树（Tree）：由
$n \ge 0$ 个节点与节点之间的关系组成的有限集合。当$n = 0$ 时称为空树，当$n > 0$ 时称为非空树。
之所以把这种数据结构称为「树」是因为这种数据结构看起来就像是一棵倒挂的树，也就是说数据结构中的「树」是根朝上，而叶朝下的。如下图所示。
「树」具有以下的特点：
- 有且仅有一个节点没有前驱节点，该节点被称为树的 「根节点（Root）」 。
- 除了根节点以之，每个节点有且仅有一个直接前驱节点。
- 包括根节点在内，每个节点可以有多个后继节点。
- 当
$n > 1$ 时，除了根节点之外的其他节点，可分为$m(m > 0)$ 个互不相交的有限集合$T_1, T_2, ..., T_m$ ，其中每一个集合本身又是一棵树，并且被称为根的 「子树（SubTree）」。
如下图所示，红色节点
下面我们来介绍一下树结构中的一些基本术语。
「树的节点」 由一个数据元素和若干个指向其子树的树的分支组成。而节点所含有的子树个数称为 「节点的度」。度为
- 树的节点：由一个数据元素和若干个指向其子树的树的分支组成。
- 节点的度：一个节点所含有的子树个数。
-
叶子节点（终端节点）：度为
$0$ 的节点。例如图中叶子节点为$C$ 、$H$、$I$、$G$、$F$、$K$。 -
分支节点（非终端节点）：度不为
$0$ 的节点。例如图中分支节点为$A$ 、$B$、$D$、$E$、$G$。 -
树的度：树中节点的最大度数。例如图中树的度为
$3$ 。
一个节点的子树的根节点称为该节点的 「孩子节点」，相应的，该节点称为孩子的 「父亲节点」。同一个父亲节点的孩子节点之间互称为 「兄弟节点」。
-
孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。例如图中
$B$ 是$A$ 的孩子节点。 -
父亲节点（父节点）：如果一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点。例如图中
$B$ 是$E$ 的父亲节点。 -
兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点。例如图中
$F$ 、$G$ 互为兄弟节点。
「节点的层次」 是从根节点开始定义，将根节点作为第 1 层，根的孩子节点作为第 2 层，以此类推，如果某个节点在第
-
节点的层次：从根节点开始定义，根为第
$1$ 层，根的子节点为第$2$ 层，以此类推。 -
树的深度（高度）：所有节点中最大的层数。例如图中树的深度为
$4$ 。 -
堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟。例如图中
$J$ 、$K$ 互为堂兄弟节点。 -
路径：树中两个节点之间所经过的节点序列。例如图中
$E$ 到$G$ 的路径为$E - B - A - D - G$ 。 -
路径长度：两个节点之间路径上经过的边数。例如图中
$E$ 到$G$ 的路径长度为$4$ 。 -
节点的祖先：从该节点到根节点所经过的所有节点，被称为该节点的祖先。例如图中
$H$ 的祖先为$E$ 、$B$、$A$。 -
节点的子孙：节点的子树中所有节点被称为该节点的子孙。例如图中
$D$ 的子孙为$F$ 、$G$、$K$。
根据节点的子树是否可以互换位置，我们可以将树分为两种类型：「有序树」 和 「无序树」。
如果将树中节点的各个子树看做是从左到右是依次有序的（即不能互换），则称该树为 「有序树」。反之，如果节点的各个子树可以互换位置，则成该树为 「无序树」。
- 有序树：节点的各个⼦树从左⾄右有序， 不能互换位置。
- 无序树：节点的各个⼦树可互换位置。
二叉树（Binary Tree）：树中各个节点的度不大于
$2$ 个的有序树，称为二叉树。通常树中的分支节点被称为 「左子树」 或 「右子树」。二叉树的分支具有左右次序，不能随意互换位置。
下图就是一棵二叉树。
二叉树也可以使用递归方式来定义，即二叉树满足以下两个要求之一：
- 空树：二叉树是一棵空树。
-
非空树：二叉树是由一个根节点和两棵互不相交的子树
$T_1$ 、$T_2$，分别称为根节点的左子树、右子树组成的非空树；并且$T_1$ 、$T_2$ 本身都是二叉树。
⼆叉树是种特殊的树，它最多有两个⼦树，分别为左⼦树和右⼦树，并且两个子树是有序的，不可以互换。也就是说，在⼆叉树中不存在度⼤于
二叉树在逻辑上可以分为
下面我们来介绍一些特殊的二叉树。
满二叉树（Full Binary Tree）：如果所有分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子节点都在同一层上，则称该二叉树为满二叉树。
满二叉树满足以下特点：
- 叶子节点只出现在最下面一层。
- 非叶子节点的度一定为
$2$ 。 - 在同等深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，叶子节点个数最多。
如果我们对满二叉树的节点进行编号，根节点编号为
我们可以来看几个例子。
完全二叉树（Complete Binary Tree）：如果叶子节点只能出现在最下面两层，并且最下层的叶子节点都依次排列在该层最左边的位置上，具有这种特点的二叉树称为完全二叉树。
完全二叉树满足以下特点：
- 叶子节点只能出现在最下面两层。
- 最下层的叶子节点一定集中在该层最左边的位置上。
- 倒数第二层如果有叶子节点，则该层的叶子节点一定集中在右边的位置上。
- 如果节点的度为
$1$ ，则该节点只偶遇左孩子节点，即不存在只有右子树的情况。 - 同等节点数的二叉树中，完全二叉树的深度最小。
完全二叉树也可以使用类似满二叉树的节点编号的方式来定义。即从根节点编号为
我们可以来看几个例子。
二叉搜索树（Binary Search Tree）：也叫做二叉查找树、有序二叉树或者排序二叉树。是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
- 如果任意节点的左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值。
- 如果任意节点的右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于它的根节点的值。
- 任意节点的左子树、右子树均为二叉搜索树。
如图所示，这
平衡二叉搜索树（Balanced Binary Tree）：一种结构平衡的二叉搜索树。即叶节点高度差的绝对值不超过
$1$ ，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉搜索树。平衡二叉树可以在$O(logn)$ 内完成插入、查找和删除操作。最早被发明的平衡二叉搜索树为 「AVL 树（Adelson-Velsky and Landis Tree））」。AVL 树满足以下性质：
- 空二叉树是一棵 AVL 树。
- 如果 T 是一棵 AVL 树，那么其左右子树也是 AVL 树，并且
$|h(ls) - h(rs)| \le 1$ ，$h(ls)$ 是左子树的高度，$h(rs)$ 是右子树的高度。- AVL 树的高度为
$O(log n)$ 。
如图所示，前
二叉树的存储结构分为两种：「顺序存储结构」和「链式存储结构」，下面进行一一讲解。
其实，堆排序、优先队列中的二叉堆结构，采用的就是二叉树的顺序存储结构。
二叉树的顺序存储结构使用一维数组来存储二叉树中的节点，节点存储位置则采用完全二叉树的节点层次编号，按照层次从上至下，每一层从左至右的顺序依次存放二叉树的数据元素。在进行顺序存储时，如果对应的二叉树节点不存在，则设置为「空节点」。
下图为二叉树的顺序存储结构。
从图中我们也可以看出节点之间的逻辑关系。
- 如果某二叉树节点（非叶子节点）的下标为
$i$ ，那么其左孩子节点下标为$2 * i + 1$ ，右孩子节点下标为$2 * i + 2$ 。 - 如果某二叉树节点（非根节点）的下标为
$i$ ，那么其根节点下标为$(i - 1) // 2$ 。$//$ 表示整除。
对于完全二叉树（尤其是满二叉树）来说，采用顺序存储结构比较合适，它能充分利用存储空间；而对于一般二叉树，如果需要设置很多的「空节点」，则采用顺序存储结构就会浪费很多存储空间。并且，由于顺序存储结构固有的一些缺陷，会使得二叉树的插入、删除等操作不方便，效率也比较低。对于二叉树来说，当树的形态和大小经常发生动态变化时，更适合采用链式存储结构。
二叉树采用链式存储结构时，每个链节点包含一个用于数据域
二叉链节点结构的对应代码为：
class TreeNode:
def __init__(self, val=0, left=None, right=None):
self.val = val
self.left = left
self.right = right下面我们将值为
二叉树的链表存储结构具有灵活、方便的特点。节点的最大数目只受系统最大可存储空间的限制。一般情况下，二叉树的链表存储结构比顺序存储结构更省空间（用于存储指针域的空间开销只是二叉树中节点数的线性函数），而且对于二叉树实施相关操作也很方便，因此，一般我们使用链式存储结构来存储二叉树。
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