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\title{Algorithmen 2}
\author{Lucas und Felix}
\date{WS 2014/2015}

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% hier beginnt das Dokument
\begin{document}
\shorthandoff{"}
\begin{multicols}{2}
\section{Klassische Mechanik}
Zwangsbedinungen: holonom: "Gleichungen" (holonom-rheonom zeitabhängig, holonom-skleronom nicht explizit zeitabhängig), nicht-holonom: z.~B. Ungleichungen oder diffentielle Einschränkungen.\\
Kugelkoordinaten: $z=r\cos q_1$, $x=r\sin q_1\cos q_2$, $y=r\sin q_1\sin q_2$\\
Zylinderkoordinaten: $z=h$, $x=r\cos q_1$, $y=r\sin q_1$\\
$L=T-V \qquad T\text{: kin. Energie}, V\text{: potentielle Energie}$\\
\paragraph{Lagrangegleichungen 2. Art} für holonome Zwangsbed.
\[\ad{}{t} \pd{L}{\dot q_j} - \pd{L}{q_j}=0\]
\paragraph{Zyklische Koordinate $q_j$:} $\pd{L}{q_j} = 0 \Leftrightarrow \pd{L}{\dot q_j}$ ist Erhaltungsgröße (verallgemeinerter Impuls).
\paragraph{Rezept:} Zwangsbedingungen formulieren, generalisierte Koordinaten festlegen, $L(q_i, \dot q_i, t)$ bestimmen, Lagrangegleichungen anwenden.

\paragraph{Lagrangegleichungen 1. Art} für nicht-holonome Zwangsbed., d.~h. solche, die nicht ausschl. durch die generalisierten Koordinaten ausgedrückt werden können.
\[\forall j: \quad \ad{}{t} \pd{L}{\dot q_j} - \pd{L}{q_j} = \sum\limits_i \lambda_i \underbrace{\pd{f_i}{q_j}}_{a_{ij}}\]
mit $q_j$ generalisierte Koordinaten und $f_i$ verbleibende Zwangsbedingungen.

\paragraph{Hamilton Prinzip}: Die Wirkung wird stationär, also $\delta S = \delta \int\limits_{t_1}^{t_2}L\md t = 0$

\paragraph{Hamilton Mechanik}: $p_i = \pd{L}{\dot q_i}$
\paragraph{Legendre Transformation} $f(x,y) \to g(u,y)$ mit $u = \pd{f}{x} $, mit $g=f-ux$, um dann die 2 verbleibenden Variablen zu bestimmen kann man $g$ total differenzieren und dann Koeffizientenvergleich mit dem "allgemeinen totalen Differential" machen.

\paragraph{Hamiltongleichungen}
\[H(q,p,t) = \sum\limits_{i=1}^n\dot q_i(q,p,t)p_i-L[q,\dot q(q,p,t),t]\]
das führt zu den Gleichungen:
\[\dot q_i = \pd{H}{q_i} = \{q_i, H\} \qquad \dot p_i = -\pd{H}{q_i} = \{p_i, H\}\]
\paragraph{Hamilton-Rezept}
(Wenn skleronom-holonome Zwangsbedingungen, ruhende Koordinaten, konservative Kräfte, dann $H=T+V=E$)
generalisierte Koordinaten wählen, $L = T - V$ aufstellen, $p_i = \pd{L}{\dot q_i}$ berechnen, $H=\sum\limits_{i=1}^n\dot q_i(q,p,t)p_i-L[q,\dot q(q,p,t),t]$, $\dot q_i$ ersetzen (aus dem Impuls).
\[\dot q_i = \pd{H}{q_i} \qquad \dot p_i = -\pd{H}{q_i} \qquad \text{aufstellen und zusammenfassen}\]
\[\ad{H}{t}=\pd{H}{t} =-\pd{L}{t}\]

\paragraph{Poisson-Klammern}
\[\{f,g\}_{\vec q, \vec p} = \sum\limits_{j=1}^S \left(\frac{\partial f}{\partial q_j}\frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{\partial f}{\partial p_j}\frac{\partial g}{\partial q_j} \right)\]

\[\ad{f}{t} = \{f,H\} + \pd{f}{t}\]
\[\{c_1f_1+c_2f_2,g\} = c_1\{f_1,g\} + c_2\{f_2,g\}, \qquad c_1,c_2=\const\]
Antisymmetrie: $\{f,g\} = -\{g,f\} \Rightarrow \{f,f\}=0$\\
Nullelement: $\{c,f\} = 0 \qquad f=f(\vec q, \vec p), c=\const$\\
Produktregel: $\{f,gh\} = g\{f,h\} + \{f,g\}h$\\
Jacobi-Identität: $\{f,\{g,h\}\} + \{g,\{h,f\}\} + \{h,\{f,g\}\} = 0$\\
$\{q_i,q_j\} = \{p_i,p_j\} = 0 \qquad \{p_i,q_j\} = \delta_{ij}$
\section{Relativitätstheorie}
\section{Quantenmechanik}


\end{multicols}
\end{document}