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Hochwohlgebohrner Herr
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Hochgeehrtester Herr Etats Rath\n
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Bey dem Antritt dieses neuen Jahrs lege ich zuvorderst meinen herzlichsten Wunsch\n für das beständige Wohlseyn Eur. Hochwohlgeb. ab, und empfehle mich dabey gehorsamst\n sammt den meinigen zu Dero fortdaurenden Wohlgewogenheit\\(\\,.\\,\\) Zugleich statte ich auch Eur. Hochwohlgeb. meine verpflichtetste Danksagung ab für\n den gütigen Antheil welchen Dieselben an unserem Zustand zu nehmen belieben und habe\n das Vergnügen Eur. Hochwohlgeb. zu berichten, daß S[ein]\\(\\,{}^{\\text{e}}\\,\\) Königl[iche] Majestät bey dem Anfang dieses Jahrs Dero Pathen unsern ältesten Sohn mit einer jährlichen\n Besoldung von \\(\\,200\\,\\) Rthl. begnadiget.1
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Ich habe nun schon eine geraume Zeit so viel andere Geschäfte gehabt daß ich an numerische Theoremata, dergleichen ich Eur. Hochwohlgeb. das letste mal vorzulegen die Ehre gehabt, nicht\n habe denken können. Die Partes Matheseos applicatae nehmen mir die meiste Zeit weg, wo es immer mehr zu untersuchen gibt, je mehr man\n damit umgeht.2
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Weil nun mein Kopf mit so viel anderen Sachen angefüllet ist, so mag das wohl die\n Ursache seyn, daß ich mich in das von Eur. Hochwohlgeb. communicirte und nach der Hand verbesserte Theorema nicht finden kan. Vielleicht haben Eur. Hochwohlgeb. vergessen noch eine wesentliche\n Condition hinzuzusetzen.3
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Das Theorema war: Si sit\\(\\,aa+bb=P^{2}+eQ^{2}\\,\\)erit etiam
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\n \\(\\,a^{2}+\\left(\\left(2e+1\\right)b-eP-eQ\\right)^{2}=M^{2}+eN^{2}\\text{;}\\,\\)\n \n
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weil ich den Grund desselben nicht einsehen konnte, so habe ich die Richtigkeit desselben\n durch Exempel erforschen wollen.\n
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I. Da \\(\\,1^{2}+4^{2}=17=3^{2}+2\\cdot 2^{2}\\,\\), so ist \\(\\,a=1\\,\\), \\(\\,b=4\\,\\), \\(\\,P=3\\,\\), \\(\\,Q=2\\,\\) und \\(\\,e=2\\,\\), allso müste seyn\n
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\n \\(\\,1^{2}+\\left(5\\cdot 4-2\\cdot 3-2\\cdot 2\\right)^{2}=1^{2}+10^{2}=101=M^{2}+2N^{2}\\,\\)\n \n
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welches unmöglich ist.
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II. Da \\(\\,9^{2}+4^{2}=97=7^{2}+3\\cdot 4^{2}\\,\\), so ist \\(\\,a=9\\,\\); \\(\\,b=4\\,\\); \\(\\,P=7\\,\\); \\(\\,Q=4\\,\\) und \\(\\,e=3\\,\\), allso müsste seyn\n
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\n \\(\\,9^{2}+\\left(7\\cdot 4-3\\cdot 7-3\\cdot 4\\right)^{2}=9^{2}+5^{2}=106=M^{2}+3N^{2}\\,\\)\n \n
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welches ebenfalls unmöglich ist.
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Da ich nun nicht einmal ein Exempel finden kan, welches einträfe, so schliesse ich daraus, daß eine gewisse Bedingung\n in den Zahlen \\(\\,a\\,\\), \\(\\,b\\,\\), \\(\\,P\\,\\) und \\(\\,Q\\,\\) müsse weggelassen seyn, welche ich aber nicht ausfündig machen kan.4
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Ich habe dem H. Spener zu wissen gethan, daß Eur. Hochwohlgeb. die Rechnung für die überschickten Bücher\n verlangen; bekomme ich dieselbe vor Schliessung dieses Briefs, wie ich ihm habe sagen\n lassen, so werde ich sie beylegen.5
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Sonsten da er nicht alle verlangte Bücher gehabt, so werde ich inskünftige dergleichen\n Commissionen dem M.\\(\\,{}^{\\text{r}}\\,\\)Neaulme, welcher weit activer ist und alles schaffen kan, auftragen. Wegen des Werks: La Clef du Cabinet des Princes füge hier die Antwort des M.\\(\\,{}^{\\text{r}}\\,\\)de Bourdeaux bey.6
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Sollte dasselbe vor der Ankunft einer Resolution von Eur. Hochwohlgeb. schon verkauft worden seyn, so hat sich M.\\(\\,{}^{\\text{r}}\\,\\)Neaulme anheischig gemacht, dasselbe auch zu liefern.\n
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Ich habe die Ehre mit der schuldigsten Hochachtung zu verharren
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Eur. Hochwohlgebohrnen
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gehorsamster Diener
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\n L. Euler\n \n
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Berlin den 3\\(\\,{}^{\\text{ten}}\\,\\)Januarii
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1756.
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\n Berlin, January 3rd, 1756\n \n
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\n Original, 1 fol. – RGADA, f. 181, n. 1413, č. V, fol. 123rv\n \n
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\n Published: Correspondance (1843), t. I, p. 636–637; Euler-Goldbach (1965), p. 385–386\n \n
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