diff --git a/tex/waves/.vscode/settings.json b/tex/waves/.vscode/settings.json new file mode 100644 index 0000000..0847c31 --- /dev/null +++ b/tex/waves/.vscode/settings.json @@ -0,0 +1,4 @@ +{ + "pasteImage.basePath": "${projectRoot}/figures", + "pasteImage.path": "${projectRoot}/figures/screenshots" +} \ No newline at end of file diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-20-30.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-20-30.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-20-30.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-20-30.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-23-47.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-23-47.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-23-47.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-23-47.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-28-07.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-28-07.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-28-07.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-28-07.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-29-55.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-29-55.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-29-55.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-29-55.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-36-07.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-36-07.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-36-07.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-36-07.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-40-06.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-40-06.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-40-06.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-40-06.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-41-51.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-41-51.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-41-51.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-41-51.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-46-30.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-46-30.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-46-30.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-46-30.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-48-28.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-48-28.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-48-28.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-48-28.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-51-21.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-51-21.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-51-21.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-51-21.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-09-57-28.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-57-28.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-09-57-28.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-09-57-28.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-10-29-38.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-29-38.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-10-29-38.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-29-38.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-10-36-23.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-36-23.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-10-36-23.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-36-23.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-10-41-03.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-41-03.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-10-41-03.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-41-03.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-10-47-36.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-47-36.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-10-47-36.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-47-36.png diff --git a/tex/waves/lectures/2024-03-07-10-54-11.png b/tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-54-11.png similarity index 100% rename from tex/waves/lectures/2024-03-07-10-54-11.png rename to tex/waves/figures/screenshots/2024-03-07-10-54-11.png diff --git a/tex/waves/header.tex b/tex/waves/header.tex index b41bd18..0ad7507 100644 --- a/tex/waves/header.tex +++ b/tex/waves/header.tex @@ -15,7 +15,7 @@ \input{math.tex} -\usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb} +\usepackage{amsmath, amsfonts, mathtools, amsthm, amssymb, csquotes} \usepackage{geometry} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{cancel} diff --git a/tex/waves/lectures/lec_3.tex b/tex/waves/lectures/lec_3.tex index 2c85103..0aeb193 100644 --- a/tex/waves/lectures/lec_3.tex +++ b/tex/waves/lectures/lec_3.tex @@ -118,4 +118,27 @@ \section{Serie di Fourier} \[ A_n = \frac{F_n e^{i \phi _n}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} ) + i \gamma n \omega ]} \] -La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \). \ No newline at end of file +La differenza dalle soluzioni viste in precedenza sta nel fatto che in questo caso \(\Omega \) è sostituita da \(n \omega \). La soluzione complessa è +\begin{gather*} + z_n(t) = A e^{in \omega t}= \frac{F_n e^{i(n \omega t + \phi _n)}}{m [(\omega _0 ^{2} -(n \omega )^{2} )+i \gamma n \omega ]}\\ + x(t)= \Re [z_n(t)]= \frac{F_n}{m}\Re \left[\frac{e^{i(n \omega t + \phi _n)}}{(\omega _0 ^{2} - (n \omega )^{2} )+i \gamma n \omega }\right] +\end{gather*} +Le fasi \(\phi _n \) sono eliminabili utilizzando la formula nota per il coseno della somma\(\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \rightsquigarrow F_n \cos (n \omega t + \phi _n) = F_n \cos \phi _n \cos (n \omega t) - F_n \sin \phi _n \sin (n \omega t) \). Si può quindi porre \(a_0 =F_0,\ a_n = F_n \cos \phi _n,\ b_n =-F_n \sin \phi _n\) per ottenere \(F_n \cos (n \omega t + \phi _n) = a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\). +Ottengo quindi che +\[ + f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} [a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)] +\] + +\begin{theorem} + [Teorema delle serie di Fourier] + Ogni funzione \(f(t)\) limitata, periodica di periodo T, continua o con al più un numero finito di punti di discontinuità con salto (limite destro e sinistro diversi ma finiti) si può sempre approssimare con la serie + \[ + f_N(t)=a_0 + \sum_{n=1}^{N } [a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)] + \] + dove \(\omega = \frac{2\pi }{T}\). +\end{theorem} + +Per opportuni valori di \(a_n\) e \(b_n\) si ha che \(f_N(t)\xrightarrow{N \to +\infty }f(t)\) su tutti i punti di continuità del dominio. Gli scarti vanno a zero se N va a infinito: +\[ + \forall \varepsilon,\ \exists N \text{ tale che } \int_{0}^{T} (f(t) - f_N(t))^{2} \,\mathrm{d}t < \varepsilon +\] \ No newline at end of file diff --git a/tex/waves/lectures/lec_4.tex b/tex/waves/lectures/lec_4.tex index 55a3cfb..4c7dc03 100644 --- a/tex/waves/lectures/lec_4.tex +++ b/tex/waves/lectures/lec_4.tex @@ -7,7 +7,7 @@ \section{Trasformata di Fourier} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-20-30.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-20-30.png} \caption{La serie scelta.} \end{figure} @@ -15,7 +15,7 @@ \section{Trasformata di Fourier} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-23-47.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-23-47.png} \caption{Gli elementi della serie diventano infinitesimi se \(T \to \infty \). } \end{figure} @@ -23,13 +23,13 @@ \section{Trasformata di Fourier} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-28-07.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-28-07.png} \caption{Divido per \(\mathrm{d}\omega \) per evitare che il secondo membro tenda a zero. Il risultato è una funzione continua e finita, ottenuta integrando su tutti i tempi (\(T \to \infty \) ). } \end{figure} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-29-55.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-29-55.png} \caption{Adesso che ho una dipendenza da \(\mathrm{d}\omega \) posso trasformare la sommatoria in un integrale. Rappresentando tutti gli n rappresento tutte le \(\omega \). } \end{figure} @@ -42,7 +42,7 @@ \section{Trasformata di Fourier} \(\widetilde{f}(\omega ) \) descrive la componente di \(e^{i \omega t}\) nella funzione di partenza. La \(f(t)\) è rappresentabile come sovrapposizione continua di fasori: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-36-07.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-36-07.png} \caption{Antitrasformata di Fourier.} \end{figure} \end{definition} @@ -54,14 +54,14 @@ \section{Trasformata di Fourier} \item \(\mathcal{F} \) è lineare: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-40-06.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-40-06.png} \caption{Proprietà dell'operatore \(\mathcal{F} \). } \end{figure} \item Le derivate diventano moltiplicazioni, come già visto con i fasori: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-41-51.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-41-51.png} \caption{Alla terza riga ho l'espressione dell'antitrasformata della derivata di f, quindi il termine integrato corrisponde alla trasformata di Fourier.} \end{figure} \end{itemize} @@ -72,13 +72,13 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-46-30.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-46-30.png} \caption{Ottengo così un'uguaglianza fra le due trasformate. Applico la seconda proprietà della trasformata di Fourier per cui le derivate diventano moltiplicazioni. \(\widetilde{x} \) è la mia incognita. } \end{figure} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-48-28.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-48-28.png} \caption{Così ho risolto il problema nello spazio delle pulsazioni. Con l'antitrasformata di Fourier posso trovare la soluzione particolare nello spazio dei tempi.} \end{figure} @@ -88,7 +88,7 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato} \item Le equazioni differenziali lineari si trasformano in polinomi in \(\omega \): \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-51-21.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-51-21.png} \caption{Posso vedere la trasformata di Fourier anche come un operatore che agisce su altri operatori.} \end{figure} @@ -100,7 +100,7 @@ \subsection{Applicazione all'oscillatore armonico forzato} La definizione della trasformata di Fourier può essere diversa. Noi non le useremo mai! L'importante è associare l'antitrasformata corretta in base alla definizione di trasformata che abbiamo usato. Alcuni esempi: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-09-57-28.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-09-57-28.png} \caption{La prima è fatta per una questione di simmetria. La seconda è comoda per utilizzare il concetto di frequenza, che agli ingegneri sembra più naturale del concetto di pulsazione.} \end{figure} \end{note} @@ -144,7 +144,7 @@ \section{Onde su una corda} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-29-38.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-29-38.png} \caption{Riferimento per lo studio delle onde trasversali su una corda.} \end{figure} @@ -154,7 +154,7 @@ \section{Onde su una corda} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-36-23.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-36-23.png} \caption{Studio della dinamica di un tratto infinitesimo della corda.} \end{figure} @@ -162,20 +162,20 @@ \section{Onde su una corda} \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-41-03.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-41-03.png} \end{figure} Pongo \(T=T_1=T_2\). Ho verificato che il modulo tensione della corda è uguale in ogni verso (per le piccole oscillazioni). Osserviamo che \(\tan \theta _i = \frac{\partial \xi}{\partial x} \). Di conseguenza, \(\sin \theta _1 \approx \tan \theta _1= \frac{\partial \xi }{\partial x} \vert_x \) e \(\sin \theta _2 \approx \tan \theta _2 = \frac{\partial \xi }{\partial x}\vert_{x+\mathrm{d}x } \). \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-47-36.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-47-36.png} \end{figure} L'equazione appena ricavata è molto importante. Per iniziare, considereremo casi in cui \(\mu \) è costante. È detta equazione di D'Alembert. Per ricordarci che \(\frac{\mu }{T}\) è una quantità positiva, la scriviamo come il quadrato di una quantità. Notiamo che ha le dimensioni dell'inverso di una velocità: \(\frac{\mu }{T} = \frac{1}{v^{2} } \to v=\sqrt{\frac{T}{\mu }} \). Dimensionalmente si vede che è effettivamente una velocità: \begin{figure}[H] \centering - \includegraphics[width=0.8\textwidth]{2024-03-07-10-54-11.png} + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{screenshots/2024-03-07-10-54-11.png} \end{figure} L'equazione di D'Alembert è lineare, per cui vale il principio di sovrapposizione. Compaiono derivate seconde al primo grado: \begin{equation} diff --git a/tex/waves/waves.tex b/tex/waves/waves.tex index 596019c..8c859e6 100644 --- a/tex/waves/waves.tex +++ b/tex/waves/waves.tex @@ -5,7 +5,7 @@ \thispagestyle{empty} \addbibresource{ref.bib} -\graphicspath{{lectures/}} +\graphicspath{{figures/}} \usepackage{adjustbox} \usepackage{centernot}