diff --git a/tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex b/tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex index caf0d06..61a0cd1 100644 --- a/tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex +++ b/tex/analysis_2/4_calculus_nvals.tex @@ -143,13 +143,13 @@ \section{Teorema di Dini} Allora esistono $I_{\vb{x^0}} \in \R^{n-k}$ intorno circolare aperto di $\vb{x^0}$ e $J_{\vb{y^0}} \in \R^k$ intorno circolare aperto di $\vb{y^0}$ tali che: \begin{enumerate} \item $W=I_{\vb{x^0}}\times J_{\vb{y^0}} \subseteq A$ - \item $\exists \vecf \in \C{1}(I_{\vb{x^0}}, J_{\vb{y^0}}) \tc \bm g(\vb{x}, \vb{y})=\vb{0} \iff \vb{y} = \bm f (\vb{x}) \with \vb{x} \in I_{\vb{x^0}}$ + \item $\exists \vecf \in \C{1}(I_{\vb{x^0}}, J_{\vb{y^0}}) \tc \bm g(\vb{x}, \vb{y})=\vb{0} \iff \vb{y} = \vecf (\vb{x}) \with \vb{x} \in I_{\vb{x^0}}$ \end{enumerate} Inoltre $$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=-\frac - {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k}(\vb{x},\bm f(\vb{x}))} - {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_k}(\vb{x},\bm f(\vb{x}))} + {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_{i-1},x_j,y_{i+1},\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))} + {\det \frac{\partial (g_1,\dots,g_k)}{\partial y_1,\dots,y_k}(\vb{x},\vecf(\vb{x}))} $$ \qed \end{theorem} diff --git a/tex/analysis_2/6_curves_work.tex b/tex/analysis_2/6_curves_work.tex index 32650c0..5ff3fc0 100644 --- a/tex/analysis_2/6_curves_work.tex +++ b/tex/analysis_2/6_curves_work.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Curve e lavoro} +\chapter{Curve e lavoro}\label{chap:curves} \section{Curve in forma parametrica} @@ -126,19 +126,19 @@ \section{Lavoro} \begin{definition} [Campo vettoriale] - Sia $A\subseteq \R^n$ un aperto connesso. Una funzione $\vb{f}: A \to \R^n$ continua è detta campo vettoriale. + Sia $A\subseteq \R^n$ un aperto connesso. Una funzione $\vecf: A \to \R^n$ continua è detta campo vettoriale. \end{definition} \begin{definition} [$1$-forma differenziale]\label{def:1form} - Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$. + Si definisce 1-forma differenziale $\omega=\ip{\vecf(\vb{x})}{\dd \vb{x}}$. \end{definition} \begin{definition} [Lavoro] - Sia $\gamma \subseteq A$ una curva regolare (a tratti) orientabile con orientamento $\hat{\bm\tau}$. Il lavoro di $\vb{f}$ lungo $\gamma$ è + Sia $\gamma \subseteq A$ una curva regolare (a tratti) orientabile con orientamento $\hat{\bm\tau}$. Il lavoro di $\vecf$ lungo $\gamma$ è $$ - L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\ip{\vb{f}(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\tau}}\dd s + L_{\gamma,\hat{\bm\tau}}=\int_{\gamma,\hat{\bm\tau}}\omega=\int_{\gamma, \hat{\bm\tau}}\ip{\vecf(\vb{x})}{\dd \vb{x}}=\int_\gamma \ip{\vecf}{\hat{\bm\tau}}\dd s $$ dove $s$ è l'ascissa curvilinea. \end{definition} @@ -149,7 +149,7 @@ \section{Lavoro} Se si considera la parametrizzazione $\vb{r}: [a,b]\suarrow \gamma$, dove si assume che l'orientamento indotto dalla parametrizzazione sia compatibile con $\hat{\bm\tau}$, allora il lavoro si può calcolare come segue: $$ - L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\ip{\vb{f}(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t + L_{\gamma, \hat{\bm\tau}} = \int_a^b\ip{\vecf(\vb{r} (t))}{\frac{\dd \vb{r}}{\dd t} (t)}\dd t $$ \begin{theorem} @@ -169,21 +169,21 @@ \section{Campi vettoriali conservativi} \begin{definition} [Campo vettoriale conservativo] - Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo se $\exists U \in \C{1}(A,\R) \tc$ + Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$. $\vecf$ è un campo vettoriale conservativo se $\exists U \in \C{1}(A,\R) \tc$ $$ - \vb{f}(\vb{x})=\grad U(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A + \vecf(\vb{x})=\grad U(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A $$ - In tal caso $U$ è detto potenziale del campo $\vb{f}$. + In tal caso $U$ è detto potenziale del campo $\vecf$. \end{definition} \begin{prop} - Siano $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso e $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora $V\in \C{1}(A,\R)$ è un potenziale di $\vb{f} \iff \exists k \in \R \tc V(\vb{x})=U(\vb{x}) + k \ \forall \vb{x} \in A$. + Siano $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso e $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora $V\in \C{1}(A,\R)$ è un potenziale di $\vecf \iff \exists k \in \R \tc V(\vb{x})=U(\vb{x}) + k \ \forall \vb{x} \in A$. \qed \end{prop} \begin{theorem} [Campi vettoriali conservativi e lavoro] - Sia $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$ un campo conservativo definito in $A\subseteq\R^n$ aperto e connesso e sia $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora, se $(\gamma,\hat{\bm\tau}) \subseteq A$ è una curva regolare a tratti orientabile con primo estremo $\vb{x}_i$ e secondo estremo $\vb{x}_f$, + Sia $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$ un campo conservativo definito in $A\subseteq\R^n$ aperto e connesso e sia $U \in \C{1}(A,\R)$ un suo potenziale. Allora, se $(\gamma,\hat{\bm\tau}) \subseteq A$ è una curva regolare a tratti orientabile con primo estremo $\vb{x}_i$ e secondo estremo $\vb{x}_f$, $$ L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=U(\vb{x}_f)-U(\vb{x}_i) $$ @@ -195,9 +195,9 @@ \section{Campi vettoriali conservativi} \begin{theorem} [Caratterizzazione dei campi vettoriali conservativi] - Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso, $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^n)$. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: + Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso, $\vecf \in \C{0}(A,\R^n)$. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: \begin{enumerate} - \item $\vb{f}$ è un campo vettoriale conservativo + \item $\vecf$ è un campo vettoriale conservativo \item Per ogni coppia di curve regolari a tratti orientate $(\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}), (\gamma_2,\hat{\bm\tau_2})$ con estremi coincidenti e $\gamma_1,\gamma_2 \subseteq A$ vale $$ L_{\gamma_1,\hat{\bm\tau_1}}=L_{\gamma_2,\hat{\bm\tau_2}} @@ -212,14 +212,14 @@ \section{Campi vettoriali conservativi} \begin{definition} [Campo vettoriale irrotazionale] - Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$. $\vb{f}$ è detto irrotazionale se ha matrice jacobiana simmetrica, ovvero se + Siano $A\subseteq\R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$. $\vecf$ è detto irrotazionale se ha matrice jacobiana simmetrica, ovvero se $$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(\vb{x})=\frac{\partial f_j}{\partial x_i}(\vb{x}) \ \forall \vb{x} \in A \ \forall i,j \in [n] $$ \end{definition} \begin{theorem} - Se $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso è conservativo, allora è irrotazionale. + Se $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ con $A$ aperto connesso è conservativo, allora è irrotazionale. \end{theorem} \begin{proof} @@ -227,7 +227,7 @@ \section{Campi vettoriali conservativi} \end{proof} \begin{theorem} - Sia $\vb{f} \in \C{1}(\R^2\setminus{(0,0)}, \R^2)$ un campo vettoriale irrotazionale. Se, detta $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e orientamento arbitrario, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$, allora $\vb{f}$ è conservativo. + Sia $\vecf \in \C{1}(\R^2\setminus{(0,0)}, \R^2)$ un campo vettoriale irrotazionale. Se, detta $\gamma$ la circonferenza di raggio unitario centrata in $(0,0)$ e orientamento arbitrario, $L_{\gamma, \hat{\bm\tau}}=0$, allora $\vecf$ è conservativo. \end{theorem} \begin{proof} @@ -255,10 +255,10 @@ \section{Campi vettoriali conservativi} \begin{lemma} [di Poincarè] - Sia $A \subseteq \R^n$ aperto convesso oppure stellato rispetto a un punto oppure semplicemente connesso. Sia $\vb{f}\in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\vb{f}$ è conservativo in $A$. + Sia $A \subseteq \R^n$ aperto convesso oppure stellato rispetto a un punto oppure semplicemente connesso. Sia $\vecf\in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\vecf$ è conservativo in $A$. \qed \end{lemma} \begin{corollary} - Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vb{f}$ è conservativo se ristretto a $B$. + Siano $A \subseteq \R^n$ un aperto connesso e $\vecf \in \C{1}(A,\R^n)$ un campo vettoriale irrotazionale. Allora $\forall B\subseteq A$ connesso oppure stellato oppure semplicemente connesso $\vecf$ è conservativo se ristretto a $B$. \end{corollary} \ No newline at end of file diff --git a/tex/analysis_2/7_surfaces.tex b/tex/analysis_2/7_surfaces.tex index 12f7725..ae37841 100644 --- a/tex/analysis_2/7_surfaces.tex +++ b/tex/analysis_2/7_surfaces.tex @@ -90,16 +90,16 @@ \section{Superfici} \begin{definition} [Flusso] - Sia $A\subseteq \R^3$ un aperto e sia $\Sigma \subseteq A$ una superficie orientabile con orientamento $\hat{\bm \nu}$ indotto dalla parametrizzazione $\vb{r}:\overline{\Omega}\to\Sigma$. Sia inoltre $\vb{f} \in \C{0}(A,\R^3)$ un campo vettoriale. Il flusso di $\vb{f}$ attraverso $\Sigma$ è + Sia $A\subseteq \R^3$ un aperto e sia $\Sigma \subseteq A$ una superficie orientabile con orientamento $\hat{\bm \nu}$ indotto dalla parametrizzazione $\vb{r}:\overline{\Omega}\to\Sigma$. Sia inoltre $\vecf \in \C{0}(A,\R^3)$ un campo vettoriale. Il flusso di $\vecf$ attraverso $\Sigma$ è $$ - \iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\ip{\vb{f}(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v + \iint_\Sigma \ip{\vecf}{\hat{\bm\nu}}\dd S = \iint_{\overline{\Omega}}\ip{\vecf(\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u} \wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}(u,v)}\dd u \dd v $$ \end{definition} \begin{remark} Se $\vb{r}$ induce l'orientamento opposto, $$ - \iint_\Sigma \ip{\vb{f}}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\ip{(\vb{f}\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v + \iint_\Sigma \ip{\vecf}{\hat{\bm\nu}}\dd S = -\iint_{\overline{\Omega}}\ip{(\vecf\circ\vb{r}(u,v))}{\frac{\partial \vb{r}}{\partial u}\wedge \frac{\partial \vb{r}}{\partial v}}\dd u \dd v $$ \end{remark} @@ -107,9 +107,9 @@ \section{Teorema di Stokes} \begin{definition} [Rotore] - Sia $\vb{f}\in \C{1}(A\subseteq \R^3,\R^3)$ con $A$ aperto un campo vettoriale. Si definisce rotore di $\vb{f}$ + Sia $\vecf\in \C{1}(A\subseteq \R^3,\R^3)$ con $A$ aperto un campo vettoriale. Si definisce rotore di $\vecf$ $$ - \rot \vb{f}=\curl \vb{f}=\det + \rot \vecf=\curl \vecf=\det \begin{bmatrix} \hat{\vb{i}} & \hat{\vb{j}} & \hat{\vb{k}}\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\ @@ -121,9 +121,9 @@ \section{Teorema di Stokes} \begin{theorem} [di Stokes o del rotore] - Siano $A \subseteq \R^3$ un aperto, $\vb{f} \in \C{1}(A,\R^3)$, $\Sigma \subseteq A$ una superficie regolare con bordo con orientamento $\hat{\bm \nu}$ e $(\partial \Sigma,\hat{\bm \tau})$ il suo bordo con orientamento indotto canonicamente. Allora + Siano $A \subseteq \R^3$ un aperto, $\vecf \in \C{1}(A,\R^3)$, $\Sigma \subseteq A$ una superficie regolare con bordo con orientamento $\hat{\bm \nu}$ e $(\partial \Sigma,\hat{\bm \tau})$ il suo bordo con orientamento indotto canonicamente. Allora $$ - \iint_\Sigma \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma = \int_{\partial\Sigma}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \tau}}\dd s + \iint_\Sigma \ip{\rot \vecf}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma = \int_{\partial\Sigma}\ip{\vecf}{\hat{\bm \tau}}\dd s $$ \end{theorem} @@ -134,9 +134,9 @@ \section{Teorema di Stokes} \paragraph{Teorema di Stokes tramite le forme differenziali} -Il teorema di Stokes può essere espresso anche tramite l'integrazione di una forma differenziale d'area (o 2-forma), ricavata applicando l'operatore differenziale esterno alla 1-forma associata al lavoro (Def. \ref{def:1form}). +Il teorema di Stokes può essere espresso anche tramite l'integrazione di una forma differenziale d'area (o 2-forma), ricavata applicando l'operatore differenziale esterno alla 1-forma associata al lavoro (Def. \ref{def:1form}, Cap. \ref{chap:curves}). $$ - \dd \omega = \ip{\rot \vb{f}}{\hat{\bm \nu}} \dd u \wedge \dd v + \dd \omega = \ip{\rot \vecf}{\hat{\bm \nu}} \dd u \wedge \dd v $$ Di conseguenza, $$ @@ -160,17 +160,17 @@ \section{Teorema di Gauss} \begin{definition} [Divergenza] - Sia $\vb{f} \in \C{1}(A\subseteq\R^3,\R^3)$ un campo vettoriale. Si definisce divergenza di $\vb{f}$ + Sia $\vecf \in \C{1}(A\subseteq\R^3,\R^3)$ un campo vettoriale. Si definisce divergenza di $\vecf$ $$ - \divop \vb{f}=\divergence \vb{f}=\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z} \in \R + \divop \vecf=\divergence \vecf=\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z} \in \R $$ \end{definition} \begin{theorem} [di Gauss o della divergenza] - Siano $A\subseteq \R^3$ un aperto regolare, $\vb{f} \in \C{1}(\overline{A},\R^3) \e (\partial A, \hat{\bm \nu})$ la frontiera di $A$ orientata canonicamente. Allora + Siano $A\subseteq \R^3$ un aperto regolare, $\vecf \in \C{1}(\overline{A},\R^3) \e (\partial A, \hat{\bm \nu})$ la frontiera di $A$ orientata canonicamente. Allora $$ - \iiint_A \divop \vb{f}(x,y,z)\dd x \dd y \dd z = \iint_{\partial A}\ip{\vb{f}}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma + \iiint_A \divop \vecf(x,y,z)\dd x \dd y \dd z = \iint_{\partial A}\ip{\vecf}{\hat{\bm \nu}}\dd \sigma $$ \end{theorem} @@ -180,7 +180,7 @@ \section{Teorema di Gauss} \paragraph{Teorema di Gauss tramite le forme differenziali} -Anche nel caso del teorema di Gauss è possibile esprimere l'enunciato del teorema in termini di forme differenziali. Sia $\omega = f_1 \dd y \wedge \dd z + f_2 \dd z \wedge \dd x + f_3 \dd x \wedge \dd y$ la forma differenziale d'area associata al campo $\vb{f}$. Applicando l'operatore differenziale esterno, si ottiene che +Anche nel caso del teorema di Gauss è possibile esprimere l'enunciato del teorema in termini di forme differenziali. Sia $\omega = f_1 \dd y \wedge \dd z + f_2 \dd z \wedge \dd x + f_3 \dd x \wedge \dd y$ la forma differenziale d'area associata al campo $\vecf$. Applicando l'operatore differenziale esterno, si ottiene che $$ \dd \omega = \left(\frac{\partial f_1}{\partial x} + \frac{\partial f_2}{\partial y} + \frac{\partial f_3}{\partial z}\right)\dd x \wedge \dd y \wedge \dd z $$ diff --git a/tex/analysis_2/8_lebesgue.tex b/tex/analysis_2/8_lebesgue.tex index c534d89..c5f3ff8 100644 --- a/tex/analysis_2/8_lebesgue.tex +++ b/tex/analysis_2/8_lebesgue.tex @@ -1 +1,199 @@ -\chapter{Misura di Lebesgue} \ No newline at end of file +\chapter{Misura e integrazione secondo Lebesgue} + +\section{Misura di Lebesgue} + +\begin{definition} + [Misura esterna] + Siano $X$ un insieme e $\calP(X)=\{A:A\subseteq X\}$. $\mu^*:\calP(X)\to [0,+\infty]$ è una misura esterna se soddisfa le seguenti condizioni: + \begin{enumerate} + \item $\mu^*(\varnothing)=0$ + \item (Monotonia) Se $A\subseteq B$, allora $\mu^*(A) \leq \mu^*(B)$ + \item (Sub-additività numerabile) $\mu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}^\infty \mu^*(A_i)$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{definition} + [$\sigma$-algebra] + Sia $X$ un insieme. $\A \subseteq \calP(X)$ è una $\sigma$-algebra se: + \begin{enumerate} + \item $\varnothing, X \in \A$ + \item Se $A\subset \A$, allora $X \setminus A \in \A$ + \item Se $A_j \in \A \with j \in \N$, allora $\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i, \bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i \in \A$ + \end{enumerate} +\end{definition} + +\begin{prop} + Se $C \subseteq \calP(X)$, allora $C$ può essere sempre completato a una $\sigma$-algebra ed esiste il completamento minimo $\A(C)$ che è la $\sigma$-algebra più piccola in $\calP(X)$ contenente $C$. + $$ + \A(C)=\cap\{\A:\A \text{ è una } \sigma \text{-algebra in } \calP(X), C \subseteq \A\} + $$ + \qed +\end{prop} + +\begin{remark}\leavevmode + \begin{enumerate} + \item ${\varnothing,X}$ è la più piccola $\sigma$-algebra associata ad $X$ + \item $\calP(X)$ è la più grande $\sigma$-algebra associata ad $X$ + \end{enumerate} +\end{remark} + +\begin{definition} + [$\sigma$-algebra di Borel] + Sia $(X,\tau)$ uno spazio topologico. Si definisce $\sigma$-algebra di Borel la più piccola $\sigma$-algebra in $X$ contenente $\tau$. +\end{definition} + +\begin{definition} + [Spazio misurabile] + Si definisce spazio misurabile la coppia $(X,\A)$, dove $X$ è un insieme e $\A$ una $\sigma$-algebra contenuta in $\calP(X)$. +\end{definition} + +\begin{definition} + [Misura] + Sia $(X,\A)$ uno spazio misurabile. $\mu:\A \to [0,\infty]$ è una misura se soddisfa le seguenti richieste: + \begin{enumerate} + \item $\mu(\varnothing)=0$ + \item (Additività numerabile) Se $A_i \in \A \ \forall i \in \N$ sono insiemi a due a due disgiunti, allora $$\displaystyle\mu\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i \right) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$$ + \end{enumerate} + $\mu$ si dice finita se $\mu(X)<+\infty$. $\mu$ si dice $\sigma$-finita se esistono $A_i \with i \in \N$ insiemi misurabili di misura finita e $X=\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i$. +\end{definition} + +\begin{remark} + La proprietà di monotonia discende dal fatto che la misura è sempre definita a partire da una misura esterna. +\end{remark} + +\begin{definition} + [Spazio di misura] + $(X,\A,\mu)$ è detto spazio di misura. +\end{definition} + +\begin{definition} + [Spazio di misura completo] + $(X,\A,\mu)$ è uno spazio di misura completo se $\forall N \in \A \tc \mu(N)=0$ tutti i suoi sottoinsiemi sono misurabili. +\end{definition} + +\begin{theorem} + [Successioni monotone in uno spazio di misura] + Sia $(X,\A,\mu)$ uno spazio di misura. + \begin{enumerate} + \item Se $A_i \in \A$ è una successione crescente, cioè $A_i \subseteq A_{i+1} \ \forall i \in \N$, allora $\mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim\limits_{i\to + \infty}\mu(A_i)$ + \item Se $A_i \in \A$ è una successione decrescente, cioè $A_i \supseteq A_{i+1} \ \forall i \in \N$ e $\exists j \in \N \tc \mu(A_j) < + \infty$, allora $\mu\left(\bigcap\limits_{i=1}^\infty A_i\right)=\lim\limits_{i\to +\infty}\mu(A_i)$ + \end{enumerate} + \qed +\end{theorem} + +\begin{definition} + [Intervallo] + Sia $(\R^n,\tau)$ lo spazio topologico euclideo. Si definisce intervallo $R=[a_1,b_1]\times\cdots[a_n,b_n] \subseteq \R^n$. La misura elementare di $R$ è $\mu(R)=\prod\limits_{j=1}^n(b_j-a_j)$. Si indica con $\calR$ l'insieme degli intervalli di $\R^n$: $\calR=\{A \in \calP(\R^n):A \text{ è un intervallo}\}$. +\end{definition} + +\begin{definition} + [Misura esterna di Lebesgue] + Si definisce la misura esterna di Lebesgue $\mu^*:\calP(\R^n)\to [0,+\infty]$ tale che, se $E \in \calP(\R^n)$, + $$ + \mu^*(E)=\inf \left\{\sum\limits_{j=1}^\infty \mu(R_j):R_j \in \calR \ \forall j \in \N \e E \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^\infty R_j\right\} + $$ +\end{definition} + +\begin{theorem} + $\mu^*$ è una misura esterna, cioè + \begin{enumerate} + \item $\mu^*(\varnothing)=0$ + \item Se $A \subseteq B$, allora $\mu^*(A)\leq \mu^*(B)$ + \item Se $A_i \subseteq \R^n, i \in \N$, allora $\mu^*\left(\bigcup\limits_{i=1}^\infty A_i\right)\leq \sum\limits_{i=1}^\infty \mu^*(A_i)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + % TODO +\end{proof} + +\begin{prop} + La misura elementare di un intervallo $R \in \calR$ coincide con la misura esterna di Lebesgue dell'intervallo. + \qed +\end{prop} + +\subsection{Metodo di Carathéodory} + +\begin{definition} + [Insieme misurabile secondo Carathéodory] + Siano $X$ un insieme e $\mu^*:\calP \to [0,+\infty]$ una misura esterna su $X$. $A\subseteq X$ è misurabile secondo Carathéodory se $\forall E \subseteq X, \ \mu^*(E)=\mu^*(A\cap E) + \mu^*(A^c \cap E)$, dove $A^c=X\setminus A$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Siano $X$ un insieme e $\mu^*$ una misura esterna su $\calP(X)$. Allora l'insieme $\A \subseteq \calP(X)$ degli insiemi misurabili secondo Carathéodory è una $\sigma$-algebra e $\restr{\mu^*}{\A}$ è una misura. + \qed +\end{theorem} + +\begin{definition} + [Misura di Lebesgue in $\R^n$] + Sia $\mathcal{L}(\R^n)$ la $\sigma$-algebra degli insiemi misurabili secondo Carathéodory rispetto alla misura esterna di Lebesgue. La misura di Lebesgue è $\mu=\restr{\mu^*}{\mathcal{L}(\R^n)}$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + [Completezza della misura di Lebesgue]\leavevmode + \begin{enumerate} + \item $\forall N \subseteq \R^n$ con misura esterna nulla, $N \in \mathcal{L}(\R^n)$ + \item $\forall M \subseteq N \with \mu(N)=0, \ M \in \mathcal{L}(\R^n)$ + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{proof} + % TODO +\end{proof} + +\begin{definition} + [Insieme di misura nulla] + $E \subseteq \R^n$ ha misura di Lebesgue nulla se e solo se $\forall \varepsilon > 0$ esiste un ricoprimento numerabile di $E$ con intervalli tale che $E \subseteq \bigcup\limits_{j=1}^\infty R_j, R_j \in \calR \e \sum\limits_{j=1}^\infty \mu(R_j)<\varepsilon$. +\end{definition} + +\begin{theorem} + Sia $\mathcal{B}(\R^n)$ la $\sigma$-algebra di Borel in $\R^n$. Allora + \begin{enumerate} + \item $\mathcal{B}(\R^n)$ è la più piccola $\sigma$-algebra che contenga $\mathcal{R}$, cioè gli intervalli di $\R^n$. + \item $\mathcal{B}(\R^n)\subset \mathcal{L}(\R^n)$ + \item $\mathcal{B}(\R^n)$ non è completo rispetto alla misura di Lebesgue + \qed + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{theorem}\leavevmode + \begin{enumerate} + \item Sia $A\subseteq\R^n$, allora $\mu^*(A)=\inf\{\mu(U):A\subseteq U \with U \text{ aperto}\}$. In particolare, se $A$ è misurabile allora $\mu^*(A)=\mu(A)$ + \item Se $A \in \mathcal{L}(\R^n)$, allora $\mu(A)=\sup\{\mu(K):K \text{ compatto}, K \subseteq A\}$ + \qed + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\begin{corollary} + $A \in \mathcal{L}(\R^n) \iff \forall \varepsilon > 0 \ \exists V \text{ chiuso}, U \text{ aperto}, V \subseteq A \subseteq U \tc \mu(U\setminus V) < \varepsilon$.\qed +\end{corollary} + +\begin{definition} + [$G_\delta \e F_\sigma$] + Si definiscono i seguenti insiemi: + \begin{itemize} + \item $G_\delta = \{G \subseteq \R^n:G=\bigcap\limits_{j=1}^\infty U_j, U_j \text{ aperto } \forall j \in \N\} \subseteq \mathcal{B}(\R^n)$ + \item $F_\sigma = \{F \subseteq \R^n:F=\bigcup\limits_{j=1}^\infty C_j, C_j \text{ chiuso } \forall j \in \N\} \subseteq \mathcal{B}(\R^n)$ + \end{itemize} +\end{definition} + +\begin{theorem} + $\forall A \in \mathcal{L}(\R^n) \ \exists G \in G_\delta, F \in F_\sigma \tc F \subseteq A \subseteq G \e \mu(G\setminus A)=\mu(A\setminus F)=0$. In altre parole, ogni insieme misurabile secondo Lebesgue è approssimato a meno di insiemi di misura nulla da un insieme in $F_\sigma$ per difetto e da un insieme in $G_\delta$ per eccesso. + \qed +\end{theorem} + +\begin{corollary} + Il completamento della $\sigma$-algebra di Borel è la $\sigma$-algebra degli insiemi misurabili secondo Lebesgue. Per ottenerla vengono aggiunti gli insiemi di misura nulla.\qed +\end{corollary} + +\begin{theorem} + [Invarianza della misura di Lebesgue per isometrie]\leavevmode + \begin{enumerate} + \item Siano $A\subseteq \R^n$ e $\vb{h} \in \R^n$. Sia $A_{\vb{h}}=\{\vb{x}+\vb{h}:\vb{x}\in A\}$ il traslato di $A$. Allora $A \in \mathcal{L}(\R^n)\iff A_{\vb{h}} \in \mathcal{L}(\R^n)$ e in tal caso $\mu(A)=\mu(A_{\vb{h}})$. + \item Siano $Q\in \mathcal{O}(n)$ (il gruppo delle matrici ortogonali in $\R^n$) e $E\subseteq \R^n$. Allora $E \in \mathcal{L}(\R^n) \iff QE \in \mathcal{L}(\R^n)$ e in tal caso $\mu(E)=\mu(QE)$. + \item Siano $T: \R^n \to \R^n$ un'applicazione lineare con $\det T \neq 0$ e $A \subseteq \R^n$. Allora $A \in \mathcal{L}(\R^n) \iff TA \in \mathcal{L}(\R^n)$ e in tal caso $\mu(TA) = \abs{\det T}\mu(A)$. + \qed + \end{enumerate} +\end{theorem} + +\section{Integrale di Lebesgue} \ No newline at end of file diff --git a/tex/analysis_2/analysis_2.tex b/tex/analysis_2/analysis_2.tex index c0da138..db85d07 100644 --- a/tex/analysis_2/analysis_2.tex +++ b/tex/analysis_2/analysis_2.tex @@ -14,6 +14,9 @@ \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\J}{\mathcal{J}} \newcommand{\C}[1]{\mathcal{C}^{(#1)}} +\newcommand{\calP}{\mathcal{P}} +\newcommand{\A}{\mathcal{A}} +\newcommand{\calR}{\mathcal{R}} \newcommand{\vecf}{\bm f} \newcommand{\then}{\Longrightarrow} \newcommand{\tc}{\text{ tale che }} @@ -31,6 +34,13 @@ \DeclareMathOperator{\divop}{div} \DeclareMathOperator{\rot}{\vb{rot}} +\newcommand\restr[2]{{% we make the whole thing an ordinary symbol + \left.\kern-\nulldelimiterspace % automatically resize the bar with \right + #1 % the function + \vphantom{\big|} % pretend it's a little taller at normal size + \right|_{#2} % this is the delimiter +}} + % Enable lettered enumerations \usepackage[shortlabels]{enumitem} @@ -55,6 +65,9 @@ \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} } +% Do not show chapter number in section +\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}} + % Define available theorems and their styles \newtheorem{theorem}{Teorema}[section] \newtheorem{corollary}{Corollario}[theorem]