diff --git a/tex/waves/header.tex b/tex/waves/header.tex index a395d0e..b41bd18 100644 --- a/tex/waves/header.tex +++ b/tex/waves/header.tex @@ -262,16 +262,16 @@ \makeatother \declaretheorem[style=thmbluebox, numbered=no, name=Esempio]{eg} -\declaretheorem[style=thmexplanationbox, numbered=no, name=Proof]{tmpexplanation} +\declaretheorem[style=thmexplanationbox, numbered=no, name=Spiegazione]{tmpexplanation} \newenvironment{explanation}[1][]{\vspace{-10pt}\pushQED{\(\circledast\)}\begin{tmpexplanation}}{\null\hfill\popQED\end{tmpexplanation}} -\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Remark]{remark} -\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Note]{note} -\declaretheorem[style=thmpinkbox, numbered=no, name=Exercise]{exercise} -\declaretheorem[style=notgrayline, numbered=no, name=As previously seen]{prev} +\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Osservazione]{remark} +\declaretheorem[style=thmblueline, numbered=no, name=Nota]{note} +\declaretheorem[style=thmpinkbox, numbered=no, name=Esercizio]{exercise} +\declaretheorem[style=notgrayline, numbered=no, name=Come già visto]{prev} \declaretheorem[style=thmgreen3box, numbered=no, name=Intuition]{intuition} -\declaretheorem[style=notgraybox, numbered=no, name=Notation]{notation} -\declaretheorem[style=thmanswerbox, numbered=no, name=Answer]{tmpanswer} +\declaretheorem[style=notgraybox, numbered=no, name=Notazione]{notation} +\declaretheorem[style=thmanswerbox, numbered=no, name=Risposta]{tmpanswer} \newenvironment{answer}[1][]{\vspace{-10pt}\pushQED{\(\circledast\)}\begin{tmpanswer}}{\null\hfill\popQED\end{tmpanswer}} diff --git a/tex/waves/lectures/lec_3.tex b/tex/waves/lectures/lec_3.tex index ab590af..2c85103 100644 --- a/tex/waves/lectures/lec_3.tex +++ b/tex/waves/lectures/lec_3.tex @@ -1,4 +1,4 @@ -\chapter{Sistemi lineari} +\chapter{Oscillazioni smorzate e forzate} \section{Soluzione generale} \lecture{3}{5 marzo 2024} @@ -53,4 +53,69 @@ \section{Soluzione generale} È possibile dimostrare che, se \(\hat{L} \) ha derivate fino all'ordine \(n\), allora esistono al massimo n soluzioni indipendenti che si possono combinare, quindi n costanti arbitrarie (eventualmente da determinare conoscendo le condizioni iniziali). -\paragraph{Equazione non omogenea} \ No newline at end of file +\paragraph{Equazione non omogenea} Se ho una soluzione particolare e una omogenea, la combinazione lineare senza coefficienti liberi è soluzione. Ogni soluzione è costruita come somma di una soluzione particolare e una soluzione dell'omogenea. Questo si vede semplicemente dall'applicazione delle due proprietà degli operatori lineari. + +\paragraph{Termine noto scritto come somma di funzioni} Una volta trovata la soluzione per \(f_1\) e \(f_2\) (gli addendi della somma) il problema è risolto, poiché la somma delle soluzioni particolari è soluzione generale, sempre per la prima proprietà degli operatori lineari. + +Studiamo un oscillatore smorzato con una forzante costante sommata a due funzioni dipendenti dal tempo: +\[ + m \ddot{x} + \beta \dot{x} + kx = - mg + F_1 \cos \Omega t + F_2 \sin 2 \Omega t = \hat{L} (x) +\] +Sfruttiamo la linearità: +\begin{enumerate} + + \item Cerchiamo la soluzione omogenea: \(\hat{L} (x_{omo} ) = 0\). È un oscillatore smorzato con la stessa soluzione già trovata in precedenza: \(x_{omo} (t) = A_0 e^{-\frac{t}{2 \tau }}\cos (\omega t + \phi _0) \). + \item Cerchiamo soluzioni delle tre forzanti separatamente: + \begin{itemize} + + \item Il primo termine rappresenta una forzante costante. La soluzione è nota: \(x_{0p} = -\frac{mg}{k}\). + \item La seconda forzante è armonica, soluzione già vista: + \[ + x_{1p} = \frac{F_1}{m \sqrt{(\omega _p ^{2} - \Omega ^{2} )^{2} + (\gamma \Omega )^{2} } }\cos (\Omega t - \delta ) + \] + + \item La terza forzante non l'abbiamo ancora studiata, ma è possibile risolverla applicando un metodo simile a quello applicato per il coseno. Il seno è la parte immaginaria di un fasore. + \[ + m\ddot{x} + \beta \dot{x} + kx = F_2 \sin 2\Omega t \to \ddot{z} + \gamma \dot{z} + \omega _0 z = \frac{F_2}{m} e^{i2\Omega t} + \] + dove \(x(t) = \Im (z(t))\). Suppongo una soluzione del tipo \(z(t)=A e^{\lambda t}\) e ottengo \((\lambda ^{2} + \gamma \lambda +\omega _0) A e^{\lambda t}=\frac{F_2}{m} e^{i2\Omega t} \). Siccome l'uguaglianza deve essere sempre valida, ottengo che \(\lambda = 2\Omega i \). + \[ + (-4\Omega ^{2} + 2i \Omega \gamma +\omega _0) A = \frac{F_2}{m} \implies A = \frac{F_2}{m \left[(\omega _0 ^{2} -4\Omega ^{2}) + i2\gamma \Omega \right]} + \] + Posso scrivere A come numero complesso con fase \(\delta = \frac{2\gamma \Omega }{\omega _0^{2} -4\Omega ^{2} }\) e ottenere + \[ + z(t) = \frac{F_2}{m\sqrt{(\omega _0 ^{2} -4\Omega ^{2} )^{2} +4\gamma ^{2} \Omega ^{2} } }\frac{e^{i2\Omega t} }{e^{\delta }} + \] + Di conseguenza, + \[ + x(t)= \Im (z(t))=\frac{F_2}{m\sqrt{(\omega _0^{2} -4\Omega ^{2} )^{2} + 4\gamma ^{2} +\Omega ^{2} } }\sin (2\Omega t-\delta ) + \] + \end{itemize} +\end{enumerate} + +La soluzione finale sarà quindi la somma dei quattro termini: con la somma di funzioni nella forzante ho diviso il problema in varie parti più semplici. La fisica cerca sempre equazioni lineari: ad esempio, in elettromagnetismo il primo strumento utilizzato per misurare la carica fu l'elettroscopio a foglie, tuttavia non venne utilizzato per definire la carica perché la relazione fra angolo di apertura e carica non è lineare. Le equazioni di Maxwell sono invece tutte di natura lineare: la divergenza è lineare perché contiene derivate e appaiono tutte al grado 1. Anche l'equazione di D'Alembert è un'equazione lineare, così come l'equazione di Schrodinger. + +Il "principio di sovrapposizione" vale quindi solo nei sistemi lineari. È l'espressione fisica del concetto di operatore lineare: cerchiamo un problema lineare perché attraverso tale principio possiamo spacchettarlo in problemi più semplici + +\section{Serie di Fourier} + +Trattiamo ora uno degli strumenti più potenti per risolvere equazioni lineari, tra cui problemi di forzante generica scomponendola in casi particolari. Come generalizziamo quanto studiato finora? +\begin{enumerate} + + \item Primo passo: consideriamo \(f(t)\) periodica con periodo T. Quando una funzione è periodica la possiamo risolvere se il periodo è limitato. + \item Secondo passo: funzione periodica per cui periodo è su asse reale. Consideriamo cioè una funzione periodica di periodo \(T \to \infty \). +\end{enumerate} + +Iniziamo costruendo una forzante particolare, periodica, per cui posso anche moltiplicare la pulsazione per una costante, con fase iniziale: +\[ + f(t) = F_0 + \sum_{n=1}^{\infty} F_n \cos (n \omega t + \phi _n) \text{ con } \omega = \frac{2\pi }{T} +\] +\(f(t)\) è somma di funzioni di periodo \(T, \frac{T}{2}, \frac{T}{3}, \dots \) quindi è complessivamente periodica di periodo T (domina n=1). Risolviamo cercando: +\[ + \hat{L} (x_0)=F_0, \dots , \hat{L} (x_n)= F_n \cos (n \omega t + \phi _n) +\] +Come al solito, è più conveniente studiare la funzione complessa associata. Posso scrivere \(\hat{L} (x_n)=\Re [F_n e^{i \phi _n}e^{in \omega t} ]\). L'equazione n-esima diventa quindi \(m \ddot{z_n} + \beta \dot{z_n} + k z_n = (F_n e^{i \phi _n})e^{in \omega t}\). Siccome il primo membro deve eguagliare il secondo membro per ogni t, deve esserci la stessa dipendenza temporale a esponente. Pongo \(z_n(t)=A_n e^{\lambda _n t} \implies \lambda _n = in \omega \). Definendo \(\gamma =\frac{\beta }{m},\ \omega _n ^{2} = \frac{k}{m}\) posso isolare l'ampiezza: +\[ + A_n = \frac{F_n e^{i \phi _n}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} ) + i \gamma n \omega ]} +\] +La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \). \ No newline at end of file diff --git a/tex/waves/lectures/lec_4.tex b/tex/waves/lectures/lec_4.tex new file mode 100644 index 0000000..dc84c42 --- /dev/null +++ b/tex/waves/lectures/lec_4.tex @@ -0,0 +1 @@ +\lecture{4}{7 marzo 2024} \ No newline at end of file diff --git a/tex/waves/waves.tex b/tex/waves/waves.tex index f126ed6..cec6026 100644 --- a/tex/waves/waves.tex +++ b/tex/waves/waves.tex @@ -1,7 +1,7 @@ \documentclass[a4paper]{report} \input{header.tex} -\author{Pingbang Hu} -\title{Note Template} +\author{Luca Zoppetti} +\title{Fenomeni ondulatori} \thispagestyle{empty} \addbibresource{ref.bib} @@ -14,17 +14,11 @@ \maketitle -\begin{abstract} - This is a note template, with all but minimal compilable files provided. Feel free to adjust for your usage. - - Now let's start a simple demo for you to take fancy notes in \LaTeX! -\end{abstract} - \newpage \tableofcontents -\lec{1}{3} +\lec{1}{4} \newpage %─────Appendix────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────────