We prove $p \Rightarrow q$ by assuming $p$ and deriving $q$; we can use an assumption of the form $p \Rightarrow q$ by deducing $q$ whenever we know that $p$ is true. +O operador \textit{implicação} ($\Rightarrow$) representa `se\pontos{} então\pontos{}'. Provamos $p \Rightarrow q$ assumindo $p$ e derivando $q$; podemos usar uma suposição da forma $p \Rightarrow q$ deduzindo $q$ sempre que soubermos que $p$ é verdadeiro. \tldritem{defNegation} -The \textit{negation} operator] ($\neg$) represents `not'. We prove $\neg p$ by assuming $p$ and deriving something known or assumed to be false (this is called \textit{proof by contradiction}); we can use an assumption of the form $\neg p$ by arriving at a contradiction whenever we find that $p$ is true. +O operador \textit{negação}] ($\neg$) representa `não'. Provamos $\neg p$ assumindo $p$ e derivando algo conhecido ou assumido como falso (isso é chamado de \textit{prova por contradição}); podemos usar uma suposição da forma $\neg p$ chegando a uma contradição sempre que descobrirmos que $p$ é verdadeiro. \tldritem{defBiconditional} -The \textit{biconditional} operator ($\Leftrightarrow$) represents `if and only if'. The expression $p \Leftrightarrow q$ is shorthand for $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$. +O operador \textit{bicondicional} ($\Leftrightarrow$) representa `se e somente se'. A expressão $p \Leftrightarrow q$ é uma abreviação de $(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$. \end{tldrlist} -\subsubsection*{Logical axioms} +\subsubsection*{Axiomas lógicos} \begin{tldrlist} \tldritem{axLEM} -The \textit{law of excluded middle} says that $p \vee (\neg p)$ is always true. So at any point in a proof, we may split into two cases: one where $p$ is assumed to be true, and one where $p$ is assumed to be false. +A \textit{lei do meio excluído} diz que $p \vee (\neg p)$ é sempre verdadeiro. Portanto, em qualquer ponto de uma prova, podemos dividir em dois casos: um em que $p$ é assumido como verdadeiro e outro em que $p$ é assumido como falso. \tldritem{axPrincipleOfExplosion} -The\textit{ principle of explosion} says that if a contradiction is introduced as an assumption, then any conclusion at all can be derived. +O \textit{princípio da explosão} diz que se uma contradição for introduzida como uma suposição, então qualquer conclusão pode ser derivada. \end{tldrlist} \end{tldr} diff --git a/book/sets/sets.tex b/book/sets/sets.tex index 0bf489e..4c852b2 100644 --- a/book/sets/sets.tex +++ b/book/sets/sets.tex @@ -3,9 +3,9 @@ \section{Sets} \secbegin{secSets} \index{set|(} -We begin by redefining the notion of a \textit{set} with a notch more precision than we provided in \Cref{chGettingStarted}. At their core, sets seem extremely simple---sets are just collections of objects---except that if not kept in check, this characterisation of a set leads to logical inconsistencies, such as the infamous \textit{Russell's paradox}. +Começamos redefinindo a noção de\textit{conjunto} com um pouco mais de precisão do que fornecemos em \Cref{chGettingStarted}. Em sua essência, os conjuntos parecem extremamente simples – conjuntos são apenas coleções de objetos – exceto que, se não forem controlados, essa caracterização de um conjunto leva a inconsistências lógicas, como o infame \textit{paradoxo de Russell}. -These logical paradoxes can be overcome by restricting ourselves to working inside a \textit{universe} $\mathcal{U}$, which we consider to be a set which is so big that it contains all of the mathematical objects that we want to talk about. This is a subtle issue, which is well beyond the scope of this section, but is discussed further in \Cref{secZFC}. +Esses paradoxos lógicos podem ser superados restringindo-nos a trabalhar dentro de um \textit{universo} U\mathcal{U}, que consideramos ser um conjunto tão grande que contém todos os objetos matemáticos sobre os quais queremos falar. Esta é uma questão sutil, que está muito além do escopo desta seção, mas será discutida mais detalhadamente em \Cref{secZFC}. \begin{definition} \label{defSet} @@ -13,102 +13,103 @@ \section{Sets} \index{element} \index{universal set} \index{universe!of discourse} -A \textbf{set}\index{set} is a collection of \textbf{elements} from a specified \textbf{universe of discourse}\index{universe of discourse}. The collection of everything in the universe of discourse is called the \textbf{universal set}\index{set!universal}, denoted by $\mathcal{U}$\nindex{U}{$\mathcal{U}$}{universal set} \inlatex{mathcal\{U\}}\lindexmmc{mathcal}{$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \dots$}. +Um \textbf{conjunto}\index{set} é uma coleção de \textbf{elementos} de um determinado \textbf{universo de discurso}\index{universe of discourse}. A coleção de tudo no universo do discurso é chamada de \textbf{Conjunto universal}\index{set!universal}, denotado por U\mathcal{U}\nindex{U}{U\mathcal{U}}{universal set} \inlatex{mathcal\{U\}}\lindexmmc{mathcal}{A,B,…\mathcal{A}, \mathcal{B}, \dots}. -The expression $x \in X$\nindex{in}{$\in$}{element} \inlatex{in}\lindexmmc{in}{$\in$} denotes the statement that $x$ is an element of $X$; we write $x \not \in X$ \inlatex{not\textbackslash{}in}\lindexmmc{not}{$\not\in, \not\equiv, \dots$} to mean $\neg (x \in X)$, that is that $x$ is not an element of $X$. +A expressão x∈Xx \in X\nindex{in}{∈\in}{element} \inlatex{in}\lindexmmc{in}{∈\in} denota a afirmação de que xx é um elemento de XX; nós escrevemos x∉Xx \not \in X \inlatex{not\textbackslash{}in}\lindexmmc{not}{\not\in, \not\equiv, \dots\not\in, \not\equiv, \dots} para significar \neg (x \in X)\neg (x \in X), isso é que xx não é um elemento de XX. \end{definition} \begin{example} -In \Cref{chGettingStarted}, we introduced five sets: the set $\mathbb{N}$ of natural numbers, the set $\mathbb{Z}$ of integers, the set $\mathbb{Q}$ of rational numbers, the set $\mathbb{R}$ of real numbers and the set $\mathbb{C}$ of complex numbers. +Em \Cref{chGettingStarted}, introduzimos cinco conjuntos: o conjunto \mathbb{N}\mathbb{N} de números naturais, o conjunto \mathbb{Z}\mathbb{Z} de inteiros, o conjunto \mathbb{Q}\mathbb{Q} de números racionais, o conjunto \mathbb{R}\mathbb{R} de números reais e o conjunto \mathbb{C}\mathbb{C} de números complexos. \end{example} \begin{exercise} -Which of the following propositions are true, and which are false? -\[ \frac{1}{2} \in \mathbb{Z} \qquad \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathcal{U} \qquad \frac{1}{2} \in \mathcal{U} \] +Quais das seguintes proposições são verdadeiras e quais são falsas? + \frac{1}{2} \in \mathbb{Z} \qquad \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathcal{U} \qquad \frac{1}{2} \in \mathcal{U} \frac{1}{2} \in \mathbb{Z} \qquad \frac{1}{2} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathbb{Q} \qquad \mathbb{Z} \in \mathcal{U} \qquad \frac{1}{2} \in \mathcal{U} \hintlabel{exElementsOfSets}{% -Think about what `$a \in X$' \textit{really means}---don't let your intuition fool you. +Pense sobre o que `a \in Xa \in X' \textit{realmente significa}---não se deixe enganar pela sua intuição. } \end{exercise} -We will avoid referring explicitly to the universal set $\mathcal{U}$ whenever possible, but it will always be there in the background. This is convenient because we no longer need to worry about the domain of discourse of free variables (as we did in \Cref{defPredicate}), so that we can abbreviate `$\forall x \in \mathcal{U},\, p(x)$' by `$\forall x,\, p(x)$', and `$\exists x \in \mathcal{U},\, p(x)$' by `$\exists x,\, p(x)$'. +Evitaremos referir explicitamente ao conjunto universal \mathcal{U}\mathcal{U} sempre que possível, mas sempre estará lá em segundo plano. Isto é conveniente porque não precisamos mais nos preocupar com o domínio do discurso das variáveis ​​livres (como fizemos em \Cref{defPredicate}), para que possamos abreviar `\forall x \in \mathcal{U},\, p(x)\forall x \in \mathcal{U},\, p(x)' por `\forall x,\, p(x)\forall x,\, p(x)', e `\exists x \in \mathcal{U},\, p(x)\exists x \in \mathcal{U},\, p(x)' por `\exists x,\, p(x)\exists x,\, p(x)'. -Note that under this convention: +Observe que sob esta convenção: \begin{itemize} -\item $\forall x \in X,\, p(x)$ is logically equivalent to $\forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x))$; and -\item $\exists x \in X,\, p(x)$ is logically equivalent to $\exists x,\, (x \in X \wedge p(x))$. +\item \forall x \in X,\, p(x)\forall x \in X,\, p(x) é logicamente equivalente a \forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x))\forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x)); and +\item \exists x \in X,\, p(x)\exists x \in X,\, p(x) é logicamente equivalente a \exists x,\, (x \in X \wedge p(x))\exists x,\, (x \in X \wedge p(x)). \end{itemize} -\subsection*{Specifying a set} -One way of defining a set is simply to describe it in words, like we have done up to now. There are other, more concise ways of specifying sets, which also remove such ambiguity from the process. +\subsection*{Especificando um conjunto} +Uma forma de definir um conjunto é simplesmente descrevê-lo em palavras, como fizemos até agora. Existem outras formas mais concisas de especificar conjuntos, que também eliminam essa ambiguidade do processo. \textbf{Lists.}\index{list notation} -One way is simply to provide a \textbf{list} of the elements of the set. To specify that the list denotes a set, we enclose the list with $\{$curly brackets$\}$\nindex{set}{$\{ \cdots \}$}{set notation} \inlatex{\{,\textbackslash{}\}}\lindexmmc{\{\dots\textbackslash{}\}}{$\{\dots\}$}. For example, the following is a specification of a set $X$, whose elements are the natural numbers between $0$ and $5$ (inclusive): +Uma maneira é simplesmente fornecer uma \textbf{lista} dos elementos do conjunto. Para especificar que a lista denota um conjunto, colocamos a lista entre $\{$curly brackets$\}$\nindex{set}{$\{ \cdots \}$}{set notation} \inlatex{\{,\textbackslash{}\}}\lindexmmc{\{\dots\textbackslash{}\}}{$\{\dots\}$}. Por exemplo, o seguinte é uma especificação de um conjunto $X$, cujos elementos são os números naturais entre $0$ e $5$ (inclusive): \[ X = \{ 0, 1, 2, 3, 4, 5 \} \] -\textbf{Implied lists.}\index{implied list notation} -Sometimes a list might be too long to write out---maybe even infinite---or the length of the list might depend on a variable. In these cases it will be convenient to use an \textbf{implied list}, in which some elements of the list are written, and the rest are left implicit by writing an ellipsis `$\dots$' \inlatex{dots}\lindexmmc{dots}{$\dots$}. For example, the statement +\textbf{Listas implícitas.}\index{implied list notation} +Às vezes, uma lista pode ser muito longa para ser escrita — talvez até infinita — ou o comprimento da lista pode depender de uma variável. Nestes casos será conveniente usar uma \textbf{lista implícita}, na qual alguns elementos da lista são escritos, e o resto fica implícito escrevendo reticências `$\dots$' \inlatex{dots}\lindexmmc{dots}{$\dots$}. Por exemplo, a afirmação \[ X = \{ 1, 4, 9, \dots, n^2 \} \] -means that $X$ is the set whose elements are all the square numbers from $1$ to $n^2$, where $n$ is some number. Implied lists can be ambiguous, since they rely on the reader's ability to infer the pattern being followed, so use with caution! +significa que $X$ é o conjunto cujos elementos são todos os números quadrados de $1$ até $n^2$, onde $n$ é algum número. As listas implícitas podem ser ambíguas, pois dependem da capacidade do leitor de inferir o padrão que está sendo seguido, portanto, use-as com cuidado! -\textbf{Set-builder notation.}\index{set-builder notation} -In general, implied lists can be ambiguous, so in practice they are avoided unless the implied list is very simple, such as a set of consecutive numbers like $\{3, 4, \dots, 9 \}$. In fact, many sets can't even be listed in this way. +\textbf{Notação de construtor de conjunto.}\index{set-builder notation} +Em geral, as listas implícitas podem ser ambíguas, portanto, na prática, são evitadas, a menos que a lista implícita seja muito simples, como um conjunto de números consecutivos como $\{3, 4, \dots, 9 \}$. Na verdade, muitos conjuntos nem podem ser listados desta forma. -To get around this, we can use \textit{set-builder notation}, which is a means of specifying a set in terms of the properties its elements satisfy. Given a set $X$, the set of elements of $X$ satisfying some property $p(x)$ is denoted +Para contornar isso, podemos usar \textit{notação de construtor de conjunto}, que é um meio de especificar um conjunto em termos das propriedades que seus elementos satisfazem. Dado um conjunto $X$, o conjunto de elementos de $X$ satisfazendo alguma propriedade $p(x)$ é denotado \[ \{ x \in X \mid p(x) \} \] -The bar `$\mid$' \inlatex{mid}\lindexmmc{mid}{$\mid$} separates the variable name from the formula that they make true---some authors use a colon instead (as in $\{ x \in X : p(x) \}$). +A barra `$\mid$' \inlatex{mid}\lindexmmc{mid}{$\mid$} separa o nome da variável da fórmula que eles tornam verdadeira---alguns autores usam dois pontos em vez disso (como em $\{ x \in X : p(x) \}$). -The set $\{ x \in X \mid p(x) \}$ is read aloud as `the set of $x \in X$ such that $p(x)$', but beware---neither the bar `$\mid$' nor the colon `$:$' mean `such that' in other contexts. +O conjunto $\{ x \in X \mid p(x) \}$ é lido em voz alta como “o conjunto de $x \in X$ tanto que $p(x)$', mas cuidado---nem a barra `$\mid$' nem o cólon `$:$' significa `de tal modo que' em outros contextos. \begin{example} \label{exSetsSpecifyUniverses} -The set of all even integers can be written in set-builder notation as -\[ \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ is even} \} \] -For comparison, the set of all even natural numbers can be written as -\[ \{ n \in \mathbb{N} \mid n \text{ is even} \} = \{ 0, 2, 4, 6, \dots \} \] -Note that $-6$ is an element of the former set but not of the latter set, since $-6$ is an integer but is not a natural number. +O conjunto de todos os inteiros pares pode ser escrito em notação de construtor de conjuntos como +\[ \{ n \in \mathbb{Z} \mid n \text{ é par} \} \] +Para efeito de comparação, o conjunto de todos os números naturais pares pode ser escrito como +\[ \{ n \in \mathbb{N} \mid n \text{ é par} \} = \{ 0, 2, 4, 6, \dots \} \] +Note que $-6$ é um elemento do primeiro conjunto, mas não do último conjunto, uma vez que $-6$ é um número inteiro, mas não é um número natural. -Note moreover that the expression +Observe ainda que a expressão \[ \{ n \in \mathbb{Q} \mid n \text{ is even} \} \] -is meaningless, since we have not defined a notion of `evenness' for rational numbers. +não tem sentido, uma vez que não definimos uma noção de “igualdade” para números racionais. \end{example} \begin{strategy} -Let $X$ be a set and let $p(x)$ be a logical formula with free variable $x \in X$. In order to prove $a \in \{ x \in X \mid p(x) \}$, it suffices to prove $a \in X$ and that $p(a)$ is true. +Seja $X$ um conjunto e permita $p(x)$ ser uma fórmula lógica com variável livre $x \in X$. Em ordem para provar $a \in \{ x \in X \mid p(x) \}$, basta provar + $a \in X$ e que $p(a)$ é verdadeiro. \end{strategy} \begin{exercise} \label{exDyadicRatioal} \index{rational number!dyadic} -A \textbf{dyadic rational} is a rational number that can be expressed as an integer divided by a power of $2$. Express the set of all dyadic rationals using set-builder notation. +Um \textbf{racional diádico} é um número racional que pode ser expresso como um número inteiro dividido por uma potência de $2$. Expresse o conjunto de todos os racionais diádicos usando a notação construtora de conjuntos. \end{exercise} -An alternate form of set-builder notation uses an expression involving one or more variables to the left of the vertical bar, and the range of the variable(s) to the right. The elements of the set are then the values of the expression as the variable(s) vary as indicated---that is: -\[ \{ \mathsf{expr}(x) \mid x \in X \} \text{ is defined to mean } \{ y \mid \exists x \in X,\, y = \mathsf{expr}(x) \} \] -where $\mathsf{expr}(x)$ is the expression in question. +Uma forma alternativa de notação de construtor de conjunto usa uma expressão envolvendo uma ou mais variáveis ​​à esquerda da barra vertical e o intervalo da(s) variável(ões) à direita. Os elementos do conjunto são então os valores da expressão à medida que as variáveis ​​variam conforme indicado --- isto é: +\[ \{ \mathsf{expr}(x) \mid x \in X \} \text{é definido como significando} \{ y \mid \exists x \in X,\, y = \mathsf{expr}(x) \} \] +onde $\mathsf{expr}(x)$ é a expressão em questão. \begin{example} -The expression $\{ 3k+2 \mid k \in \mathbb{Z} \}$ denotes the set of all integers of the form $3k+2$, where $k \in \mathbb{Z}$. It is shorthand for $\{ n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z},\, n=3k+2 \}$. In implied list notation, we could write this set as $\{ \dots, {-4}, {-1}, 2, 5, 8, \dots \}$. +A expressão $\{ 3k+2 \mid k \in \mathbb{Z} \}$ denota o conjunto de todos os inteiros da forma $3k+2$, onde $k \in \mathbb{Z}$.É uma abreviatura para $\{ n \in \mathbb{Z} \mid \exists k \in \mathbb{Z},\, n=3k+2 \}$. Na notação de lista implícita, poderíamos escrever este conjunto como $\{ \dots, {-4}, {-1}, 2, 5, 8, \dots \}$. \end{example} \begin{exercise} -Express the set of dyadic rationals (defined in \Cref{exDyadicRatioal}) in this alternate form of set-builder notation. +Expresse o conjunto de racionais diádicos (definido em \Cref{exDyadicRatioal}) nesta forma alternativa de notação de construtor de conjunto. \end{exercise} -Set-builder notation is useful for defining sets based on the properties they satisfy, as in \Cref{defBracketN,defIntervals} below. +A notação construtora de conjuntos é útil para definir conjuntos com base nas propriedades que eles satisfazem, como em \Cref{defBracketN,defIntervals} abaixo. \begin{restatable}{definition}{RSdefBracketN} \label{defBracketN} -Let $n \in \mathbb{N}$. The set $[n]$ is defined by $[n] = \{ k \in \mathbb{N} \mid 1 \le k \le n \}$. +Seja $n \in \mathbb{N}$. O conjunto $[n]$ é definido por $[n] = \{ k \in \mathbb{N} \mid 1 \le k \le n \}$. \end{restatable} \begin{example} \label{exBracketN} -In implied list notation, $[n] = \{ 1, 2, \dots, n \}$. For example, $[4] = \{ 1, 2, 3, 4 \}$. Note that $[0]$ has no elements (it is \textit{empty}---see \Cref{defInhabited}), since there are no natural numbers $k$ satisfying the inequality $1 \le k \le 0$. +Na notação de lista implícita, $[n] = \{ 1, 2, \dots, n \}$. Por exemplo, $[4] = \{ 1, 2, 3, 4 \}$. Note que $[0]$ não tem elementos (isto é \textit{vazio}---veja \Cref{defInhabited}), já que não existem números naturais $k$ satisfazendo a desigualdade $1 \le k \le 0$. \end{example} -While not particularly interesting yet, sets of the form $[n]$ will be fundamental throughout \Cref{chCombinatorics}, as they are used to define the notion of a \textit{finite set}, as well as the \textit{size} of a finite set. +Embora ainda não sejam particularmente interessantes, conjuntos da forma $[n]$ serão fundamentais em todo \Cref{chCombinatorics}, como eles são usados ​​para definir a noção de um \textit{conjunto finito}, assim como o \textit{tamanho} de um conjunto finito. -Intervals are particular subsets of $\mathbb{R}$ that are ubiquitous in mathematics, particularly in analysis and topology. +Intervalos são subconjuntos particulares de $\mathbb{R}$ que são onipresentes na matemática, particularmente em análise e topologia. \begin{definition}[Intervals of the real line] \label{defIntervals} @@ -122,8 +123,8 @@ \subsection*{Specifying a set} \nindex{abint3}{$(a,b]$}{half-open interval} \nindex{abint4}{$[a,b)$}{half-open interval} \nindex{abint5}{$(-\infty,a)$}{unbounded interval} -\nindex{abint6}{$(a,\infty)$}{unbounded interval} -Let $a,b \in \mathbb{R}$. The \textbf{open interval} $(a,b)$, the \textbf{closed interval} $[a,b]$, and the \textbf{half-open intervals} $[a,b)$ and $(a,b]$ from $a$ to $b$ are defined by +\nindex{abint6}{(a,∞)(a,\infty)}{unbounded interval} +Seja $a,b \in \mathbb{R}$. O \textbf{intervalo aberto} $(a,b)$, o \textbf{intervalo fechado} $[a,b]$, e o \textbf{intervalos semiabertos} $[a,b)$ e $(a,b]$ de $a$ até $b$ são definidos por \begin{align*} \hspace{35pt} (a,b) &= \{ x \in \mathbb{R} \mid a < x < b \} & @@ -133,7 +134,7 @@ \subsection*{Specifying a set} & [a,b] &= \{ x \in \mathbb{R} \mid a \le x \le b \} \end{align*} -We further define the \textbf{unbounded intervals} $(-\infty, a)$, $(-\infty, a]$, $[a, \infty)$ and $(a, \infty)$ \inlatex{infty}\lindexmmc{infty}{$\infty$} by +Definimos ainda o \textbf{intervalos ilimitados} $(-\infty, a)$, $(-\infty, a]$, $[a, \infty)$ e $(a, \infty)$ \inlatex{infty}\lindexmmc{infty}{$\infty$} por \begin{align*} \hspace{35pt} (-\infty,a) &= \{ x \in \mathbb{R} \mid x < a \} & @@ -146,7 +147,7 @@ \subsection*{Specifying a set} \end{definition} \begin{example} -The following illustration depicts the open interval $(-2,5)$. +A ilustração a seguir descreve o intervalo aberto $(-2,5)$. \vspace{-10pt} \begin{center} @@ -161,13 +162,14 @@ \subsection*{Specifying a set} \node[at={(3,3pt)},above]{$5$}; \end{tikzpicture} \end{center} -The hollow circles $\circ$ indicate that the endpoints are not included in the interval. +Os círculos vazios $\circ$ indicam que os pontos finais não estão incluídos no intervalo. \end{example} -Be warned that the use of the symbol $\infty$ is misleading, since it suggests that the symbol $\infty$ on its own has a specific meaning (or, worse, that it refers to a real number). It doesn't---it is just a symbol that suggests unboundedness of the interval in question. A less misleading way of writing $[a, \infty)$, for instance, might be $[a, {\to})$ or $\mathbb{R}^{\ge a}$; however, $[a,\infty)$ is standard, so it is what we will write. +Esteja avisado(a) que o uso do símbolo $\infty$ é enganoso, pois sugere que o símbolo $\infty$ por si só tem um significado específico (ou, pior, que se refere a um número real). Isso não acontece - é apenas um símbolo que sugere a ilimitação do intervalo em questão. Uma maneira menos enganosa de escrever $[a, \infty)$, por exemplo, pode ser $[a, {\to})$ ou $\mathbb{R}^{\ge a}$; no entanto, $[a,\infty)$ é padrão, então é o que escreveremos +. \begin{exercise} -For each of the following illustrations, find the interval that it depicts. A filled circle $\bullet$ indicates that an end-point is included in the interval, whereas a hollow circle $\circ$ indicates that an end-point is not included in the interval. +Para cada uma das ilustrações a seguir, encontre o intervalo que ela representa. Um círculo preenchido $\bullet$ indica que um ponto final está incluído no intervalo, enquanto um círculo vazio $\circ$ indica que um ponto final não está incluído no intervalo. \begin{enumerate}[(a)] \item @@ -211,119 +213,121 @@ \subsection*{Specifying a set} \end{enumerate} \end{exercise} -\subsection*{Subsets} +\subsection*{Subconjuntos} -It is often the case that everything that is also an element of one set is an element of another set. For example, every integer is a rational number; that is +Muitas vezes acontece que tudo que também é elemento de um conjunto é elemento de outro conjunto. Por exemplo, todo número inteiro é um número racional; aquilo é \[ \forall n \in \mathbb{Z},\, n \in \mathbb{Q} \] -We can say this more concisely by saying that $\mathbb{Z}$ is a \textit{subset} of $\mathbb{Q}$. +Podemos dizer isso de forma mais concisa dizendo que $\mathbb{Z}$ é um \textit{subconjunto} de $\mathbb{Q}$. \begin{definition} \label{defSubset} \index{subset} -Let $X$ be a set. A \textbf{subset} of $X$ is a set $U$ such that +Seja $X$ um conjunto. Um \textbf{subconjunto} de $X$ é um conjunto $U$ tal que \[ \forall a,\, (a \in U \Rightarrow a \in X) \] -We write $U \subseteq X$\nindex{subset}{$\subseteq$}{subset} \inlatex{subseteq}\lindexmmc{subseteq}{$\subseteq$} for the assertion that $U$ is a subset of $X$. +Nós escrevemos $U \subseteq X$\nindex{subset}{$\subseteq$}{subset} \inlatex{subseteq}\lindexmmc{subseteq}{$\subseteq$} pela afirmação de que $U$ é um subconjunto de $X$. -Additionally, the notation $U \nsubseteq X$ \inlatex{nsubseteq}\lindexmmc{nsubseteq}{$\nsubseteq$} means that $U$ is not a subset of $X$, and the notation $U \subsetneqq X$ \inlatex{subsetneqq}\lindexmmc{subsetneqq}{$\subsetneqq$} means that $U$ is a \textbf{proper subset} of $X$, that is a subset of $X$ that is not equal to $X$. +Além disso, a notação $U \nsubseteq X$ \inlatex{nsubseteq}\lindexmmc{nsubseteq}{$\nsubseteq$} significa que $U$ não é um subconjunto de $X$, e a notação $U \subsetneqq X$ \inlatex{subsetneqq}\lindexmmc{subsetneqq}{$\subsetneqq$} significa que $U$ é um \textbf{subconjunto próprio} de $X$, isso é um subconjunto de $X$ isso não é igual $X$. \end{definition} -\begin{strategy}[Proving a subset containment] -In order to prove that a set $U$ is a subset of a set $X$, it suffices to take an arbitrary element $a \in U$ and prove that $a \in X$. +\begin{strategy}[Provando uma contenção de subconjunto] +Para provar que um conjunto $U$ é um subconjunto de um conjunto $X$, basta pegar um elemento arbitrário $a \in U$ e provar isso $a \in X$. \end{strategy} \begin{example} -Every set is a subset of itself---that is, $X \subseteq X$ for all sets $X$. The proof of this is extremely simple: we must prove $\forall x \in X,\, x \in X$. But then this is trivial: let $x \in X$, then $x \in X$ by assumption. Done! +Todo conjunto é um subconjunto de si mesmo – isto é, $X \subseteq X$ para todos os conjuntos de $X$. A prova disso é extremamente simples: devemos provar $\forall x \in X,\, x \in X$. Mas então isso é trivial: se $x \in X$, então $x \in X$ por suposição. Feito! \end{example} \begin{example} -Let $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ with $a c$ and $b \le d$. +Seja $a,b,c,d \in \mathbb{R}$ com $a c$ e $b \le d$. \end{exercise} \begin{example} -The number sets from \Cref{chGettingStarted} are related by the following chain of subset inclusions. +Os conjuntos de números de \Cref{chGettingStarted} estão relacionados pela seguinte cadeia de inclusões de subconjuntos. \[ \mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Q} \subseteq \mathbb{R} \subseteq \mathbb{C} \] \end{example} -The following proposition proves a property of subsethood known as \textit{transitivity}---we'll revisit this property in \Cref{secRelations}. +A seguinte proposição prova uma propriedade de subconjunto conhecida como \textit{transitividade}---revisitaremos esta propriedade em \Cref{secRelations}. \begin{proposition} \label{propSubsetTransitive} -Let $X,Y,Z$ be sets. If $X \subseteq Y$ and $Y \subseteq Z$, then $X \subseteq Z$. +Seja $X,Y,Z$ conjuntos. Se $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq Z$, então $X \subseteq Z$. \end{proposition} \begin{cproof} -Suppose that $X \subseteq Y$ and $Y \subseteq Z$. We need to prove $X \subseteq Z$. +Suponha que $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq Z$. Nós precisamos provar $X \subseteq Z$. -So let $a \in X$. Since $X \subseteq Y$, it follows from \Cref{defSubset} that $a \in Y$; and since $Y \subseteq Z$, it follows again from \Cref{defSubset} that $a \in Z$. +Então seja $a \in X$. Since $X \subseteq Y$, segue de \Cref{defSubset} que $a \in Y$; e desde $Y \subseteq Z$, segue novamente de \Cref{defSubset} que $a \in Z$. Hence $X \subseteq Z$, as required. \end{cproof} -\subsection*{Set equality} +\subsection*{Definindo iqualdade} -This section is all about defining sets, comparing sets, and building new sets from old, and so to make much more progress, we first need to establish what we mean when we say that two sets are \textit{equal}. +Esta seção trata de definir conjuntos, comparar conjuntos e construir novos conjuntos a partir dos antigos e, portanto, para progredir muito mais, primeiro precisamos estabelecer o que queremos dizer quando dizemos que dois conjuntos são \textit{iguais}. \begin{discussion} \label{dscSetEquality} -Let $X$ and $Y$ be sets. What should it mean to say that $X$ and $Y$ are equal? Try to provide a precise definition of equality of sets before reading on. +Seja $X$ e $Y$ ser conjuntos. O que deveria significar dizer isso $X$ e $Y$ são iguais? Tente fornecer uma definição precisa de igualdade de conjuntos antes de continuar lendo. \end{discussion} -There are different possible notions of `sameness' for sets: we might want to say that two sets $X$ and $Y$ are equal when they have quite literally the same definition; or we might want to say that $X$ and $Y$ are equal when they contain the same objects as elements. For instance, suppose $X$ is `the set of all odd natural numbers' and $Y$ is `the set of all integers that are differences of consecutive perfect squares'---in this case, the first of these characterisations of equality might lead us to say $X \ne Y$, whereas the second would lead us to say $X = Y$. +Aqui estão diferentes noções possíveis de “mesmice” para conjuntos: poderíamos querer dizer que dois conjuntos $X$ e $Y$ são iguais quando têm literalmente a mesma definição; ou podemos querer dizer isso $X$ e $Y$ são iguais quando contêm os mesmos objetos que os elementos. Por exemplo, suponha $X$ é 'o conjunto de todos os números naturais ímpares' e $Y$ é 'o conjunto de todos os inteiros que são diferenças de quadrados perfeitos consecutivos' --- neste caso, a primeira destas caracterizações de igualdade pode nos levar a dizer $X \ne Y$, enquanto a segunda nos levaria a dizer $X = Y$. -Clearly, we have to state our terms at some point. And that point is now. +Claramente, teremos que declarar nossos termos em algum momento. E esse ponto é agora. \begin{axiom}[Set extensionality] \label{axSetEquality} \index{set equality} \index{extensionality} -Let $X$ and $Y$ be sets. Then $X=Y$ if and only if $\forall a,\, (a \in X \Leftrightarrow a \in Y)$, or equivalently, if $X \subseteq Y$ and $Y \subseteq X$. +Sejam $X$ e $Y$ os conjuntos. Então $X=Y$ se e apenas se $\forall a,\, (a \in X \Leftrightarrow a \in Y)$, ou equivalentemente, se $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq X$. \end{axiom} -This characterisation of set equality suggests the following strategy for proving that two sets are equal. +Esta caracterização da igualdade de conjuntos sugere a seguinte estratégia para provar que dois +conjuntos são iguais. \begin{strategy}[Proof by double containment] -In order to prove that a set $X$ is equal to a set $Y$, it suffices to: +Para provar que um conjunto $X$ é igual a um conjunto $Y$, basta: \begin{itemize} -\item Prove $X \subseteq Y$, i.e.\ let $a \in X$ be an arbitrary element, and derive $a \in Y$; and then -\item Prove $X \supseteq Y$, i.e.\ let $a \in Y$ be an arbitrary element, and derive $a \in X$. +\item Prove $X \subseteq Y$, i.e.\ Seja $a \in X$ ser um elemento arbitrário e derivar $a \in Y$; and then +\item Prove $X \supseteq Y$, i.e.\ Seja $a \in Y$ ser um elemento arbitrário e derivar $a \in X$. \end{itemize} -We often write `($\subseteq$)' and `($\supseteq$)' to indicate the direction of the containment being proved. +Muitas vezes escrevemos `($\subseteq$)' e `($\supseteq$)' para indicar a direção da contenção que está sendo comprovada. \end{strategy} \begin{example} \label{exPositiveNegativeSetBuilderNotation} -We prove that $\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \} = [-1,1]$ by double containment. +Nós provamos isso $\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \} = [-1,1]$ por dupla contenção. \begin{itemize} -\item ($\subseteq$) Let $a \in \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \}$. Then $a \in \mathbb{R}$ and $a^2 \le 1$, so that $(1-a)(1+a) = 1-a^2 \ge 0$. It follows that either: +\item ($\subseteq$) Seja $a \in \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \}$. Então $a \in \mathbb{R}$ e $a^2 \le 1$, so that $(1-a)(1+a) = 1-a^2 \ge 0$. Segue-se que: \begin{itemize} -\item $1-a \ge 0$ and $1+a \ge 0$, in which case $a \le 1$ and $a \ge -1$, so that $a \in [-1,1]$. -\item $1-a \le 0$ and $1+a \le 0$, in which case $a \ge 1$ and $a \le -1$, which is a contradiction since $-1 < 1$. +\item $1-a \ge 0$ and $1+a \ge 0$, nesse caso $a \le 1$ e $a \ge -1$, para que $a \in [-1,1]$. +\item $1-a \le 0$ and $1+a \le 0$, nesse caso $a \ge 1$ e $a \le -1$, o que é uma contradição já que $-1 < 1$. \end{itemize} -So we must have $a \in [-1,1]$, as required. +Então devemos ter $a \in [-1,1]$, como requerido. -\item ($\supseteq$) Let $a \in [-1,1]$. Then $-1 \le a \le 1$, so $|a| \le 1$, and hence $a^2 = |a|^2 \le 1$, so that $a \in \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \}$, as required. +\item ($\supseteq$) Seja $a \in [-1,1]$. Então $-1 \le a \le 1$, so $|a| \le 1$, e, portanto $a^2 = |a|^2 \le 1$, para que $a \in \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 \le 1 \}$, +como requerido. \end{itemize} \end{example} \begin{exercise} -Prove that $\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < x \} = (0,1)$. +Prove que $\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 < x \} = (0,1)$. \end{exercise} -The set extensionality axiom has the consequence that sets are independent of the order in which their elements appear in list notation, and they are independent of how many times a single element is written---that is, an element of a set is only `counted' once, even if it appears multiple times in list notation. This is illustrated in the following exercise. +O axioma da extensionalidade dos conjuntos tem como consequência que os conjuntos são independentes da ordem em que seus elementos aparecem na notação de lista e são independentes de quantas vezes um único elemento é escrito --- isto é, um elemento de um conjunto é apenas ` contado' uma vez, mesmo que apareça várias vezes na notação de lista. Isso é ilustrado no exercício a seguir. \begin{exercise} -Prove by double containment that $\{ 0, 1 \} = \{ 1, 0 \}$ and $\{ 0, 0 \} = \{ 0 \}$. +Prove por dupla contenção que $\{ 0, 1 \} = \{ 1, 0 \}$ and $\{ 0, 0 \} = \{ 0 \}$. \end{exercise} -\subsection*{Inhabitation and emptiness} +\subsection*{Habitação e vazio} -Another fundamental example of a set is the \textit{empty set}, which is the set with no elements. But we have to be slightly careful about how we use the word `the', since it implies \textit{uniqueness}, and we don't know (yet) that two sets with no elements are necessarily equal. So first we will define what it means for a set to be empty, and then we'll show that there is exactly one empty set. +Outro exemplo fundamental de conjunto é o \textit{conjunto vazio}, que é o conjunto sem elementos. Mas temos que ter um pouco de cuidado sobre como usamos a palavra `the', uma vez que ela implica \textit{unicidade}, e não sabemos (ainda) que dois conjuntos sem elementos são necessariamente iguais. Então, primeiro definiremos o que significa um conjunto vazio e depois mostraremos que existe exatamente um conjunto vazio. \begin{definition} \label{defInhabited} @@ -332,139 +336,139 @@ \subsection*{Inhabitation and emptiness} \index{set!empty} \index{inhabited set} \index{set!inhabited} -A set $X$ is \textbf{inhabited} (or \textbf{nonempty}) if it has at least one element; otherwise, it is \textbf{empty}. +Um conjunto $X$ é \textbf{habitado} (ou \textbf{não vazio}) se possui pelo menos um elemento; caso contrário, está \textbf{vazio}. \end{definition} -The assertion that $X$ is inhabited is equivalent to the logical formula $\exists a,\, a \in X$, and the assertion that $X$ is empty is equivalent to the logical formula $\neg \exists a,\, a \in X$. This suggests the following strategy for proving that a set is inhabited, or that it is empty. +A afirmação de que XX é habitado equivale à fórmula lógica ∃a,a∈X\exists a,\, a \in X, e a afirmação de que XX está vazio é equivalente à fórmula lógica ¬∃a,a∈X\neg \exists a,\, a \in X.Isto sugere a seguinte estratégia para provar que um conjunto é habitado ou que está vazio. \begin{strategy}[Proving that a set is inhabited or empty] -In order to prove a set $X$ is inhabited, it suffices to exhibit an element. In order to prove a set $X$ is empty, assume that $X$ is inhabited---that is, that there is some element $a \in X$---and derive a contradiction. +Para provar que um conjunto XX é habitado, basta exibir um elemento. Para provar que um conjunto XX é vazio, suponha que XX seja habitado---isto é, que existe algum elemento a∈Xa \in X---e derivar uma contradição. \end{strategy} -In other texts, the term \textit{nonempty} is more common than \textit{inhabited}, but there are reasons to prefer latter. Indeed, the statement `$X$ is non-empty' translates more directly to $\neg(\neg \exists a,\, a \in X)$, which has an unnecessary double-negative and suggests a proof of inhabitation by contradiction. For this reason, we use the term \textit{inhabited} in this book. - -Emptiness may seem like a trivial condition---and it is---but owing to its canonicity, it arises all over the place. +Em outros textos, o termo \textit{não vazio} é mais comum do que \textit{habitado}, bmas há razões para preferir o último. Na verdade, a afirmação “XX não é vazio” traduz-se mais diretamente para ¬(¬∃a,a∈X)\neg(\neg \exists a,\, a \in X), que tem uma dupla negativa desnecessária e sugere uma prova de habitação por contradição. Por esta razão, usamos o termo \textit{habitado} neste livro. +O vazio pode parecer uma condição trivial – e é – mas devido à sua canonicidade, ele surge em todos os lugares. \begin{example} -The set $\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2 \}$ is inhabited since, for example $\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ and $\sqrt{2}^2 = 2$. However, the set $\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 = 2 \}$ is empty since, if it were inhabited, then there would be a rational number $x$ such that $x^2 = 2$, contrary to \Cref{propSqrt2IrrationalPreliminary}. +O conjunto {x∈R∣x2=2}\{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 = 2 \} é habitada porque, por exemplo √2∈R\sqrt{2} \in \mathbb{R} e √22=2\sqrt{2}^2 = 2. No entanto, o conjunto {x∈Q∣x2=2}\{ x \in \mathbb{Q} \mid x^2 = 2 \} está vazio pois, se fosse habitado, então haveria um número racional xx tal que x2=2x^2 = 2,contrário a +\Cref{propSqrt2IrrationalPreliminary}. \end{example} \begin{example} -We observed in \Cref{exBracketN} that the set $[0]$ is empty; here's a more formal proof. Towards a contradiction, suppose $[0]$ is inhabited. Then there is some $k \in \mathbb{N}$ such that $1 \le k \le 0$. It follows that $1 \le 0$, which contradicts the fact that $0<1$. Hence $[0]$ is empty, after all. +Observamos em \Cref{exBracketN} que o conjunto [0][0] está vazia; aqui está uma prova mais formal. Em direção a uma contradição, suponha [0][0] é habitado. Então há algum k∈Nk \in \mathbb{N} de tal modo que 1≤k≤01 \le k \le 0. Segue que 1≤01 \le 0,o que contradiz o fato de que 0<10<1. Por isso [0][0] pois afinal, está vazio. \end{example} \begin{exercise} -Let $a,b \in \mathbb{R}$. Prove that $[a,b]$ is empty if and only if $a > b$, and that $(a,b)$ is empty if and only if $a \ge b$. +Seja a,b∈Ra,b \in \mathbb{R}. Prove que [a,b][a,b] está vazio se e somente se a>ba > b, e que (a,b)(a,b) está vazio se e somente se a≥ba \ge b. \end{exercise} -The next exercise is a logical technicality, which is counterintuitive for the same reason that makes the principle of explosion (\Cref{axPrincipleOfExplosion}) difficult to grasp. However, it is extremely useful for proving facts about the empty set, as we will see soon in \Cref{thmEmptySetIsUnique}. +O próximo exercício é um detalhe técnico lógico, que é contra-intuitivo pela mesma razão que torna o princípio da explosão (\Cref{axPrincipleOfExplosion}) difícil de entender. Contudo, é extremamente útil para provar fatos sobre o conjunto vazio, como veremos em breve em \Cref{thmEmptySetIsUnique}. \begin{exercise} -Let $E$ be an empty set and let $p(x)$ be a predicate with one free variable $x$ with domain of discourse $E$. Show that the proposition $\forall x \in E,\, p(x)$ is true, and that the proposition $\exists x \in E,\, p(x)$ is false. What does the proposition $\forall x \in E,\, x \ne x$ mean in English? Is it true? +Se $E$ seja um conjunto vazio e deixe $p(x)$ ser um predicado com uma variável livre $x$ com domínio do discurso $E$. Mostre que a proposição $\forall x \in E,\, p(x)$ é verdade, e que a proposição $\exists x \in E,\, p(x)$ é falso. O que a proposição $\forall x \in E,\, x \ne x$ significa em inglês? É verdade? \hintlabel{exEverythingIsTrueOfElementsOfEmptySet}{% -Recall from the beginning of \Cref{secSets} that $\forall x \in X,\, p(x)$ is equivalent to $\forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x))$ and $\exists x \in X,\, p(x)$ is equivalent to $\exists x,\, (x \in X \wedge p(x))$. What can be said about the truth value of $x \in E$ when $E$ is empty? +Lembre-se do início de \Cref{secSets} que $\forall x \in X,\, p(x)$ é equivalente a $\forall x,\, (x \in X \Rightarrow p(x))$ e $\exists x \in X,\, p(x)$ é equivalente a $\exists x,\, (x \in X \wedge p(x))$. O que pode ser dito sobre o valor de verdade de $x \in E$ quando $E$ está vazio? } \end{exercise} -Thanks to the axiom of extensionality (\Cref{axSetEquality}), any two empty sets must be equal since they both contain the same elements---namely, no elements at all! This is made formal in the following theorem. +Graças ao axioma da extensionalidade (\Cref{axSetEquality}), quaisquer dois conjuntos vazios devem ser iguais, pois ambos contêm os mesmos elementos---ou seja, nenhum elemento! Isso é formalizado no seguinte teorema. \begin{theorem} \label{thmEmptySetIsUnique} -Let $E$ and $E'$ be sets. If $E$ and $E'$ are empty, then $E=E'$. +Sejam $E$ e $E'$ conjuntos. Se $E$ e $E'$ estão vazios, então $E=E'$. \end{theorem} \begin{proof} -Suppose that $E$ and $E'$ are empty. The assertion that $E=E'$ is equivalent to +Suponha que $E$ e $E'$ estão vazios. A afirmação de que $E=E'$ é equivalente a \[ (\forall a \in E,\, a \in E') \wedge (\forall a \in E',\, a \in E) \] -But $\forall a \in E,\, a \in E'$ and $\forall a \in E',\, a \in E$ are both true by \Cref{exEverythingIsTrueOfElementsOfEmptySet} since $E$ and $E'$ are empty. So $E=E'$, as claimed. +Mas $\forall a \in E,\, a \in E'$ e $\forall a \in E',\, a \in E$ são ambos verdadeiros por \Cref{exEverythingIsTrueOfElementsOfEmptySet} desde que $E$ e $E'$ estejam vazios. So $E=E'$, as claimed. \end{proof} -Knowing that there is one and only one empty set means that we may now make the following definition, without worrying about whether the word `the' is problematic. +Saber que existe um e apenas um conjunto vazio significa que podemos agora fazer a seguinte definição, sem nos preocupar se a palavra “o” é problemática. \begin{definition} \label{defEmptySet} \nindex{O}{$\varnothing$}{empty set} \index{empty set} \index{set!empty} -The \textbf{empty set} (also known as the \textbf{null set}) is the set with no elements, and is denoted by $\varnothing$ \inlatex{varnothing}\lindexmmc{varnothing}{$\varnothing$}. +O \textbf{conjunto vazio} (também conhecido como \textbf{conjunto nulo}) é o conjunto sem elementos e é denotado por $\varnothing$ \inlatex{varnothing}\lindexmmc{varnothing}{$\varnothing$}. \end{definition} -Some authors write $\{ \}$ instead of $\varnothing$, since $\{ \}$ is simply the empty set expressed in list notation. +Alguns autores escrevem {}\{ \} em vez de ∅\varnothing, desde {}\{ \} é simplesmente o conjunto vazio expresso em notação de lista. \begin{exercise} \label{exEmptySetSubsetOfEverySet} -Let $X$ be a set. Prove that $\varnothing \subseteq X$. +Seja XX um conjunto. Prove isso ∅⊆X\varnothing \subseteq X. \end{exercise} -\subsection*{Power sets} +\subsection*{Conjuntos de potência} \begin{definition} \label{defPowerSet} \index{power set} -Let $X$ be a set. The \textbf{power set} of $X$, written $\mathcal{P}(X)$\nindex{PX}{$\mathcal{P}(X)$}{power set} \inlatex{mathcal\{P\}}\lindexmmc{mathcal}{$\mathcal{A}, \mathcal{B}, \dots$}, is the set of all subsets of $X$. +Seja XX um conjunto. O \textbf{conjunto de potência} de XX, escrito P(X)\mathcal{P}(X)\nindex{PX}{P(X)\mathcal{P}(X)}{power set} \inlatex{mathcal\{P\}}\lindexmmc{mathcal}{A,B,…\mathcal{A}, \mathcal{B}, \dots}, é o conjunto de todos os subconjuntos de XX. \end{definition} \begin{example} -There are four subsets of $\{ 1, 2 \}$, namely -\[ \varnothing, \quad \{ 1 \}, \quad \{ 2 \}, \quad \{ 1, 2 \} \] -so $\mathcal{P}(X) = \{\varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \}\}$. +Existem quatro subconjuntos de {1,2}\{ 1, 2 \}, nomeadamente +∅,{1},{2},{1,2} \varnothing, \quad \{ 1 \}, \quad \{ 2 \}, \quad \{ 1, 2 \} +so P(X)={∅,{1},{2},{1,2}}\mathcal{P}(X) = \{\varnothing, \{ 1 \}, \{ 2 \}, \{ 1, 2 \}\}. \end{example} \begin{exercise} -Write out the elements of $\mathcal{P}(\{1, 2, 3\})$. +Escreva os elementos de P({1,2,3})\mathcal{P}(\{1, 2, 3\}). \end{exercise} \begin{exercise} -Let $X$ be a set. Show that $\varnothing \in \mathcal{P}(X)$ and $X \in \mathcal{P}(X)$. +Seja $X$ um conjunto. Mostre que $\varnothing \in \mathcal{P}(X)$ e $X \in \mathcal{P}(X)$. \end{exercise} \begin{exercise} -Write out the elements of $\mathcal{P}(\varnothing)$, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ and $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)))$. +Escreva os elementos de $\mathcal{P}(\varnothing)$, $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$ e $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)))$. \end{exercise} -Power sets are often a point of confusion because they bring the property of being a \textit{subset} of one set to that of being an \textit{element} of another, in the sense that for all sets $U$ and $X$ we have +Conjuntos de potência são muitas vezes um ponto de confusão porque trazem a propriedade de ser um \textit{subconjunto} of one set to that of being an \textit{element} of another, in the sense that for all sets $U$ and $X$ we have \[ U \subseteq X \quad \Leftrightarrow \quad U \in \mathcal{P}(X) \] This distinction looks easy to grasp, but when the sets $U$ and $X$ look alike, it's easy to fall into various traps. Here's a simple example. \begin{example} -It is true that $\varnothing \subseteq \varnothing$, but false that $\varnothing \in \varnothing$. Indeed, +É verdade que $\varnothing \subseteq \varnothing$, mas falso que $\varnothing \in \varnothing$. De fato, \begin{itemize} -\item $\varnothing \subseteq \varnothing$ means $\forall x \in \varnothing,\, x \in \varnothing$; but propositions of the form $\forall x \in \varnothing,\, p(x)$ are always true, as discussed in \Cref{exEverythingIsTrueOfElementsOfEmptySet}. -\item The empty set has no elements; if $\varnothing \in \varnothing$ were true, it would mean that $\varnothing$ had an element (that element being $\varnothing$). So it must be the case that $\varnothing \not \in \varnothing$. +\item $\varnothing \subseteq \varnothing$ means $\forall x \in \varnothing,\, x \in \varnothing$; mas proposições da forma $\forall x \in \varnothing,\, p(x)$ são sempre verdadeiras, como discutido em \Cref{exEverythingIsTrueOfElementsOfEmptySet}. +\item O conjunto vazio não possui elementos; se ∅∈∅\varnothing \in \varnothing fosse verdade, isso significaria que ∅\varnothing had an element (esse elemento sendo ∅\varnothing). Então deve ser o caso que ∅∉∅\varnothing \not \in \varnothing. \end{itemize} \end{example} -The following exercise is intended to help you overcome similar potential kinds of confusion by means of practice. Try to think precisely about what the definitions involved are. +O exercício a seguir destina-se a ajudá-lo a superar possíveis tipos de confusão semelhantes por meio da prática. Tente pensar precisamente sobre quais são as definições envolvidas. \begin{exercise} -Determine, with proof, whether or not each of the following statements is true. +Determine, com prova, se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou não. \begin{enumerate}[(a)] \item $\mathcal{P}(\varnothing) \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing))$; \item $\varnothing \in \{ \{ \varnothing \} \}$; \item $\{ \varnothing \} \in \{ \{ \varnothing \} \}$; \item $\mathcal{P}(\mathcal{P}(\varnothing)) \in \{ \varnothing, \{ \varnothing, \{ \varnothing \} \} \}$. \end{enumerate} -Repeat the exercise with all instances of `$\in$' replaced by `$\subseteq$'. +Repita o exercício com todas as instâncias de `$\in$' substituído por `$\subseteq$'. \end{exercise} \begin{tldr}{secSets} -\subsubsection*{Sets and subsets} +\subsubsection*{Conjuntos e subconjuntos} \begin{tldrlist} -\tldritem{defSet} A \textit{set} is a collection of objects (called \textit{elements}) from a fixed \textit{universe of discourse} $\mathcal{U}$; we write $x \in X$ to mean that $x$ is an element of the set $X$. Sets can be specified by (explicitly or implicitly) listing their elements $\{ x_1, x_2, \dots, x_n, \dots \}$, or by using \textit{set-builder notation} $\{ x \in X \mid p(x) \}$. -\tldritem{defSubset} A set $U$ is a \textit{subset} of a set $X$, written $U \subseteq X$, if $\forall a,\, (a \in U \Rightarrow a \in X)$. To prove that $U \subseteq X$, it suffices to introduce a variable $a$, assume that $a \in U$, and derive $a \in X$. -\tldritem{axSetEquality} Sets $X$ and $Y$ are equal if and only if $\forall a,\, (a \in X \Leftrightarrow a \in Y)$. In order to prove that $X = Y$, it suffices to prove separately that $X \subseteq Y$ and $Y \subseteq X$---this method is called \textit{double containment}. +\tldritem{defSet} Um \textit{conjunto} é uma coleção de objetos (chamados \textit{elementos}) de um fixo \textit{universo de discurso} $\mathcal{U}$; nós escrevemos $x \in X$ significar que $x$ é um elemento do conjunto $X$. Os conjuntos podem ser especificados listando (explícita ou implicitamente) seus elementos $\{ x_1, x_2, \dots, x_n, \dots \}$, ou por uso de \textit{notação de construtor de conjunto} $\{ x \in X \mid p(x) \}$. +\tldritem{defSubset} A set $U$ is a \textit{subconjunto} de um conjunto $X$, written $U \subseteq X$, if $\forall a,\, (a \in U \Rightarrow a \in X)$. Para provar que $U \subseteq X$, basta introduzir uma variável $a$, assuma que $a \in U$, e derive $a \in X$. +\tldritem{axSetEquality} Sets $X$ and $Y$ asomos iguais se e somente se $\forall a,\, (a \in X \Leftrightarrow a \in Y)$. Para provar que $X = Y$, basta provar separadamente que $X \subseteq Y$ e $Y \subseteq X$--- esse metodo é chamado \textit{dupla contenção}. \end{tldrlist} -\subsubsection*{Inhabitation and emptiness} +\subsubsection*{Habitação e vazio} \begin{tldrlist} -\tldritem{defInhabited} A set $X$ is \textit{inhabited} if it has at least one element; otherwise, it is \textit{empty}. -\tldritem{thmEmptySetIsUnique} There is a unique empty set, denoted by $\varnothing$ or $\{ \}$. +\tldritem{defInhabited} Um conjunto $X$ é \textit{habitado} se possui pelo menos um elemento; caso contrário, é \textit{vazio}. +\tldritem{thmEmptySetIsUnique} Existe um conjunto vazio único, denotado por $\varnothing$ or $\{ \}$. \end{tldrlist} -\subsubsection*{Power sets} +\subsubsection*{Conjuntos de potência} \begin{tldrlist} -\tldritem{defPowerSet} The \textit{power set} of a set $X$ is the set of all subsets of $X$. +\tldritem{defPowerSet} The \textit{conjunto de potência} de um conjunto $X$ é o conjunto de todos os subconjuntos de $X$. \end{tldrlist} -\end{tldr} \ No newline at end of file +\end{tldr}