diff --git a/tex/waves/lectures/lec_5.tex b/tex/waves/lectures/lec_5.tex index e7c82d9..7acff0f 100644 --- a/tex/waves/lectures/lec_5.tex +++ b/tex/waves/lectures/lec_5.tex @@ -12,7 +12,7 @@ \section{Equazione di D'Alembert} \[ \begin{cases} - \xi (x, t_0) = f(x) + \xi (x, t_0) = f(x)\\ \dot{\xi } (x, t_0) = g(x) \end{cases} \] diff --git a/tex/waves/lectures/lec_6.tex b/tex/waves/lectures/lec_6.tex index f029e6f..794c129 100644 --- a/tex/waves/lectures/lec_6.tex +++ b/tex/waves/lectures/lec_6.tex @@ -1 +1,54 @@ -\lecture{6}{14 marzo 2024} \ No newline at end of file +\subsection{Relazione di dispersione} +\lecture{6}{14 marzo 2024} + +Più in generale, se il rapporto fra \(\omega \) e k non è costante, si definisce + +\begin{definition} + [Relazione di dispersione] + \[ + \omega (k) = f(k) + \] + È una caratteristica del tipo di onda e del mezzo in cui viaggia. +\end{definition} + +Sperimentalmente è possibile studiare la relazione di dispersione. Si possono inviare onde armoniche con diverse periodicità temporali \((T_p, \omega )\) e spaziali \((\lambda , k)\) e valutare sperimentalmente \(\omega (k) = f(k)\). Nel caso semplice dell'equazione di D'Alembert questa è lineare come detto prima. + +\paragraph{Mezzi non dispersivi} + +Se al variare di k la velocità di fase non varia, allora la relazione di dispersione è lineare e l'equazione di D'Alembert non è un'approssimazione, bensì un'equazione \textbf{esatta}. Il mezzo è detto "non dispersivo". Le onde sonore e le onde elettromagnetiche nel vuoto appartengono a questa categoria. Se le onde sonore si propagassero su mezzi dispersivi, la musica sarebbe un disastro. Le onde nei mezzi non dispersivi mantengono la loro forma durante la propagazione. + +\paragraph{Mezzi dispersivi} + +Se al variare di k la velocità di fase varia, allora la relazione di dispersione non è lineare: \(\omega (k) = f(k)\). Esempio dell'impulso gaussiano: tipicamente più lontano sono dalla sorgente, più si allarga la gobba della gaussiana. Il mezzo in questo caso è detto dispersivo e l'equazione di D'Alembert è solo una prima approssimazione, a cui andrebbero aggiunti dei termini che descrivono l'effetto dispersivo del mezzo. + +\[ + \frac{\partial ^{2} \xi }{\partial x^{2} } \thickapprox \frac{1}{v^{2} }\frac{\partial ^{2} \xi }{\partial t^{2} } +\] + +Appartengono a questa categoria le onde elettromagnetiche nella materia (l'arcobaleno è dovuto a questo! Colori diversi viaggiano a velocità diverse), le onde sismiche (una stazione lontana dall'epicentro vede onde molto più lunghe di quelle vicine alla sorgente) e le onde sulla superficie dell'acqua. Le onde nei mezzi dispersivi si propagano variando anche la loro forma. + +\begin{eg} + [Mezzo dispersivo] + Le onde nei mezzi dispersivi soddisfano equazioni diverse dall'equazione di D'Alembert. Consideriamo per esempio + \[ + \frac{\partial ^{2} \xi }{\partial x^{2} } + a \frac{\partial ^4 \xi }{\partial x^4} = \frac{1}{v^{2} }\frac{\partial ^{2} \xi }{\partial t^{2} } + \] + Considero un'onda armonica: \(\xi (x,t) = A \cos (kx - \omega t)\), è un tentativo. + \begin{gather*} + \frac{\partial ^{2} \xi }{\partial x^{2} } = - k^{2} A \cos (kx - \omega t)\\ + \frac{\partial ^4 \xi }{\partial x^4} = k^{4} A \cos (kx - \omega t)\\ + \frac{\partial ^{2} \xi }{\partial t^{2} } = - \omega ^2 A \cos (kx - \omega t)\\ + \rightsquigarrow - k^{2} A + a k^{4} A = \frac{1}{v^{2} }(- \omega ^2 A)\\ + \end{gather*} + Dove nell'ultimo passaggio i coseni si sono semplificati (grazie alla linearità!). Si prosegue trovando la relazione di dispersione: \(\omega ^{2} = v ^{2} (k^{2} -ak^4) \rightsquigarrow \omega = vk\sqrt{1-ak^2} \). Se \(ak^{2} \ll 1 \implies \omega = vk\) e il mezzo appare non dispersivo. Per \(0