2.1-标量：导数的概念.md

2.1-标量：导数的概念

导数的定义：设函数$y=f(x), \mathbb R \to \mathbb R$，将实数$x$映射到实数$y$, 在点$x_0$的某领域内有定义，当自变量在$x_0$处取得增量$\Delta x$时函数取得相应的增量$\Delta y=f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$，如果极限

$$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \tag{2.1.1}$$

存在，则称$f(x)$在点$x_0$处可导，通常可以写做$f'(x_0)$, $\frac{dy}{dx} \vert_{x=x_0}$, $\frac{\partial f}{\partial x}$或者$\frac{df}{dx} \vert_{x=x_0}$。

注意本文在一元函数导数表示时候也用$\frac{\partial f}{\partial x}$

于是，如图2.1.1所示，通俗得讲：对于定义域内的$x$，当$\Delta x$很小的时候，在点$x$处的导数$f'(x)$就是点x处的斜率$\frac{\Delta y}{\Delta x}$（导数的几何意义）。

举例: 计算$f(x)=x^2$的导数，根据定义

$$\lim_{\Delta x \to 0} = \frac{f(x+\Delta x) -f(x)}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + {\Delta x}^2}{\Delta x} = 2x + {\Delta x} \tag{2.1.2}$$

由于$\Delta x$无限趋近于0，那么可以得到$f'(x)=2x$。

读者可继续选修左导数、右导数的定义。

函数$f(x)$在点$x_0$处可求导的充分必要条件是$f(x)$在点$x_0$处的左、右导数都存在且相等。

观察2.1.1可以继续得到:

$$f(x+\Delta x) \approx f(x) + \frac{\Delta y}{\Delta x} \Delta x = f(x) + f'(x)\Delta x = f(x) + \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x \tag{2.1.3}$$

即：$x$的增量$\Delta x$与$y$的变化量$\Delta y$可以通过导数联系起来，当$x$增加$\Delta x$的时候，$y=f(x)$近似地增加$\frac{\partial y}{\partial x} \Delta x$。

$$x \to x + \Delta x \Rightarrow y \to \approx y + \frac{\partial y}{\partial x} \Delta x \tag{2.1.4}$$