52.N-Queens-II.md

题目地址

https://leetcode-cn.com/problems/n-queens-ii

题目描述

n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。

给定一个整数 n，返回 n 皇后不同的解决方案的数量。

示例:

输入: 4
输出: 2
解释: 4 皇后问题存在如下两个不同的解法。

[
 [".Q..",  // 解法 1
  "...Q",
  "Q...",
  "..Q."],

 ["..Q.",  // 解法 2
  "Q...",
  "...Q",
  ".Q.."]
]

思路

使用深度优先搜索配合位运算，二进制为 1 代表不可放置，0 相反

利用如下位运算公式：

• x & -x ：得到最低位的 1 代表除最后一位 1 保留，其他位全部为 0
• x & (x-1)：清零最低位的 1 代表将最后一位 1 变成 0
• x & ((1 << n) - 1)：将 x 最高位至第 n 位(含)清零

关键点

• 位运算
• DFS（深度优先搜索）

代码

• 语言支持：JS

/**
 * @param {number} n
 * @return {number}
 * @param row 当前层
 * @param cols 列
 * @param pie 左斜线
 * @param na 右斜线
 */
const totalNQueens = function (n) {
    let res = 0;
    const dfs = (n, row, cols, pie, na) => {
        if (row >= n) {
            res++;
            return;
        }
        // 将所有能放置 Q 的位置由 0 变成 1，以便进行后续的位遍历
        // 也就是得到当前所有的空位
        let bits = (~(cols | pie | na)) & ((1 << n) - 1);
        while (bits) {
            // 取最低位的1
            let p = bits & -bits;
            // 把P位置上放入皇后
            bits = bits & (bits - 1);
            // row + 1 搜索下一行可能的位置
            // cols ｜ p 目前所有放置皇后的列
            // (pie | p) << 1 和 (na | p) >> 1) 与已放置过皇后的位置 位于一条斜线上的位置
            dfs(n, row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1);
        }
    }
    dfs(n, 0, 0, 0, 0);
    return res;
};

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N!)
• 空间复杂度：O(N)