lec02.tex

\subsection{\texorpdfstring{Теорема Чёрча-Россера}{Church-Rosser theorem}}

\begin{definition}[ромбовидное свойство]
    $G$ обладает ромбовидным свойством, если какие бы ни были $a$, $b$, $c$, что $aGb$, $aGc$, $b \ne c$, найдётся такое $d$, что $bGd$ и $cGd$.
\end{definition}

\begin{example}
    $(<)$ на натуральных числах обладает ромбовидным свойством.
    $(>)$ на натуральных числах не обладает ромбовидным свойством.

$\beta$-редукция не обладает ромбовидным свойством (рисунок \ref{no-diamond}).
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[->,>={Stealth[black]}, every edge/.style={draw=black,thick}]
        \node[label={\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$a$};}]     at (0,   0) (A)  {$(\lambda x . x x)(\comb Ia)$};
        \node[label={135:\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$b$};}] at (-2, -1) (B)  {$(\comb Ia)(\comb Ia)$};
        \node[label={45:\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$c$};}]  at (2,  -1) (C)  {$(\lambda x . x x) a$};
        \node                                                       at (-3, -2) (B1) {$(\comb Ia)a$};
        \node                                                       at (-1, -2) (B2) {$a(\comb Ia)$};
        \node                                                       at (0,  -3) (D)  {$aa$};

        \path (A)  edge (B)
                   edge (C)
              (B)  edge (B1)
                   edge (B2)
              (B1) edge (D)
              (B2) edge (D)
              (C)  edge (D);
    \end{tikzpicture}
    %\captionsetup{labelformat=empty}
    \caption{Нет такого $d$, что $b \to_{\beta} d$ и $c \to_{\beta} d$.}
    \label{no-diamond}
\end{figure}
\end{example}

\begin{theorem}[Чёрча-Россера] \label{church-rosser}
    $\beta$-редуцируемость обладает ромбовидным свойством.
\end{theorem}

\begin{lemma}
    Если $R$ обладает ромбовидным свойством, то $R^{*}$ (транзитивно-рефлексивное замыкание $R$) обладает ромбовидным свойством.
\end{lemma}

\begin{proof}
    Пусть $M_1 R^{*} M_n$ и $M_1 R N_1$. Тогда существуют такие $M_2 \ldots M_{n-1}$, что $M_1 R M_2$ \ldots $M_{n-1} R M_n$.
    Так как $R$ обладает ромбовидным свойством, $M_1 R M_2$ и $M_1 R N_1$, то существует такое $N_2$,
    что $N_1 R N_2$ и $M_2 R N_2$. Аналогично, существуют такие $N_3 \ldots N_n$, что $N_{i-1} R N_{i}$ и $M_i R N_i$.
    Мы получили такое $N_n$, что $N_1 R^{*} N_n$ и $M_n R^{*} N_n$.

    Пусть теперь $M_{1,1}R^{*}M_{1,n}$ и $M_{1,1}R^{*}M_{m,1}$, то есть имеются $M_{1,2}$\ldots$M_{1,n-1}$ и $M_{2,1}$\ldots$M_{m-1,1}$,
    что $M_{1,i-1} R M_{1,i}$ и $M_{i-1, 1} R M_{i, 1}$.
    Тогда существует такое $M_{2,n}$, что $M_{2,1} R^{*} M_{2,n}$ и $M_{1,n} R^{*} M_{2,n}$.
    Аналогично, существуют такие $M_{3,n}\ldots M_{m,n}$, что $M_{i,1} R^{*} M_{i,n}$ и $M_{1,n} R^{*} M_{i,n}$.
    Тогда $M_{1,n} R^{*} M_{m,n}$ и $M_{m,1} R^{*} M_{m,n}$.
\end{proof}

\begin{definition}[параллельная $\beta$-редукция]
    Обозначается как $A \rightrightarrows_{\beta} B$.
    \begin{enumerate}
        \item Если $A =_\alpha B$, то $A \rightrightarrows_{\beta}B$
        \item Если $A \rightrightarrows_{\beta} B$, то $\lambda x.A \rightrightarrows_{\beta} \lambda x . B$
        \item Если $P \rightrightarrows_{\beta} Q$ и $R \rightrightarrows_{\beta} S$, то $PR \rightrightarrows_{\beta} QS$
        \item Если $P \rightrightarrows_{\beta}R$ и $Q \rightrightarrows_{\beta} S$,
            то $(\lambda x . P) Q \rightrightarrows_{\beta} R [x\coloneqq{}S]$.
    \end{enumerate}
\end{definition}

\begin{statement} \label{st-star}
    $(\rightrightarrows_{\beta})$ обладает ромбовидным свойством.
\end{statement}

\begin{proof}
    \todo % TODO
\end{proof}

\begin{statement} \label{st-A}
    Если $A \to_{\beta} B$, то $A \rightrightarrows_{\beta} B$.
\end{statement}

\begin{statement} \label{st-B}
    Если $A \rightrightarrows_{\beta} B$, то $A \twoheadrightarrow_{\beta} B$.
\end{statement}

\begin{proof}
    \todo % TODO
\end{proof}

При этом обратное, очевидно, не всегда верно (рисунок \ref{no-reverse}).
\begin{figure}[ht]
    \centering
    \begin{tikzpicture}[>={Stealth[black]}]
        \node[label={180:\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$a$};}] at (0, -0.5) (A)  {$(\lambda x . x x) (\lambda x . x x x)$};
        \node[label={180:\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$b$};}] at (0, -2) (B)  {$(\lambda x . x x x) (\lambda x . x x x)$};
        \node[label={0:\scriptsize\tikz\node[circle,draw]{$c$};}] at (5,  -2) (C)  {$(\lambda x . x x x)(\lambda x . x x x)(\lambda x . x x x)$};

        \draw[transform canvas={xshift=3pt},->,style={draw=black,semithick}]  (A) -- (B);
        \draw[transform canvas={xshift=-3pt},->,style={draw=black,semithick}] (A) -- (B);
        \draw[->>,style={draw=black,thick}]                                   (A) -- (C);
        \draw[transform canvas={yshift=3pt},->,style={draw=black,semithick}]  (B) -- (C);
        \draw[transform canvas={yshift=-3pt},->,style={draw=black,semithick}] (B) -- (C);
        %\path (A) edge[->] (B)
        %          edge[->>] (C)
        %      (B) edge[->] (C);
    \end{tikzpicture}
    \caption{$a \twoheadrightarrow_\beta c$, но $a \mathrel{\cancel{\rightrightarrows_\beta}} c$.}
    \label{no-reverse}
\end{figure}

\begin{statement} \label{st-C}
    Из \ref{st-A} и \ref{st-B} следует, что $(\to_{\beta})^{*} = (\rightrightarrows_{\beta})^{*}$.
\end{statement}

\begin{proof}
    Теорема \nameref{church-rosser} следует из \ref{st-star} и \ref{st-C}.
\end{proof}

\begin{corollary}
    Нормальная форма для $\lambda$-выражения единственна, если существует.
\end{corollary}

\begin{theorem}[тезис Чёрча]
    Если функция вычислима с помощью механического аппарата, то она вычислима с помощью $\lambda$-выражения.
\end{theorem}

\subsection{\texorpdfstring{Порядок редукции}{Order of reduction}}
\epigraph{"<Завтра! Завтра! Не сегодня!"> "--- так ленивцы говорят.}{Das deutsche Sprichwort}

Допустим, мы действительно хотим с помощью $\lambda$-исчисления что-то посчитать.
Нам надо определиться со стратегией редукции. Если она будет выбрана неудачно, то мы рискуем не дождаться ожидаемого результата.

\begin{definition}
\[
    \comb K = \lambda x \lambda y . x \qquad
    \comb I = \lambda x . x \qquad
    \comb S = \lambda x y z . x z (y z)
\]
\end{definition}
$\comb I$ выражается через $\comb S$ и $\comb K$: $\comb I = \comb S \comb K \comb K$.

\begin{statement} \label{SK-basis}
    Пусть $A$ "--- замкнутое $\lambda$-выражение.
    Тогда найдётся выражение $T$, состоящее только из $\comb S$ и $\comb K$, что $A =_{\beta}T$.
\end{statement}
%\newpage

Нормальная форма некоторых $\lambda$-выражений может не достигаться при неудачном выборе порядка редукции (рисунок \ref{infred}).
\begin{figure}[ht]
\centering
\begin{tikzpicture}[->,>={Stealth[black]},every edge/.style={draw=black,thick}]
    \node at (0, 0) (A)  {$\comb K a \combl \Omega$};
    \node at (2, 0) (B)  {$a$};

    \path (A) edge [loop left] node[auto] {$\reduction{\combl\Omega}$} ()
              edge [->>]       node[auto] {$\reduction{\comb K}$}      (B);
\end{tikzpicture}
\caption{Редукция $\Omega$ обращает выражение в себя.}
\label{infred}
\end{figure}

\begin{definition}[нормальный порядок редукции]
    Редукция самого левого $\beta$-редекса.
\end{definition}
Если добавить меморизацию к нормальному порядку редукции, то мы получим "<ленивые вычисления">.
То есть, если значение выражения запрашивается много раз, то вычисляться оно будет только один раз.
Например, пусть $\func{Mul2} = \lambda a . \func{Add} a a$.
Тогда при вычислении $\func{Mul2} (\func{Add} \mathinner{\overline 2} \overline 2)$ в $\func{Mul2}$ будет передана ссылка
на выражение $\func{Add} \mathinner{\overline 2} \overline 2$,
во время первого запроса значения выражение будет вычислено и результат будет сохранён по ссылке,
и во время второго запроса будет возвращён уже посчитанный результат.

\begin{definition}[аппликативный порядок редукции]
    Редукция самого левого $\beta$-редекса из самых вложенных.
\end{definition}
Такой порядок редукции ещё называют "<энергичными вычислениями">.

\begin{statement}
    Если нормальная форма существует, она может быть достигнута нормальным порядком редукции.
\end{statement}

\subsection{\texorpdfstring{Парадокс Карри}{Curry's paradox}}

Попробуем наивно построить логику на основе $\lambda$-исчисления.
Введём комбнатор-импликацию, обозначим $(\supset)$.
Довольно естественно требовать он нашего исчисления M.P. и следующие схемы аксиом:
\begin{enumerate}
    \item $A \supset A$
    \item $(A \supset (A \supset B)) \supset (A \supset B)$
    \item $A =_{\beta} B$, тогда $A \supset B$
\end{enumerate}

Не смотря на кажущуюся простоту, данная логика уже противоречива.
Покажем, как в полученной логике можно доказать любое утверждение.
Введём обозначение: $\comb Y_{\supset a} \equiv \comb Y (\lambda t . t \supset a)
=_\beta (\lambda t . t \supset a) (\comb Y (\lambda t . t \supset a))
=_{\beta} \comb Y (\lambda t . t \supset a) \supset a$.

\begin{tabular}{lll}
    1) & $\comb Y_{\supset a} \supset \comb Y_{\supset a}$ & (схема аксиом) \\
    2) & $\comb Y_{\supset a} \supset (\comb Y_{\supset a} \supset a)$ & (можно доказать) \\
    3) & $(\comb Y_{\supset a} \supset \comb Y_{\supset a} \supset a) \supset (\comb Y_{\supset a} \supset a)$ & (схема аксиом) \\
    4) & $\comb Y_{\supset a} \supset a$ & (M.P.) \\
    5) & $(\comb Y_{\supset a} \supset a) \supset \comb Y_{\supset a}$ & (третье правило) \\
    6) & $\comb Y_{\supset a}$ & (M.P.) \\
    7) & $a$ & (M.P.)
\end{tabular}

Сделать это нам дал возможность тот факт,
что в нашей логике с помощью $\comb Y$-комбинатора мы можем ссылаться в утверждении на само себя.
Аналогично можно прийти к парадоксальному выводу из высказывания "<если это утверждение верно, то русалки существуют"> на нашем мета-языке.

\section{\texorpdfstring{Просто типизированное \textlambda-исчисление}{Simply typed lambda calculus}}

\subsection{\texorpdfstring{Импликационный фрагмент ИИВ}{Implication fragment of intuitionistic logic}}

\begin{definition}[импликационный фрагмент ИИВ]
    Рассмотрим интуиционистское исчисление высказываний.
    \begin{enumerate}
        \item Введём схему аксиом:
        \[
            \infer{\Gamma, \varphi \vdash \varphi}{}
        \]
        \item Правило введения импликации:
        \[
            \infer{\Gamma \vdash \varphi \to \psi}{\Gamma, \varphi \vdash \psi}
        \]
        \item И правило удаления импликации:
        \[
            \infer{\Gamma \vdash \psi}{\Gamma \vdash \varphi \to \psi && \Gamma \vdash \varphi}
        \]
    \end{enumerate}

    Мы построили импликационный фрагмент ИИВ (и.ф.и.и.в).
\end{definition}

\begin{example} Докажем $\varphi \to \psi \to \varphi$:
\[
    \infer[(2)]
        { \vdash \varphi \to (\psi \to \varphi) }
        { \infer[(2)]
            { \varphi \vdash \psi \to \varphi }
            { \infer[(1)]
                { \varphi, \psi \vdash \varphi}
                {}
            }
        }
\]
\end{example}

\begin{theorem}
    И.ф.и.и.в полон в моделях Крипке, то есть $\Gamma \vdash \varphi$ т.и.т.т.,
    когда для любой модели крипке $C$ из $\Vdash_C \Gamma$ следует $\Vdash_C \varphi$.
\end{theorem}

\begin{proof}
    Рассмотрим модель Крипке вида $W = \set{\Delta \mid \Gamma \subseteq \Delta}$, где $\Delta$ замкнуто относительно $\vdash$,
    то есть из $\Delta \vdash \varphi$ следует $\varphi \in \Delta$.
    $\Gamma \leq \Delta$ если $\Gamma \subseteq \Delta$.
    Индукцией по структуре $\varphi$ покажем, что $\Delta \Vdash \varphi$ т.и.т.т., когда $\Delta \vdash \varphi$.
    \begin{enumerate}
        \item Пусть $\varphi \equiv x$ "--- переменная. Тогда $\Gamma \vdash \varphi$ эквивалентно $x \in \Gamma$, что эквивалентно $\Gamma\Vdash x$ (по определению).
        \item Пусть $\varphi \equiv \alpha \to \beta$.
        \begin{enumerate}[label=(\asbuk*)]
            \item Пусть $\Delta \vdash \alpha\to\beta$.
                Рассмотрим такое $\Delta'$, что $\Delta \leq \Delta'$ и $\Delta' \Vdash \alpha$.
                Так как $\Delta \vdash \alpha\to\beta$, то $\Delta' \vdash \alpha\to\beta$.
                Так как $\Delta' \Vdash \alpha$, то по индукционному предположению $\Delta' \vdash \alpha$.
                \[
                    \infer{\Delta' \vdash \beta}{\Delta' \vdash \alpha \to \beta && \Delta' \vdash \alpha}
                \]
                Значит, $\Delta' \Vdash \beta$ по индуционному предположению. Тогда и $\Delta' \Vdash \alpha\to\beta$.
            \item Пусть $\Delta \Vdash \alpha\to\beta$.
                Пусть $\Delta'$ "--- замыкание относительно выводимости $\Delta \cup \set \alpha$.
                Тогда $\Delta' \Vdash \beta$. Тогда $\Delta' \vdash \beta$ по предположению индукции.
                \[
                    \infer{\Delta' \vdash \alpha \to \beta}{\Delta', \alpha \vdash \beta}
                    \qedhere
                \]
        \end{enumerate}
    \end{enumerate}
\end{proof}

\begin{corollary}
    И.ф.и.и.в замкнут относительно выводимости.
\end{corollary}
Если некоторое утверждение выводится в ИИВ ($\vdash_{и} \varphi$) и содержит только импликации,
то оно выводится и в и.ф.и.и.в. ($\vdash_{и \to} \varphi$).