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50.pow-x-n.md

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题目地址（50. Pow(x, n)）

https://leetcode-cn.com/problems/powx-n/description/

题目描述

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000
示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100
示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25
说明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。

前置知识

  • 递归
  • 位运算

解法零 - 遍历法

思路

这道题是让我们实现数学函数幂，因此直接调用系统内置函数是不被允许的。

符合直觉的做法是将x乘以n次，这种做法的时间复杂度是$O(N)$。

经实际测试，这种做法果然超时了。测试用例通过 291/304，在 0.00001\n2147483647这个测试用例挂掉了。如果是面试，这个解法可以作为一种兜底解法。

代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        res = 1
        for _ in range(n):
            res *= x
        return res

解法一 - 普通递归（超时法）

思路

首先我们要知道：

  • 如果想要求 x ^ 4，那么我们可以求 (x^2)^2
  • 如果是奇数，会有一点不同。 比如 x ^ 5 就等价于 x * (x^2)^2。

当然 x ^ 5 可以等价于 (x ^ 2) ^ 2.5, 但是这不相当于直接调用了幂函数了么。对于整数，我们可以很方便的模拟，但是小数就不方便了。

我们的思路就是：

  • 将 n 地板除 2，我们不妨设结果为 a
  • 那么 myPow(x, n) 就等价于 myPow(x, a) * myPow(x, n - a)

很可惜这种算法也会超时，原因在于重复计算会比较多，你可以试一下缓存一下计算看能不能通过。

如果你搞不清楚有哪些重复计算，建议画图理解一下。

代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n == 1:
            return x
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        return self.myPow(x, n // 2) * self.myPow(x, n - n // 2)

解法二 - 优化递归

思路

上面的解法每次直接 myPow 都会调用两次自己。我们不从缓存计算角度，而是从减少这种调用的角度来优化。

我们考虑 myPow 只调用一次自身可以么？ 没错，是可以的。

我们的思路就是：

  • 如果 n 是偶数，我们将 n 折半，底数变为 x^2
  • 如果 n 是奇数， 我们将 n 减去 1 ，底数不变，得到的结果再乘上底数 x

这样终于可以 AC。

代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n == 0:
            return 1
        if n == 1:
            return x
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        return self.myPow(x _ x, n // 2) if n % 2 == 0 else x _ self.myPow(x, n - 1)

解法三 - 位运算

思路

我们来从位（bit）的角度来看一下这道题。如果你经常看我的题解和文章的话，可能知道我之前写过几次相关的“从位的角度思考分治法”，比如 LeetCode 458.可怜的小猪。

以 x 的 10 次方举例。10 的 2 进制是 1010，然后用 2 进制转 10 进制的方法把它展成 2 的幂次的和。

因此我们的算法就是：

  • 不断的求解 x 的 2^0 次方，x 的 2^1 次方，x 的 2^2 次方等等。
  • 将 n 转化为二进制表示
  • 将 n 的二进制表示中1的位置pick 出来。比如 n 的第 i 位为 1，那么就将 x^i pick 出来。
  • 将 pick 出来的结果相乘

这里有两个问题：

第一个问题是似乎我们需要存储 x^i 以便后续相乘的时候用到。实际上，我们并不需要这么做。我们可以采取一次遍历的方式来完成，具体看代码。

第二个问题是，如果我们从低位到高位计算的时候，我们如何判断最高位置是否为 1？我们需要一个 bitmask 来完成，这种算法我们甚至需要借助一个额外的变量。 然而我们可以 hack 一下，直接从高位到低位进行计算，这个时候我们只需要判断最后一位是否为 1 就可以了，这个就简单了，我们直接和 1 进行一次与运算即可。

代码

语言支持: Python3

Python3 Code:

class Solution:
    def myPow(self, x: float, n: int) -> float:
        if n < 0:
            return 1 / self.myPow(x, -n)
        res = 1
        while n:
            if n & 1 == 1:
                res *= x
            x *= x
            n >>= 1
        return res

关键点解析

  • 超时分析
  • hashtable
  • 数学分析
  • 位运算
  • 二进制转十进制

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