script.tex

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\title{Lineare Algebra II\\Mitschrieb}

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% redefines description label for alternative enumeration in description environement
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% define main environment used for lemmas, definitions, corollaries, ...
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% define side environment used for remarks
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\newtheorem*{bemerkung2}{Bemerkungen\textnormal:}
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\theoremstyle{customenv}
\newtheorem*{customenv}{customenv} % weird

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\patchcmd\thmtlo@chaptervspacehack
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  #2
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\def\thmlopatch@endchapter{}

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% defines bigslant for quotient (and bigbigslant for single nested quotients)
\newcommand{\bigslant}[2]{{\raisebox{.1em}{\(#1\)}\hspace{-.2em}\left/\raisebox{-.1em}{\(#2\)}\right.}}
\newcommand{\bigbigslant}[2]{{\raisebox{.4em}{\(#1\)}\hspace{-.2em}\left/\raisebox{-.4em}{\(#2\)}\right.}}

\begin{document}
\begin{titlepage}
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  \centering
  \vspace{6cm}
  \textsc{\large \thinspace}\\[0.5cm]
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  \HRule \\[0.8cm]
  { \Huge  \textbf{Lineare Algebra \(\mathbf{II}\)}}\\[0.4cm]
  \HRule \\[.5cm]
  {\Large Inoffizieller Mitschrieb}\\[1.0cm]
  Stand: \today
  \\[11.5cm]
  \begin{minipage}{0.65\textwidth}
    \begin{center} \large
      \textsl{Vorlesung gehalten von:}\\[1cm]
      Prof. Dr. Amador Martín-Pizarro\\
      Abteilung für Angewandte Mathematik\\
      \textsc{\large Albert-Ludwigs-Universität Freiburg}
    \end{center}
  \end{minipage}\\[2.5cm]
  \thispagestyle{empty}
\end{titlepage}


\chapter{Recap}

\begin{definition}[Ring]
  Ein (kommutativer) Ring (mit Einselement) ist eine Menge zusammen mit zwei
  bin\"aren Operationen \(+, \cdot\), derart, dass:\\
  \begin{itemize}
    \item{\((R, +)\) ist eine abelsche Gruppe}
    \item{\((R, \cdot)\) ist eine kommutative Halbgruppe}
    \item{die Dsitributivgesetze:\\
    \(a(x+y) = ax + ay\)\\
    \((x + y) z = xz + yz\))}
  \end{itemize}
\end{definition}

\begin{definition}[Integrit\"atsbereich]
  Ein Integrit\"atsbereich ist ein Ring ohne Nullteiler. Also
  \(\forall x, y \in R : x \cdot y = 0 \Rightarrow x = 0 \lor y = 0\)
\end{definition}

\begin{definition}[K\"orper]
  Ein K\"orper ist ein Ring der Art, dass
  \begin{enumerate}
    \item{\(1 \neq 0\)}
    \item{
      \(
        \forall x \in K : x \neq 0
        \Rightarrow \exists x^{-1} : xx^{-1} = x^{-1}x = 1
      \)
    }
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  K\"orper sind Integrit\"atsbereiche.
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Charakteristik]
  Sei R ein nicht trivialer Ring \((0 \neq 1)\).
  \(
    \varphi : \Z \rightarrow R, z \mapsto
    \begin{cases}
      \sum_{i=1}^n 1 & n >= 0\\
      -\sum_{i=1}^n 1 & \text{ansonsten}
    \end{cases}
  \)\\
  Dann ist \(\varphi\) ein Ringhomomorphismus.\\
  F\"ur den Kern von \(\varphi\) (\(\Ker(\varphi)\)) gibt es zwei
  M\"oglichkeiten.
  \begin{enumerate}
    \item{\(\Ker(\varphi) = \{0\}, p = 0\)}
    \item{
      \(\Ker(\varphi) \neq \{0\}\). Dann gibt es ein kleinstes echt positives
      Element \(p \in \Ker(\varphi)\).
    }
  \end{enumerate}
  R hat dann Charakteristik p \((\Char(R) = p)\). Falls R ein
  Integritaetsbereich ist, dann ist p eine Primzahl.
  \textbf{Beispiele:}\\
  \(\Z / n\Z = \{\bar{0}, \dots, \bar{n}\}\) hat Charakteristik n.\\
  Insbesondere enth\"alt jeder K\"orper mit Charakteristik p eine ''Kopie'' von
  \(\Z / m\Z\):\\
  k hat Charakteristik p \(\Rightarrow \Z /p\Z
  \overset{injectiv}{\leftrightarrow} K\).\\
  Hier ist \(\Z/p\Z\) ein K\"orper:\\
  \(a \in \Z/p\Z \setminus \{0\} \Rightarrow\) es ist a mit p teilerfremd.
  \(1 = a \cdot b + p \cdot m \Rightarrow \bar{1} = \bar{a} \cdot \bar{b}\).
\end{definition}

\begin{definition}[Polynomring]
  Sei K ein K\"orper. Der Polynomring \(K[T]\) in einer Variable R \"uber K ist
  die Menge formeller Summen der Form:\\
  \(f = \sum_{i = 0}^n a_i \cdot T^i, n \in \N\)\\
  Der Grad von \(f \in K[T]\) ist definiert als:\\
  \(\Grad(f) := max(m | m < n \land a_m \neq 0)\)\\
  \(\Grad(0) := -1\)\\
  Falls \(Grad(f) = n\) und \(n = 1\) hei\ss{}t das Polynom normiert.\\
  Die Summe und das Produkt von Polynomen sind definiert als:\\
  \(
    \sum_{i=0}^n a_i T^i + \sum_{j=0}^m b_j T^j 
    := \sum_{k=0}^{max(m,n)} (a_k b_k) T^k
  \)\\
  \(
    \sum_{i=0}^n a_i T^i \cdot \sum_{j=0}^m b_j T^j 
    := \sum_{k=0}^{m+j} = c_K T^k, c_k = \sum_i+j=k a_i b_j
  \)\\
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \(K[T]\) ist ein Integrit\"atsbereich.\\
\end{bemerkung}

\begin{korrolar}
  Es seien \(f, g\) beide \(\neq 0\)\\
  \(
    \Rightarrow \Grad(f \cdot g)
    = \Grad(f) + \Grad(g) \Rightarrow f \cdot g \neq 0
  \)\\
  \(\Grad(f+g) \le max(\Grad(f), \Grad(g))\)\\
\end{korrolar}

\begin{satz}[Division mit Rest]
  Gegeben \(f, g \in K[T], \Grad(g) > 0\). Dann existieren eindeutige 
  Polynome q, r, so dass \(f = g \dot q + r\), wobei \(\Grad(r) < \Grad(g)\).
  \begin{proof}
    Eindeutigkeit: Angenommen
    \(f = g \cdot q + r = g \cdot q' + r', q \neq q' \lor r \neq r'\).\\
    \(
      \Rightarrow g(q - q') = r' - r
      \Rightarrow \Grad(r' - r) = max(\Grad(r'), \Grad(r)) < \Grad(g)
                  = \Grad(g(q - q'))
      \Rightarrow\) Widerspruch \(
      \Rightarrow q = q' \Rightarrow r = r'
    \)
    Existenz: Induktion auf \(\Grad(f)\)\\
    \(\Grad(f) = 0 \Rightarrow f = g \cdot 0 + f\)\\
    \(\Grad(f) = n + 1\)\\
    \(\Grad(f) < \Grad(g) = m \Rightarrow f = g \cdot 0 + f\)\\
    OBdA. \(n + 1 = \Grad(f) \ge \Grad(g) = m > 0\)\\
    \(f = a_{n + 1} \cdot T^{n+1} + \hat{f},
    \Grad(\hat{f}) \le n, a_{n + 1} \neq 0\)\\
    Sei \(
      f' = f - b_m^{-1} a_{n+1}T^{n+1-m} \cdot g \Rightarrow \Grad(f') \le n
    \)
    Ia: \(f' = g \cdot q' + r', \Grad(r') < \Grad(g)\)\\
    \(
      f' = f - b-b^{-1}a_{n+1}T{n + 1 - m} \cdot g
      \Rightarrow f = g(b_n^{-1}a_{n+1}T^{n+1-m} +q')+r'
      \Rightarrow \Grad(r') < \Grad(g)
    \)
  \end{proof}
\end{satz}

\begin{definition}[Polynom Teilt]
  \(f, g, q \in K[T]\), \(\Grad(g) > 0\)\\
  \(g \text{ teilt } f  = g|_f\Leftrightarrow f = g \cdot q\)\\
\end{definition}

\begin{definition}[Nullstellen von Polynomen]
  \(f \in K[T]\) besizt eine Nullstelle \(\lb \in K\) gdw.
  \((T - \lb) |_f \Leftrightarrow f(\lb) = 0\).\\
  f l\"asst sich dann schreiben als \(f = (T - \lb)q + r\).
\end{definition}

\begin{lemma}
  \(f \in K[t], f\neq 0, \Grad(f) = n
  \Rightarrow \) f besitzt h\"ochstens n Nullstellen in k.
  \begin{proof}
    \begin{itemize}
      \item[\(n=0\)]{
        \(\Rightarrow f = a_0, a_0 \neq 0\)
      }
      \item[\(n>0\)]{
        Falls f keine Nullstellen in K besitzt \(\Rightarrow\) ok!\\
        Sonst, sei \(\lb \in K\) eine Nullstelle von f.
        \(f = (T -\lb) \cdot g, \Grad(g) = n-1 < n\)\\
        I.A besitzt g h\"ochstens n - 1 Nullstellen. Jede Nullstelle von f ist
        entweder \(\lb\) oder eine Nullstelle von g. \(\Rightarrow\) f hat
        h\"ochstens n Nullstellen.\\
      }
    \end{itemize}
  \end{proof}
\end{lemma}

\begin{definition}[Vielfachheit einer Nullstelle]
  \(f \in K[T], f \neq 0, \lb \in K\) Nullstelle von f
  \(\Rightarrow f = (T-\lb)^{K_\lb}\cdot g, g(\lb \neq 0\).
  \(K_\lb\) ist die Vielfacheit der Nullstelle \(\lb\) in f.\\
\end{definition}

\begin{definition}
  Ein K\"orper hei\ss{}t algebraisch abgeschlossen, falls jedes Polynom \"uber 
  K positiven Grades eine Nullstelle besitzt.
\end{definition}

\textbf{Beispiele}
Ist \(\R\) algebraisch abgeschlossen? Nein: \(T^2 + 1\).\\
Bem.: \(\C\) ist algebraisch abgeschlossen.

\begin{bemerkung}
  Jeder algebraisch abgeschlossene K\"orper muss unendlich sein.
  Sei \(K = \{\lb_1, \dots \lb_n\}, f = (T - \lb), \dots, (T - \lb_n) + 1\).\\
\end{bemerkung}

\begin{lemma}
  K ist genau dann algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom positiven
  Grades in lineare Faktoren zerf\"allt.\\
  \(f = T(\lb_1) \dots (T - \lb_n)\).
  \begin{proof}
    \begin{itemize}
      \item[\(\Leftarrow\)]{trivial}
      \item[\(\Rightarrow\)]{
        \(
          \Grad(f) = n > 0
          \Rightarrow f = (T - \lb_1) \cdot g, \Grad(g) \le n - 1 < n
          \overset{I.A.}{\Rightarrow} f = c(T-\lb_1) \dots (T-\lb_n)
        \)
      }
    \end{itemize}
  \end{proof}
\end{lemma}

\begin{definition}[Vektorraum]
  Vektorraum V \"uber K ist eine abelsche Gruppe \((V, +, 0_V)\) zusammen mit
  einer Verkn\"upfung \(K \times V \to V\) \((\lb, v) \mapsto \lb v\) die die
  folgenden Bedingungen erf\"ullt:\\
  \begin{enumerate}
    \item{\(\lb (v+w) = \lb v + \lb w\)}
    \item{\(\lb(\mu \v) = (\lb \mu) v\)} 
    \item{\((\lb + \mu) v = \lb v + \mu v\)}
    \item{\(1_{k} v = v\)}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{definition}[Untervektorraum]
  Ein Untervektorraum \(U \subset V\) ist eine Untergruppe, welche unter der
  Skalarmultiplikation abgeschlossen ist. 
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \(\{U_i\}_{i \in I}\) Untervektorr\"aume von V
  \(\Rightarrow \bigcap_{i\in I} U_{i}\) ist Untervektorraum.
  Insb. gebenen \(M \subset V\) existiert \(\Span(M) = <M> = \) der kleinste
  Unterraum von V, der M enth\"alt.\\
  \(\Span(M) = \sum_{i=1}^{n} \lb_{i} m_{i}\),
  \(m_{i} \in M, \lb_{i} \in K, n \in \N\)\\
  M ist ein Erzeugendensystem f\"ur \(\Span(M)\)\\
  Au\ss{}erdem gilt:\\
  \(\sum_{i\in I}U_{i} = \Span(\bigcup_{i \in I} U_{i})\)\\
  \(M_{1} \subset M_{2} \Rightarrow \Span(M_{1}) \subset \Span(M_{2})\)
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Lineare Unabh\"angigkeit]
  Sei \(V\) ein Vektorraum \"uber K. Dann gilt \(v_{1}, \dots v_{n}\) sind
  linear unabh\"angig falls
  \(\forall \lb_{1}, \dots, \lb_{n} \in K : \sum \lb_{i} v_{i} 
  \Rightarrow \lb_{1} = \dots = \lb_{n} = 0\) 
  \(M \subset V\) ist linear unabh\"angig, falls jede endliche Teilmenge von M
  linear unabh\"angig ist. \"Aquivalent dazu ist: M ist linear unabh\"angig, 
  falls kein Element von M sich als Linearkombination der anderen schreiben
  l\"asst.
\end{definition}

\begin{definition}[Basis]
  Sei \(B = \{v_1, \dots, v_n\}, v_i \in V\).
  Die folgenden Aussagen sind \"aquivalent und definieren eine Basis:
  \begin{enumerate}
    \item{B ist ein lineare unabh\"angiges Erzeugendensystem von V}
    \item{
      Jedes Element von V l\"asst sich eindeutig als Linearkombination der
      Elemente in B schreiben.
    }
    \item{B ist ein minimales Erzeugendensystem.}
    \item{B ist maximal lineare unabh\"angig.}
  \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{satz}[Basiserg\"anzungssatz]
  Sei \(M \subset V\) lineare unabh\"angig, dann gilt \( \exists B \subset V\),
  und B ist eine Basis welche M ent\"alt. Insbesondere hat jeder Vektorraum eine
  Basis. ''Je zwei Basen sind in Bijektion''.
\end{satz}

\begin{definition}[Dimension]  
  V ist endlichdimensional, falls V eine endliche Basis besitzt. Sonst ist V
  unendlichdimensional. Fall V endlichdimensional ist, ist die Dimension von V
  definert durch:\\
  \(dim(V) = |B|\) mit B beliebeige Basis.
\end{definition}

\begin{satz}[Basisauswahlsatz]
  Sei \(M \subset V\) ein Erzeugendensystem von V, dann gilt
  \(\exists B \subset M\) mit B ist eine Basis von V.
\end{satz}

\begin{lemma}
  Sei \(U \subset V\) ein Unterraum, dann gilt
  \(\dim(V) < \infty \Rightarrow \dim(U) < \infty\)
\end{lemma}

\begin{lemma}
  Die Dimension ist modular:
  \(\dim(U_1 + U_2) + \dim(U_1 \cap U_2) = \dim(U_1) + \dim(U_2)\)
\end{lemma}

\begin{definition}[Direktes Produkt von Vektorr\"aumen]
  \(
  V = U_1 \oplus U_2 \Leftrightarrow V = U_1 + U_2 \land U_1 \cap U_2 = \{0\}
  \)\\
  \(V = \oplus_{i \in I} U_i \Leftrightarrow V = \sum_{i \in I} U_i \) und die
  Familie ist transversal:
  \(\{U_i\}_{i \in I} \to U_i \cap (\sum_{j \in I} U_j) = \{0\}\)
\end{definition}

\begin{definition}[Komplement\"ar]
  Sei \(U \subset V\) ein Unterverktorraum, dann gilt
  \(\exists \hat{U} \subset V : V = U \oplus \hat{U}\).\\
  \(\hat{U}\) hei\ss{}t dann Komplement\"ar zu U.
\end{definition}

\textbf{Beispiele}\\
\(K^2\) ist ein K-VR. \(\v{1\\0} \v{0\\1}\) ist eine Basis.\\
\(U = \Span(\v{1\\0})\). \(K^2 = U \oplus \Span(\v{0\\1})\).
\(K^2 = U \oplus \Span(\v{1 \\1}\).

\begin{definition}[Lineare Abbildungen]
  \(F : V \to W\) ist linear, falls gilt:
  \(F(\lb v + \mu u) = \lb F(v) + \mu F(u)\)
\end{definition}

\begin{definition}[Kern und Bild]
  \(\Ker(F) = \{v \in V \ F(v) = 0\}\)\\
  \(\Ima(F) = \{w \in W| \exists v \in V : F(V) = w\}\)\\
  \(\Ker(F)\) ist ein Untervektorraum von V, \(\Ima(F)\) ist ein Untervektorraum
  von W.
\end{definition}

\begin{lemma}
  Falls B eine Basis von V ist, ist \(F(B)\) ein Erzeugendensystem
   von \(Im(F)\).
  F ist injektiv genau dann wenn \(\Ker(F) = \{0\}\).
\end{lemma}

\begin{lemma}
  V endlichdimensional: \(dim(V) = dim(Ker(F)) + dim(Im(F))\).\\
  \(V / Ker(f) \cong \Ima(F)\).
\end{lemma}

\begin{bemerkung}
  V, W endlichdimensional, \(\{v_1, \dots, v_n\}\) Basis von V \(V \cong K^n\),
  \(v_i \mapsto e_i\).
\end{bemerkung}

\begin{definition}[Matrix]
  Sei \(F : V \to W, dim(V) = n, dim(W) = m, \{v_1, \dots, v_n\}\) Basis von V,
  \(\{w_1, \dots, w_n\}\) Basis von W.\\
  \(K^n \cong V \overset{F}{\to} W \cong K^m\). Dadurch wird durch F und die
  beiden Basen eine Abbildung von \(K^n\) nach \(K^m\) definiert. Diese
  Diese Abbildung kann durch eine Matrix A dargestellt werden.\\
  \(\v{\lb_1\\ \vdots \\ \lb_n} \mapsto A \v{\lb_1, \vdots \lb_n}\)\\
  \(F(v_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij}w_i\)\\
  \(
  F(v_1), \dots, F(v_n)\\
  \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots  & a_{1m}\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    a_{n1} & \dots  & a_{nm}
  \end{pmatrix}
  \)
  ist die mxn Matrix A.
\end{definition}

\begin{definition}[Rang einer Matrix]
  \(Rg(A) = \dim(\Span(\text{Spaltenvektoren}))
  = \dim(\Span(\text{Zeilenvektoren}))\)\\
  \(F : V \to W\) linear. \(Rg(F) = Rg(A) = dim(\Ima(F))\), mit A eine beliebige
  darstellende Matrix von F.
\end{definition}

\begin{satz}[Normalform]
  Es seien V, W endlichdimensional. Dann existieren Basen \(\{v_1, \dots v_n\}\)
   von V, \(\{w_1, \dots, w_n\}\) von W, so dass die darstellende Matrix von F
   der Form
  \(
    \begin{pmatrix}
      1      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0\\
      \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
      0      & \dots  & 1      & 0      & \dots  & 0\\
      0      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0\\
      \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
      0      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0 & 
    \end{pmatrix}
  \) ist.
  \begin{proof}
    Sei \(U = \Ker(F)\) und \(\{v_{r+1}, \dots, v_n\}\) eine Basis von
    U. Sei \(U'\) ein Komplement von U in V \(\Rightarrow V = U \oplus U'\).
    Sei \(\{v_1, \dots, v_r\}\) eine Basis von \(U'\).
    \(B = \{v_1, \dots v_n\}\) ist eine Basis von V. \(\Ima(F)\) hat
    \(\{F(v_1), \dots, F(v_r)\}\) als Basis.\\
    \(
      \sum_{i=1}^n \lb_i F(v_i) = 0
      \Rightarrow F(\sum_{i=1}^n \lb_i v_i) = 0
      \Rightarrow \sum_{i=1}^n \lb_i v_i) \in U
                  \land \sum_{i=1}^n \lb_i v_i) \in U'
      \Rightarrow \sum_{i=1}^n \lb_i v_i) = 0
      \Rightarrow \lb_1 = \dots \lb_n = 0
    \).
    Erg\"anze \(\{F(v_1), \dots, F(v_r)\}\) zu einer Basis
    \(B' = \{w_1, \dots, w_m\}\) von W.
    \(
      F(v_1), \dots, F(v_r), F(v_{r+1}), \dots, F(v_n)\\
      \begin{pmatrix}
        1      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0\\
        \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
        0      & \dots  & 1      & 0      & \dots  & 0\\
        0      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0\\
        \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
        0      & \dots  & 0      & 0      & \dots  & 0 & 
      \end{pmatrix}
    \)
  \end{proof}
\end{satz}

\begin{definition}[Invertierbarkeit von Matrizen]
  \(A \in M_{n\times n}(K)\) ist invertierbar, fall es eine Matrix
  \(B \in M_{n\times n}(K)\) gibt, so dass \(A \cdot B = B \cdot A = Id_n\).
  B wird dann als \(A^{-1}\) bezeichnet.\\
  \(GL(n, k) = Gl_n(K) = \{A \in M_{n\times n}(K) \text{invertierbar}\}\) ist
  eine Gruppe.\\
  \(A \in GL_k(n) \Leftrightarrow \rg(A) = n\) (Eine Matrix ist genau dann
  invertierbar, wenn sie regul\"ar ist).
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Sei A regul\"ar. Dann besitz ein Gleichungssystem der Form
  \(A \v{\lb_1\\ \vdots \\ \lb_n} = \v{b_1 \\ \vdots \\ b_n}\) die Eindeutige
  L\"osung, \(A^{-1} \v{b_1 \\ \vdots \\ b_n}\).
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  A ist regul\"ar genau dann wenn A sich durch elementare Zeilenoperationen in
  \(Id_n\) \"uberf\"uhren l\"asst.\\
  \(E_{i,j}\) sei Die Matrix, die an der Stelle ij 1 ist, ansonsten 0.\\
  Elementare Zeilenoperationen sind:\\
  Multiplikation der Zeile i mit \(\lb\): \(\Id_n + (\lb  -1) E_{i,j}\).\\
  Addieren von \(\lb\) mal der iten Zeilten zur jten: \(Id_n + \lb E_{i,j}\).\\
  Vertauschung der i-ten und j-ten Zeile: \(Id_n - E_{ii} - E_{jj} + E_{j,i} + E_{i,j}\)\\
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
Das inverse einer Matrix l\"asst sich durch nutzen dieser elementaren
Zeilenoperationen nach z.B. dem Gau\ss{}-Jordan Verfahren errechnen:\\
\(
  \left(
  \begin{array}{c|c}
    A & Id_n
  \end{array}
  \right)
  \overset{Zeilenoperationen}{\to}
  \left(
  \begin{array}{c|c}
  Id_n & A^{-1}
    \end{array}
  \right)
\)\\
Die linke H\"alfte der Ergebnis Matrix enth\"alt dann \(A^{-1}\), denn:\\
\(
B_m \dots B_2 B_1 A = Id_n \Rightarrow B_m \dots B_1 = A^{-1}
\)
\end{bemerkung}

% Basiswechselmatrizen?
\begin{definition}[\"Ubergangsmatrizen]
  Es sei \(dim(V) = n\) und \(\{v_1, \dots, v_n\}\),  \(\{v_1', \dots, v_n'\}\)
  Basen von V. Weiterhin sei \(F: V \to V, v_i \mapsto v_i'\). Dann gilt:\\
  \(v_i' = \sum_{ij} s_{ij} v_j\) und die darstellende Matrix S von F, 
  \(
  S = \begin{pmatrix}
    s_{11} & \dots  & s_{1m}\\
    \vdots & \ddots & \vdots\\
    s_{n1} & \dots  & s_{nm}
  \end{pmatrix}
  \)
  ist regul\"ar.
\end{definition}


\begin{definition}
  Zwei (mxn) Matrizen A, A' sind \"aquivalent, falls es reg\"lare matrizen \(T
  \in GL_m(K), s \in GL_n(K)\) gibt, so dass \(A' = T^{-1} \cdot A \cdot S\).\\
  \(A, A' \in M_{n \times n}(K)\)  sind \"ahnlich, fall es \(S \in GL_n(K)\)
  gibt, so dass \(A' = s^{-1} \cdot A \cdot S\).
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \"Ahnlichkeit ist eine \"Aquivalenzrelation auf \(M_{n \times n}(K)\).
\end{bemerkung}


\begin{definition}[Determinante]
  \(det K^n \to K\) ist eine multilineare alternierende  Abildung der Art,
  dass \(det(e_1, \dots, e_n) = 1\).\\
  \(A \in M_{n \times n}(K)\)\\
  \(A = (a_1 | a_2 | \dots | a)n) \Rightarrow det(a_1, a_2, \dots, a_n) = det(A)\).\\
  \(A = (a_ij), det(a_ij) = \sum sign(\pi) \cdot \Pi_{i=1}^n a_{\pi(i)i}\) mit
  \(sign(\pi) = -1^{\text{Anzahl der Fehlst\"ande von }\pi}\) bzw. Anzahl von
  Faktoren von \(\pi\) als Produkt von Transpositionen.
\end{definition}

Eigenschaften von Determinanten:\\
\begin{enumerate}
  \item{\(det(A \cdot B) = \det(A) \det(B)\)\\}
  \item{A ist genau dann invertierbar, wenn \(det(A) \neq 0\)\\}
  \item{\(\det(A^-1) = det(A)^{-1}\)}
  \item{\(\det(A^T) = \det(A)\)}
\end{enumerate}

\begin{bemerkung}
  \(Id_n + (-\Id_n)\) ist nicht invertierbar, also \(\exists A, B : det(A+B) \neq \det(A) + \det(B)\)
\end{bemerkung}

\begin{satz}[Laplacescher entwicklkungssats]
  Sei \(j_0\) ein Spaltenindex\\
  \(det(A) = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+j_0} a_{ij_o} det(A_{j_0i})\) wobei
  \(A_{j_{0i}}\) die Matrix ohne Zeile \(j_0\) und Spalte i ist.
\end{satz}


\begin{satz}[Cramersche Regel]
  \((a_1 | \dots | a_n) = A, A \v{\lb_1\\ \vdots \\ \lb_n} = \v{b_1 \\ \vdots \\ b_n}\)
  Falls A regul|'ar ist, gibt es eine einzige L\'Osung zum System:
  \(\lb_j = \frac{det(a_1, \dots, a_{j-1}, b_j, a_{j+1}, \dots, a_n}{det(A)}\)
\end{satz}

\begin{definition}[Determinante eines Homomorphismus]
  Sei \(F : V \to V\). \(det(F) = det(A)\) woei \(A\) eine Darstellungmatrix von F bezgl. einer Baiss \(\{v_1, \dots, v_n\}\).
\end{definition}


\begin{definition}[Adjunte Matrix]
Sei A eine \(n\times n\) Matrix, dann ist die Adjunte von A\\
\(\adj(A) = (\gamma_{ij})\) mit \(\gamma_{ij} = (-1)^{i+ j} \det(A_{ij}\)
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  Sei \(c_i\) die j-te Zeile von \(\adj(A)\). Sei weiterhing \(a_i\) die i-te
  Spalte von A.\\
  \(\gamma_{j1}, \dots, \gamma_{jn} \cdot \v{a_{1i}\ \\vdots \\ a_{ni}}
  = \sum_{k=1}^n \gamma_{jk} a_{ki} = \sum_{k=1}^n (-1)^{j+n} a_{ki} \det(A_{jk})
  \overset{\text{Laplacescher Entw. Satz}}{=}
  \det(a_1, \dots, a_{j-1} , a_i, a_{j+1}, \dots, a_n) =
  \begin{cases}
   \det(A) & j=i\\
   0 & j \neq i
  \end{cases}\)\\
  Angenommen A ist regul\"ar.\\
  \(adj(A) \cdot A = det(A) \cdot Id_n
    \Rightarrow \frac{\adj(A)}{\det(A) \cdot A} = \Id_n = A^{-1} \cdot A
    \Rightarrow \frac{\adj(A)}{\det(A)} = A^{-1}
    \Rightarrow A \cdot \adj(A) = det(A) Id_n
  \)
\end{bemerkung}

\section{Diagonalisiserbarkeit}
Sei V ein Vektorraum, \(\{U_i\}_{i=1}^k\) Unterr\"aume von V.\\
\(V = \oplus_{i=1}^k U_i
\Leftrightarrow V = \sum_{i=1}^n U_i \land U_i \bigcap(\sum_{j=1}^k U_i) = 0\)\\
\"Aquivalent dazu ist, dass jeder Vektor \(v \in V\) sich eindeutig als
Linearkombination von Vektoren \(\cup_{j=i}^k B_j\) schreiben l\"asst, woebi
\(B_j\) eine Basis von \(U_i\) ist.

\begin{definition}[Eigenwerte und -vektoren]
  Ein Endomorphismus \(F : V \to V\) besitzt einen Eigenvektor, falls es ein
  \(v \in V \setminus \{0\}\), so dass \(F(V)  \lb \cdot v\) f\"ur ein
  \(\lb \in K\). Falls \(F(v) = \lb v\) ist \(\lambda\) eindeutig bestimmt durch
  F und v. \(\lambda\) ist dann ein Eigenwert von F.
\end{definition}

\begin{definition}[Eigenr\"aume]
  \(\lb \in K, F V \to V\) Endomorphismus.\\
  \(V(\lb) = \{v \in V | F(v) = \lb v\}\), der Eigeneraum zu \(\lb\) is ein UVR.
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \(\lb\) ist ein Eigenwet von F gdw, \(dim(V(\lb)) \ge 1\).
\end{bemerkung}

\begin{bemerkung}
  Falls \(\lb_1, \dots, \lb_k\) verschiedene Eigenwerte von F \(\Rightarrow
  V(\lb_i) \cap \sum_{j=1, j \neq i}^k V(\lb_j) = \{0\}\)
\end{bemerkung}


\begin{definition}[Diagonalisiserbarkeit]
  Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. \(F : V \to V\) Endomorphismus.
  Bzw. eine Matrix \(A : K^n \to K^n\). F ist diagonalisierbar, falls
  \(V = \oplus_{i=1}^k V('lb), \lb\) verschiedene Eigenwerte von F.\\
  \"Aquivalent dazu, wenn V eine basis von Eigenwerten von F besitzt.
  \"Aquivalent dazu, wenn F bez\"uglich einer Basis von V die Darstellungsmatrix
  \(
    \begin{pmatrix}
      \lb_1  &        & 0\\
             & \ddots &\\
      0      &        & \lb_n
    \end{pmatrix}
  \) hat.\\
  \"Aquivalentz dazu, f\"ur Matrizen: A ist diagonalisierbar gdw.es eine regul\"are
  Matrix S gibt, soda\ss{} \(S^{-1}AS = 
  \begin{pmatrix}
    \lb_1  &        & 0\\
           & \ddots &\\
    0      &        & \lb_n
  \end{pmatrix}\)
\end{definition}

\begin{satz}
  \(A \in M_{n\times n}(K), \lb \in K\)\\
  \(\lb\) ist ein Eigenwert von A gdw. \(\lb Id_n - A\) nicht regul\"ar ist.
  \(\Leftrightarrow det(\lb \cdot Id_n -A) = 0\)
\end{satz}

\begin{definition}[Charakteristisches Polynom]
  Das charakteristische Polynom einer Matrix \(A \in M_{nxn}(K)\) ist 
  \(\xi_{A(T)} = det(T \cdot Id_n - A)\)
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \(\lb\) ist ein eigenwert von A \(\Leftrightarrow \xi_A(\lb) = 0\)
\end{bemerkung}

\textbf{Beispiel}
\(
  \begin{pmatrix}
   0 & -1\\
   -1 & 0
  \end{pmatrix}\\
  \xi_{A(T)} = T^2 + 1 = \det(
  \begin{pmatrix}
    T & -1\\
    1 & T
  \end{pmatrix}
  )
\)

\begin{bemerkung}
  A und \(A'\) \"ahnlich, \(A' = s^{-1}AS \Rightarrow \xi_A(T) = \xi_{A'}(T)\).
  Insebsondere k\"onnen wir \"uber das charakteritische Polynom eines
  Endomorphismus reden.\\
  \(A \in M_{nxn}(K), \xi_A(T) = T^n + b_{n-1} T^{n-1} + \dots + b_o\) wobei
  \(b_0 = (-1)^n det(A), b_n{-1} = - Tr(A) = - \sum_{i=1}^n a_{ii}\)
\end{bemerkung}

\begin{korrolar}
  Ein Endomorphismus \(F : V \to V\) mit \(\dim(V) = n < \infty\) kann
  h\"ochstens n viele Eigenwerte besizten.
\end{korrolar}

\begin{korrolar}
  \(F : V \to V\) mit \(\dim(V) = n < \infty\) mit verschiedenen Eigenwerten
  \((\lb_1, \dots, \lb_n)\) ist diagonalisierbar,  gdw. 
  \(n = \sum_{i=1}^k d_i, d_i = \dim(V(\lb_i))\). \(d_i\) hei\ss{}t geometrische
  Vielfachheit von \(\lb_i\).
  
  \begin{proof} \hfill\break
  \(\Rightarrow\)\\
  F ist diag. gdw. V eine Basis aus Eigenvektoren besitzt, welche aus
  \(\cup_{i=1}^n B_i\) besteht, \(|B_I| = di = dim(V\lb_i)\),
  \(n = |B| = \sum_{i=1}^k |B_i|\)\\
  \(\Leftarrow\)\\
    \(n = \sum d_i \Rightarrow \dim(\sum_{i=1}^k (V(\lb_i))) = n
    \Rightarrow V = \sum_{i=1}^k(V(lb_i)\) da die Eigenr\"aume tranversal sind,
     und ein Vektorraum nur einen UVR der dimension dim(V) hat, sich selbst.
  \end{proof}
\end{korrolar}


% potentially missing part of the beginning of lecture 4
\begin{definition}[Algebraische Vielfachheit]
  Es seien \(F : V \to V\) ein Endomorphismus, \(dim(V) = n < \infty\),
  \(\lb \in K\) Eigenwert \(\Rightarrow \xi_F(\lb) = 0\).\\
  Dann gilt  \(\xi_F(T) = (T-\lb)^K G(T)\), \(G(\lb) \neq 0\). k ist die
  algebraische Vielfachheit von \(\lb\), bzw. \(\ord_\lb(F)\).
\end{definition}

\begin{bemerkung}
  \(\ord_\lb(F) \ge \dim(V(\lb))\)\\
  \begin{proof}
    Sei \({v_1, \dots, v_k}\) eine Basis von \(V(\lb)\). Wir erweitern sie zu
    einer Basis \(\{v_1, \dots, v_k, v_{K+1}, \dots, v_n\}\) von V. Die
    Darstellungsmatrix M von F bzwg. B ist dann\\
    \(\{F(v_1), \dots, F(v_k), F(v_{k+1}), F(v_n)\}\).\\
    \(
      \begin{pmatrix}
        \lb &        & 0         & \\
            & \ddots &           & \\
        0   &        &  \lambda  & C_2 \\
            & 0  
      \end{pmatrix}
    \)\\
    Wobei \(C_2 \in Mat_{n-k \times k}(K)\).\\
    \(
      \xi_F(T) = det(T Id_n - M)
      = (T - \lb)^k \cdot \det(T Id_{n-k} \cdot C_1)\\
      \Rightarrow \ord_\lb(F) \ge K
    \). Wobei \(\det(T Id_{n-k} \cdot C_1) = 0\) sein kann.
  \end{proof}
\end{bemerkung}

\begin{lemma}
  Sei V endlichdimensional, \(F : V \to V\) ein Endomorphismus,
  U ein F-Invarianter Unterraum (\(F(U) \subset U\)).\\
  \(F' : V/U \to V/U\) ist eine lineare Abbildung,
  \(\bar{V} \mapsto \bar{F(V)}\). \(F'\) ist woldefiniert, linear und es gilt
  \(\xi_F(T) = \xi_{F|_U}(T)\cdot\xi_{F'}(T)\)
  \begin{proof}\hfill\break
    \(F'\) ist wohldefiniert;\\
    \(\bar{v_1} = \bar{v} \overset{zZ}{\Rightarrow} F'(v_1) = F(v)\)
    \(
      \bar{v_1} = \bar{v} 
      \Rightarrow v_1 = v + (v_1 - v), v_1 - v \in U\\
      \Rightarrow F(v_1) = F(v) + F(v_1 - v),  F(v_1 - v) \in U
      \Rightarrow \bar{F(v_1)} = \bar{F(v)}
    \)\\
    Restklassen sind linear und F ist linear \(\Rightarrow F'\) ist linear.\\
    Sei \(\{u_1, \dots, u_k\}\) eine Basis von U. erweitert zu
    \(\{u_1, \dots, u_k, v_{k+1}, \dots, v_n\}\) sei sie eine Basis von V.
    \begin{bemerkung}
      \(\{\bar{v_{k+1}}, \dots, \bar{{v_n}}\}\) ist eine Basis von \(V/U\).
      Bew. Einfach.
    \end{bemerkung}
    Darstellungsmatrix H von F bzgl. B:\\
    \(
      \begin{array}{c}
        u_1\\ \vdots \\ u_k \\ v_{k+1} \\ \vdots \\ v_n
      \end{array}
      \begin{pmatrix}
        &           \\
        & A      &        &        &  & C_2\\
        &           \\
        & 0      & \dots  & 0   \\
        & \vdots & \ddots & \vdots &  &C_1\\
        & 0      & \dots  & 0
      \end{pmatrix}
    \) mit \(A, C_1, C_2\) Matrizen.\\
    \(\xi_F(T) = det(T Id_n - H)
    = \det(T Id_n - \begin{pmatrix}A & C_2 \\ 0 & C_1\end{pmatrix})\\
    = \det(\begin{pmatrix}T _id_k - A & -C_2 \\ 0 & T_ Id_{n-k} -C_1\end{pmatrix})
    = \det(T_id_k - A) \cot det (T_E{n-k} - C_1)
    \)\\
     A ist die Darstellungsmatrix von \(F|_U\) bez\"uglich \(\{u_1, \dots, u_k\}\)
     \(\Rightarrow det(T Id_k - A) = \xi_{F|_U}(T)\)\\
     \(C_1\) ist die Darstellungmatrixvon \(F'\) bzg.
     \(\{\bar{v_{k+1}}, \dots, \bar{v_n}\}\).\\
     \(\Rightarrow \det(T \Id_{n-k}-C_1) = \xi_{F'}(T)\)
  \end{proof}
\end{lemma}

\begin{satz}
  Sei \(K\) ein K\"orper, \(dim(V) < \infty, F : V \to V\) ein Endomorphismus so 
  gilt:\\
  F Diagonalisierbar gdw \(\xi_F(T) = (T-\lb_1)^{k_1} \dots (T- \lb_n)^{k_n}\)
  in Linearfaktoren zerf\"allt, wobei f\"ur jeden Faktor \(\lb_1, \dots, \lb_n\)
  \(T-\lb_i\) gilt \(\ord_{lb_i}(F) = \dim(V(\lb_i))\).
  \begin{proof}\hfill\break
  \(\Rightarrow\)\\
    Sei \(b = \{v_1, \dots, v_n\}\) eine Basis von Eigenvektoren. Seien
    \(\lb_1, \dots \lb_r\) die verschiedenen Eigenwerte. Ordne nun B um so dass\\
    \(
      v_1, \dots, v_{d_1} \in V(\lb_i), 
      v_{d_1 + 1}, \dots v_{d_1 + d_2} \in V(\lb_2)
      , \dots,
      v_{d_1  + \dots + d_{r-1}}, \dots v_{d_1 + \dots + d_r} \in V(\lb_r)\) mit
    \(d_i = dim(V(\lb_i))\).\\
    Die Darstellungsmatrix von F bzgl. B:\\
    \((F(v_1), \dots, F(v_{d_1}), \dots F(v_r)\)\\
    \(
      \begin{pmatrix}
        \lb_1 & \\
              & \ddots &  \\
              &        & \lb_1\\
              &        &       & \lb_r & \\
              &        &       &       & \ddots &  \\
              &        &       &       &        & \lb_r
      \end{pmatrix}
      %d_1 viele  \lb_1 auf der Diagonale
    \)\\
    Wobei \(d_i\) viele \(\lb_i\) auf der Diagonale sind\\
    \(\xi_F(T) = det(T \Id_n - A) = (T - \lb_1)^{d_1} \dots T(-\lb_r)^{d_t}\)
    \(((T - \lb_2)^{d_2} \dots T(-\lb_r)^{d_t})(\lb_1) \neq 0
    \Rightarrow d_i = \ord_{\lb_I}(F)
    \), da die \(\lb_i\) verschieden sind.\\
    \(\Leftarrow\)\\
    \(\xi_F(T) = (T - \lb_i)^{d_1} \dots (T - \lb_r)^{d_r}\)\\
    F ist diag \(\Leftrightarrow n = dim(V) = \sum d_i\)
  \end{proof}
\end{satz}


\begin{definition}
  Eine Matrix \(A \in M_{n\times n}(K)\) ist diagonalisierbar, wenn sie
  \"ahnlich zu einer oberen  Dreiecksmatrix ist:\\
  \(
    \begin{pmatrix}
    a_{11} & \dots  & a_{1n}\\
           & \ddots & \vdots\\
    0      &        & a_{nn}\\
    \end{pmatrix}
  \)
\end{definition}

\begin{satz}
  \(F : V \to V\) ist diagonalisierbar gdw. \(\xi_F(t)\) in Linearfaktoren
  zerf\"allt \(\xi_F(T) = (T - \lb_1) \dots (T - \lb_n)\).
\end{satz}

\newpage
\renewcommand{\listtheoremname}{Satz- und Definitionsverzeichnis}
% \listoftheorems[ignoreall, show={definition}, show={satz}, show={lemma}, show={definitionn}, show={korrolar}, show={altdefinition}]
\addcontentsline{toc}{chapter}{Satz- und Definitionsverzeichnis}
\newpage
\printindex
\end{document}